第二章 抛物线及其方程-高中数学选择必修第一册精选易错题练习（人教B版2019)

精选易错题练习—【第二章】抛物线及其方程 一．选择题（共25小题） 1．已知抛物线C：y2＝2x，则抛物线C的焦点到准线的距离为（　　） A． B． C．1 D．2 2．已知抛物线C：y＝4x2的焦点为F，点P的坐标为（1，4），则|PF|＝（　　） A． B． C．2 D．5 3．已知F是抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，A是C上第一象限内的点，B是C的准线上的点，当△ABF是一个顶角∠BAF为120°的等腰三角形时，|AF|＝2，则p＝（　　） A．1 B． C．2 D．3 4．已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点F在x轴的正半轴上，抛物线上一点A满足|AF|＝5，且点A与点B（0，2）的连线与直线BF垂直，则抛物线的标准方程可以是（　　） ①y2＝4x；②y2＝8x；③y2＝12x；④y2＝16x． A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 5．若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点到直线y＝x+1的距离为，则p＝（　　） A．1 B．2 C．2 D．4 6．抛物线C：x2＝4y上一点P到C的焦点F的距离为4，则P点的纵坐标为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 7．抛物线y2＝2px（p＞0）上的点P（2，2）到焦点的距离为（　　） A． B．2 C． D．1 8．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），直线l：与C交于A，B两点，点A，B在准线上的射影分别为点A1，B1，若四边形A1ABB1的面积为，则p＝（　　） A．2 B． C． D．4 9．已知点A是抛物线C：x2＝2py（p＞0）的对称轴与准线的交点，点F为抛物线的焦点，过A作抛物线的一条切线，切点为P，且满足|PA|＝，则抛物线C的方程为（　　） A．x2＝8y B．x2＝4y C．x2＝2y D．x2＝y 10．设抛物线x2＝2py（8≥p＞0）的焦点为F，点A、B为抛物线上两个动点，过弦AB的中点M作抛物线的准线的垂线MN，垂足为N，当|AF|•|BF|＝16时，|MN|的最小值为（　　） A．6 B．4 C．8 D．16 11．已知抛物线C：y2＝4x，直线l与抛物线C交于A，B两点，线段AB的中点为（4，2），则l的方程为（　　） A．x﹣y﹣2＝0 B．2x﹣y﹣6＝0 C．x+y﹣6＝0 D．x﹣2y＝0 12．设抛物线y＝ax2与直线y＝﹣2的交点到抛物线的焦点的距离为3，则a＝（　　） A．4 B．﹣4 C． D．﹣ 13．已知F是抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，斜率为﹣2且经过焦点F的直线l交该抛物线于M，N两点，若|MN|＝，则该抛物线的方程是（　　） A．y2＝x B．y2＝2x C．y2＝4x D．y2＝6x 14．设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（　　） A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x 15．已知焦点为F的抛物线C：y2＝4x，点P（1，1），点A在抛物线C上，则|PA|+|AF|的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 16．抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点P，Q，R在C上，且△PQR的重心为F，则|PF|+|QF|的取值范围为（　　） A．（3，）∪（，5] B．[4，）∪（，5] C．（3，4）∪（4，） D．[3，5] 17．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），直线l：y＝k（x+）（k＞0）与C的一个交点为M，F为抛物线C的焦点，O为坐标原点，若sin∠MFO＝，则k＝（　　） A． B． C． D． 18．