2024年九年级中考数学复习 专题14 反比例函数讲义

专题14 反比例函数 夯实基础 1．反比例函数的概念 （1）一般地，形如y=（k为常数，k≠0）的函数，叫做反比例函数．其中x是自变量，y是函数．自变量x的取值范围是不等于0的一切实数． 反比例函数解析式还有其他两种形式： ①y=kx-1（k为常数，k≠0）； ②xy=k（k为常数，k≠0）． （2）反比例函数y=中的x，y成反比例，无论变量x，y怎样变化，k的值始终等于x与y的乘积，因此人们习惯上称k为比例系数，若k=0，则y=0恒成立，为一常数函数，失去了反比例函数的意义． 2．用待定系数法求反比例函数的解析式 用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： （1）设——根据题意，设反比例函数的解析式为； （2）代——把它的一对对应值（x，y）代入中，得到关于k的方程； （3）解——解方程，求出常数k； （4）写——把k的值代入反比例函数的解析式中即可写出解析式． 3．反比例函数的图象和性质 （1）反比例函数图象的画法 ①列表：自变量的取值以原点O为中心，一般地，在点O的两边分别取三列表对或三对以上互为相反数的数，并计算相应的y值，以表格的形式表示出来； ②描点：以表格中各对对应值为点的坐标，描出各点； ③连线：按照从左到右的顺序用平滑的连线曲线顺次连接各点并向两端延伸． （2）反比例函数图象的特点 ①反比例函数的图象是双曲线，它的两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限； ②双曲线有两个分支，延伸部分无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交； ③双曲线既是中心对称图形（对称中心是原点），又是轴对称图形（对称轴是直线y=x或直线y=-x）． （3）①自变量x的取值范围是x≠0的一切实数； ②必须用平滑的曲线连接各点，而不能用折线； ③因为x≠0，y≠0，所以图象不可能经过原点，且与x轴、y轴都没有交点； ④为了更好地反映图象的全貌，要尽可能多地取一些数值，多描一些点． （4）反比例函数的性质如下表： 反比例函数 k的符号 k>0 k<0 图象 性质 （1）自变量x的取值范围为x≠0； （2）图象的两个分支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小 （1）自变量x的取值范围为x≠0； （2）图象的两个分支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大 4．反比例函数中比例系数k的几何意义 如图，过双曲线上任意一点P（x，y）分别作x轴、y轴的垂线PM，PN，所得长方形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|．因为，所以xy=k，所以S=|k|，即过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得长方形的面积为|k|． 5．实际问题与反比例函数 （1）一般地，建立反比例函数模型有以下两种常用方法： ①待定系数法 若题目提供的信息中明确此函数为反比例函数，则可设反比例函数解析式为，然后求出k的值即可． ②列方程法 若题目信息中变量之间的函数关系不明确，在这种情况下，通常是列出关于函数（y）和自变量（x）的方程，进而解出函数，得到函数解析式． （2）用反比例函数解决实际问题的步骤： ①审——审清题意，找出题目中的常量、变量，并审理清常量与变量之间的关系； ②设——根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示； ③列——由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数； ④写——写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围； ⑤解——用函数解析式去解决实际问题． 吃透考点 1．反比例函数的概念 如果两个变量x，y之间的关系可以表示成（k为常数，且k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数． 2．反比例函数的图象和性质 （1）图象的特征：反比例函数的图象是一条双曲线，它关于坐标原点成中心对称，两个分支在第一、三象限或第二、四象限． （2）图象和性质 函数 图象 所在象限 性质 （k≠0，k为常数） k>0 1、 三象限 （x，y同号） 在每个象限内，y随x增大而减小 k<0 2、 四象限 （x，y异号） 在每个象限内，y随x增大而增大 3．反比例函数的解析式的确定 求反比例函数的解析式跟求一次函数一样，也是待定系数法． 方 法 技 巧 点 拨 1．反比例函数（k≠0）系数k的几何意义 从反比例函数（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．常见模型如图： 2．应用反比例函数解决实际问题的基本步骤如下： （1）审清题意，找出题目的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系； （2）根据常量、变量之间的关系，设出函数关系式，待定系数用字母表示； （3）由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数； （4）写出函数关系式，并注意关系式中变量的取值范围； （5）用函数关系式解决实际