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，且l过点（﹣3，2），M在抛物线C上，若点N（2，4），则|MF|+|MN|的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 19．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与抛物线C的一个交点，若|PF|＝3|FQ|，则|QF|＝（　　） A．3 B．4或 C． D．或 20．已知过抛物线C：y2＝4x的焦点F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，Q为AB的中点，P为C上一点，则|PF|+|PQ|的最小值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 21．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，点M在抛物线上，且|MF|＝3，则M的横坐标为（　　） A．1 B． C．2 D．3 22．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C于A，B两点，则|AB|＝（　　） A． B．6 C．12 D．7 23．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若•＝0，则k＝（　　） A． B． C． D．2 24．已知直线l：与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，点A，B在准线上的射影分别为点A1，B1，若四边形A1ABB1的面积为，则p＝（　　） A．2 B．4 C． D． 25．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B（3，0），若|AF|＝|BF|，则|AB|＝（　　） A．2 B．2 C．3 D．3 二．填空题（共15小题） 26．已知点A（1，）在抛物线C：y2＝2px上，则A到C的准线的距离为 　 　． 27．已知抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M到焦点F的距离等于2p，则直线MF的斜率为　 　． 28．在直角坐标系xOy中，抛物线M：y2＝2px（p＞0）与圆相交于两点，且两点间的距离为，则抛物线M的焦点到其准线的距离为　 　． 29．已知直线y＝2x﹣2与抛物线y2＝8x交于A，B两点，抛物线的焦点为F，则•的值为　 　． 30．已知抛物线y2＝2px（p＞0），过其焦点的直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝6，AB的中点的横坐标为2，则此抛物线的方程为　 　． 31．抛物线y2＝﹣10x的准线方程为　 　． 32．抛物线y＝2ax2（a＞0）上一点A（m，）到其焦点F的距离为1，则a的值为 　 　． 33．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过F的直线交抛物线于A，B两点，若，则点A的坐标为　 　． 34．点A，B，C在抛物线y2＝4x上，△ABC的重心坐标为M（2，0），，则直线BC的斜率kBC＝　 　． 35．抛物线具有以下光学性质：从焦点出发的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴．该性质在实际生产中应用非常广泛．如图所示，从抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F向y轴正方向发出的两条光线a，b分别经抛物线上的A，B两点反射，已知两条入射光线与x轴所成锐角均为60°，且，则p＝　 　． 36．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，在C上有一点P，|PF|＝8，则点P到x轴的距离为 　 　． 37．希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系xOy中，A（0，1），B（0，4），则点P满足λ＝的阿波罗尼斯圆的方程为　 　．已知点C（﹣2，4），Q为抛物线E：y2＝8x上的动点，点Q在直线x＝﹣2上的射影为H，M为（x+2）2+y2＝4上动点，则|MC|+|QH|+|QM|的最小值为　 　． 38．以抛物线y2＝2px（p＞0）焦点F为圆心，p为半径作圆交y轴于A，B两点，连接FA交抛物线于点D（D在线段FA上），延长FA交抛物线的准线于点C，若|AD|＝m，且m∈[1，2]，则|FD|•|CD|的最大值为　 　． 39．已知F是抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，E是C的准线l与x轴的交点，A，B分别是C与l上的动点，当四边形ABEF是梯形且AB∥EF时，该梯形的一内角为60°，面积为，则P＝　 　． 40．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，若直线PF的倾斜角为120°，则|PF|＝　 　． 三．解答题（共10小题） 41．在平面直角坐标系xOy中，设AB是抛物线y2＝4x的过点F（1，0）的弦，△AOB的外接圆交抛物线于点P（不同于点O，A，B）．若PF平分∠APB，求|PF|的所有可能值． 42．已知抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点到准线的距离为，过y轴正半轴上一点C（0，c）作直线，与抛物线交于A，B两点． （Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）若P为线段AB的中点，过点P作PQ⊥x轴，交直线l：y＝﹣c于点Q，求证：QA，QB为抛物线的切线． 43．已知抛物线E：x2＝2py（0＜p＜2）的焦点为F，圆C：x2+（y﹣1）2＝1，点P（x0，y0）为抛物线上一动点．当|PF|＝时，△PFC的面积为． （1）求抛物线E的方程； （2）若y0＞，过点P作圆C的两条切线分别交y轴于M，N两点，求△PMN面积的最小值，并求出此时点P的坐标． 44．如图所示，过抛物线y2＝4x的焦点F作互相垂直的直线l1，l2，l1交抛物线于A，B两点（A在x轴上方），l2交抛物线于C，D两点，交其准线于点N． （1）求四边形ACBD的面积的最小值； （2）若直线AN与x轴的交点为Q，求△AQB面积的最小值． 45．已知抛物线y2＝2x． （1）在抛物线上任取二点P1（x1，y1），P2（x2，y2），经过线段P1P2的中点作直线平行于抛物线的轴，和抛物线交于点P3，证明△P1P2P3的面积为； （2）经过线段P1P3、P2P3的中点分别作直线平行于抛物线的轴，与抛物线依次交于Q1、Q2，试将△P1P3Q1与△P2P3Q2的面积和用y1，y2表示出来； （3）仿照（2）又可做出四个更小的三角形，如此继续下去可以做一系列的三角形，由此设法求出线段P1P2与抛物线所围成的图形的面积． 46．过抛物线C：x2＝2py（p＞0）焦点F的直线l与抛物线C相交于A，B两点，交准线于点M，当|AB|＝12时，AB的中点到x轴的距离是5． （Ⅰ）求抛物线C的方程； （Ⅱ）已知＝λ1，＝λ2，求λ1+λ2的值． 47．经过点A（2，1）作直线l，交抛物线y2＝4x于P、Q两点，且A恰好是PQ的中点，求直线l的方程． 48．已知点F为抛物线C：x2＝8y的焦点，过点F的动直线l与抛物线C交于A，B两点． （1）当|AB|＝16时，求直线l的斜率； （2）在y轴上是否存在点P，使得直线PA，PB的斜率之和恒为零？说明理由． 49．设抛物线y2＝4x上有不同两点M、N关于直线x+2y＝8对称，求直线MN的方程． 50．已知抛物线C：y2＝4x上有一点P位于x轴的上方，且|PF|＝2． （Ⅰ）求P点的坐标； （Ⅱ）若直线PA，PB的倾斜角互补，分别交曲线C于A，B两点（点A，B，P不重合），试判断直线AB的倾斜角是否为定值，若是，求出此值，若不是请说明理由． 精选易错题练习—【第二章】抛物线及其方程 参考答案与试题解析 一．选择题（共25小题） 1．【答案】C 【分析】利用抛物线方程，转化求解抛物线C的焦点到准线的距离即可． 【解答】解：抛物线C：y2＝2x，焦点坐标（，0），准线方程为：x＝﹣， 抛物线C的焦点到准线的距离为：1． 故选：C． 2．【答案】B 【分析】求出抛物线的直线方程，利用抛物线的定义转化求解即可． 【解答】解：抛物线C：y＝4x2的准线方程为：y＝﹣， 点P的坐标为（1，4），由抛物线的定义可知|PF|＝4﹣＝． 故选：B． 3．【答案】D 【分析】画出图形，|AB|＝|AF|＝2，判断四边形ABKD为矩形，然后转化求解p即可． 【解答】解：如图所示，由△ABF是一个顶角为120°的等腰三角形，可知|AB|＝|AF|＝2， 由抛物线的定义可知，AB⊥l，过A作AD⊥OF于D，则四边形ABKD为矩形， 在Rt△ADF中，∠DAF＝30°，所以|DF|＝1，则p＝|KF|＝|KD|+|DF|＝2+1＝3， 故选：D． 4．【答案】C 【分析】设出抛物线的方程，可得焦点和准线方程，设A（m，n），由抛物线的定义和两直线垂直的条件，可得m，n，p的方程组，解方程可得p，进而得到抛物线的方程． 【解答】解：设抛物线的方程为y2＝2px（p＞0）， F（，0），准线方程为x＝﹣， 设A（m，n），可得n2＝2pm，① m+＝5，② ＝，③ 联立①②③，解得n＝4，p＝2，m＝4或m＝4，p＝8，m＝1， 所以抛物线的方程为y2＝4x或y2＝16x． 故选：C． 5．【答案】B 【分析】求出抛物线的焦点坐标，利用点到直线的距离公式求解即可． 【解答】解：抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点（，0）到直线y＝x+1的距离为， 可得，解得p＝2． 故选：B． 6．【答案】C 【分析】根据抛物线方程求得焦点坐标及准线方程，利用抛物线的定义求得点p的纵坐标． 【解答】解：抛物线方程x2＝4y的焦点坐标为（0，1），准线方程为y＝﹣1， 根据抛物线定义， ∴yp+1＝4， 解得yp＝3， ∴P点的纵坐标为3． 故选：C． 7．【答案】A 【分析】把点P（2，2）代入抛物线y2＝2px（p＞0）方程，解得p，再利用抛物线的定义即可得出结论． 【解答】解：把点P（2，2）代入抛物线y2＝2px（p＞0）方程， 可得22＝2p×2，解得p＝1， ∴抛物线y2＝2px（p＞0）上的点P（2，2）到焦点的距离为+2＝． 故选：A． 8．【答案】B 【分析】设A，B的坐标，联立直线l与抛物线的方程，可得A，B的坐标，由题意可得A1，B1的坐标，且四边形A1ABB1为直角梯形，可得它的面积，由题意求出p的值． 【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立，整理可得：4p2x2﹣5px+p2＝0， 解得x1＝p，x2＝， y1＝2x1﹣p＝p，y2＝2x2﹣p＝﹣p， 即A（p，p），B（，﹣p），由题意可得A1（﹣，p），B1（﹣，﹣p）， 由题意可得四边形A1ABB1为直角梯形， 所以它的面积S＝（x1+x2+p）|y1﹣y2|＝（p+）|p+p|＝， 由题意可得3＝，p＞0， 可得p＝， 故选：B． 9．【答案】C 【分析】由已知可得A的坐标，由此可得准线方程，再由点斜式方程设出直线方程，与抛物线方程联立，利用相切判别式等于0，求出直线斜率，再求出p的值，进而可以求解． 【解答】解：据题意，点A（0，﹣），抛物线准线方程为y＝﹣，切线斜率k一定存在， 设过点A与抛物线相切的直线方程为y＝kx﹣，切点P（xp，yp）， 由，得x2﹣2pkx+p2＝0，Δ＝4p2k2﹣4p2＝0，解得k＝±1， 当k＝1时，则x2﹣2px+p2＝0，得xp＝p，此时直线方程为y＝x﹣，即yp＝xp﹣＝， 由x+（yp+）2＝2，得p＝1； 当k＝﹣1时，同理可得p＝1， 所以抛物线方程为：x2＝2y． 故选：C． 10．【答案】B 【分析】利用抛物线的定义，结合基本不等式，即可得出结论． 【解答】解：由题意，|AF|+|BF|＝2|MN|≥2＝8， ∴|MN|的最小值为4． 故选：B． 11．【答案】A 【分析】设点A（x1，y1），B（x2，y2），则，利用点差法可求得直线l的斜率，再利用点斜式可得出直线l的方程． 【解答】解：设点A（x1，y1）、B（x2，y2）， 因为线段AB的中点为（4，2）， 则， 若直线l⊥x轴，则线段AB的中点在x轴上，不合乎题意， 则直线l的斜率存在， 由已知， 两式作差可得（y1﹣y2）（y1+y2）＝4（x1﹣x2）， 所以，直线l的斜率为， 因此，直线l的方程为y﹣2＝x﹣4， 即x﹣y﹣2＝0． 故选：A． 12．【答案】D 【分析】求得抛物线的焦点坐标，联立直线方程和抛物线方程求交点，再由两点的距离公式，解方程可得a． 【解答】解：抛物线y＝ax2，的焦点为（0，）， 抛物线y＝ax2与直线y＝﹣2的交点为（±，﹣2），a＜0）， 由题意可得＝3， 解得a＝﹣， 故选：D． 13．【答案】B 【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，设出直线MN的方程，联立抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，解得p即可； 【解答】解：抛物线的焦点为F（，0）准线方程为x＝﹣， 设直线MN方程为y＝﹣2x+p， 联立抛物线方程可得y2+px﹣p2＝0， 故xM+xN＝＝＝， 由抛物线的定义可得|MN|＝xM+xN+p＝+p＝， 解得p＝1； 则该抛物线的方程是y2＝2x， 故选：B． 14．【答案】C 【分析】根据抛物线方程算出|OF|＝，设以MF为直径的圆过点A（0，2），在Rt△AOF中利用勾股定理算出|AF|＝．再由直线AO与以MF为直径的圆相切得到∠OAF＝∠AMF，Rt△AMF中利用∠AMF的正弦建立关系式，从而得到关于p的方程，解之得到实数p的值，进而得到抛物线C的方程． 【解答】解：∵抛物线C方程为y2＝2px（p＞0）， ∴焦点F坐标为（，0），可得|OF|＝， ∵以MF为直径的圆过点（0，2）， ∴设A（0，2），可得AF⊥AM， Rt△AOF中，|AF|＝＝， ∴sin∠OAF＝＝， ∵根据抛物线的定义，得直线AO切以MF为直径的圆于A点， ∴∠OAF＝∠AMF，可得Rt△AMF中，sin∠AMF＝＝， ∵|MF|＝5，|AF|＝ ∴＝，整理得4+＝，解之可得p＝2或p＝8 因此，抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝16x． 故选：C． 方法二： ∵抛物线C方程为y2＝2px（p＞0），∴焦点F（，0）， 设M（x，y），由抛物线性质|MF|＝x+＝5，可得x＝5﹣， 因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得，圆心横坐标为＝， 由已知圆半径也为，据此可知该圆与y轴相切于点（0，2），故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4， 即M（5﹣，4），代入抛物线方程得p2﹣10p+16＝0，所以p＝2或p＝8． 所以抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝16x． 故选：C． 15．【答案】B 【分析】设点A在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|AF|＝|AD|，把问题转化为求|PA|+|AD|取得最小，进而可推断出当D，P，A三点共线时|PA|+|AF|最小，答案可得． 【解答】解：设点A在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|AF|＝|AD| ∴要求|PA|+|AF|取得最小值，即求|PA|+|AD|取得最小 当D，P，A三点共线时|PA|+|AF|最小，为1﹣（﹣1）＝2 故选：B． 16．【答案】A 【分析】根据重心坐标公式求出R的坐标xR＝3﹣（xP+xQ），yR＝﹣（yp+yQ），设线PQ为x＝ky+m，与抛物线方程联立用m，k求出表示出R的坐标，结合抛物线的方程，求出k的取值范围，进而得出结论． 【解答】解：由题意知：焦点F（1，0），重心坐标公式：1＝，， ∴xR＝3﹣（xP+xQ），yR＝﹣（yp+yQ）， 设直线PQ为x＝ky+m， 由，联立消去x，得y2﹣4ky﹣4m＝0，Δ＝16k2+8（3﹣8k2）＞0，得0≤， yP+yQ＝4k，yPyQ＝﹣4m， 所以xP+xQ＝（kyP+m）+（kyQ+m）＝k（yP+yQ）+2m＝4k2+2m， 故xR＝3﹣（xP+xQ）＝3﹣4k2﹣2m，yR＝﹣4k， 代入抛物线C得16k2＝4（3﹣4k2﹣2m），得2m＝3﹣8k2， 由|PF|+|QF|＝xP+xQ+2＝4k2+2m+2＝5﹣4k2， 由0≤， 点F（1，0）不在直线PQ上，所以1≠m，即k2， 故|PF|+|QF|∈（3，）， 故选：A． 17．【答案】C 【分析】由题意得抛物线C的准线方程为x＝﹣，F（，0），作出图形，过点M作MN⊥x轴于点N，结合题意，即可得出答案． 【解答】解：抛物线C的准线方程为x＝﹣，F（，0）， 又直线l：y＝k（x+）（k＞0），则直线l经过点（﹣，0）， 作出图形，如图所示： 过点M作MN⊥x轴于点N， 由抛物线的定义得|MF|＝xM+， 又点M在直线l上，则yM＝k（xM+）， ∴|MF|＝， ∵sin∠MFO＝， ∴＝＝k＝，故． 故选：C． 18．【答案】D 【分析】先求出抛物线的方程，根据抛物线上的点到焦点的距离转化为到抛物线的准线的距离，结合图象，即可求出结果． 【解答】解：∵抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F， 准线为l且1过点（﹣3，2）， ∴抛物线的准线方程是x＝﹣3， 则抛物线的方程为y2＝12x， ∴点N（2，4）在抛物线内， 过点N做准线的垂线，垂足是A， 设点M到直线x＝﹣3的距离是d， ∵M在抛物线C上，F是抛物线的C焦点， ∴|MF|＝d， ∴|MN|+|MF|＝|MN|+d≥|NA|， ∴|MN|+|MF|的最小值|NA|＝2+3＝5， 故选：D． 19．【答案】D 【分析】过Q向准线l作垂线，垂足为Q′，根据已知条件，结合抛物线的定义，通过比例关系，即可得出结论． 【解答】解：当Q在PF的延长线时，过Q向准线l作垂线，垂足为Q′，根据已知条件，|PF|＝3|FQ|， 结合抛物线的定义得＝， ∵|FF′|＝p＝2，∴|QQ′|＝， ∴|QF|＝． 当Q在PF之间时，过Q向准线l作垂线，垂足为Q′，根据已知条件，|PF|＝3|FQ|， 结合抛物线的定义得＝， ∵|FF′|＝p＝2，∴|QQ′|＝， 故选：D． 20．【答案】D 【分析】联立可得Q（7，2），过P作PH垂直准线于点H，根据抛物线的定义可得：|PF|+|PQ|＝|PH|+|PQ|≥|QH|，即可． 【解答】解：由题意，得F（1，0），故直线AB的方程为x＝y+1， 联立可得， 设A（x1，y1），B（x2，y2），则，x1+x2＝（y1+y2）+2＝14， 故Q（7，2）， 过P作PH垂直准线于点H，根据抛物线的定义可得：|PF|+|PQ|＝|PH|+|PQ|≥|QH|＝7+1＝8， 故选：D． 21．【答案】C 【分析】利用抛物线的定义，转化求解M的横坐标即可． 【解答】解：由题意可知|MF|＝xM+＝xM+1＝3，解得xM＝2． 故选：C． 22．【答案】C 【分析】求出焦点坐标，利用点斜式求出直线的方程，代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，由弦长公式求得|AB|． 【解答】解：由y2＝3x得其焦点F（，0），准线方程为x＝﹣． 则过抛物线y2＝3x的焦点F且倾斜角为30°的直线方程为y＝tan30°（x﹣）＝（x﹣）． 代入抛物线方程，消去y，得16x2﹣168x+9＝0． 设A（x1，y1），B（x2，y2） 则x1+x2＝， 所以|AB|＝x1++x2+＝++＝12 故选：C． 23．【答案】D 【分析】斜率k存在，设直线AB为y＝k（x﹣2），代入抛物线方程，利用＝（x1+2，y1﹣2）•（x2+2，y2﹣2）＝0，即可求出k的值． 【解答】解：由抛物线C：y2＝8x得焦点（2，0）， 由题意可知：斜率k存在，设直线AB为y＝k（x﹣2）， 代入抛物线方程，得到k2x2﹣（4k2+8）x+4k2＝0，Δ＞0， 设A（x1，y1），B（x2，y2）． ∴x1+x2＝4+，x1x2＝4． ∴y1+y2＝，y1y2＝﹣16， 又＝0， ∴＝（x1+2，y1﹣2）•（x2+2，y2﹣2）＝＝0 ∴k＝2． 故选：D． 24．【答案】B 【分析】设A，B的坐标，联立直线l与抛物线的方程，可得A，B的坐标，由题意可得A1，B1的坐标，且四边形A1ABB1为直角梯形，可得它的面积，再求出p的值． 【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），联立， 整理可得4p2x2﹣5px+p2＝0，解得x1＝p，x2＝， 则y1＝2x1﹣p＝p，y2＝2x2﹣p＝﹣p， 即A（p，p），B（，﹣p）， 由题意，可得A1（﹣，p），B1（﹣，﹣p）， 由题意，可得四边形A1ABB1为直角梯形， 所以它的面积S＝（x1+x2+p）|y1﹣y2| ＝（p+）|p+p|＝， 由题意，可得＝，p＞0， 可得p＝4， 故选：B． 25．【答案】B 【分析】利用已知条件，结合抛物线的定义，求解A的坐标，然后求解即可． 【解答】解：F为抛物线C：y2＝4x的焦点（1，0），点A在C上，点B（3，0），|AF|＝|BF|＝2， 由抛物线的定义可知A（1，2）（A不妨在第一象限），所以|AB|＝＝2． 故选：B． 二．填空题（共15小题） 26．【答案】． 【分析】根据已知条件，先求出p，再结合抛物线的定义，即可求解． 【解答】解：点A（1，）在抛物线C：y2＝2px上， 则5＝2p，解得p＝， 由抛物线的定义可知，A到C的准线的距离为． 故答案为：． 27．【答案】见试题解答内容 【分析】设P（x0，y0）根据定义点M与焦点F的距离等于P到准线的距离，求出x0，然后代入抛物线方程求出y0即可求出坐标．然后求解直线的斜率． 【解答】解：根据定义，点P与准线的距离也是2P， 设M（x0，y0），则P与准线的距离为：x0+， ∴x0+＝2p，x0＝p， ∴y0＝±p， ∴点M的坐标（p，±p）． 直线MF的斜率为：＝±． 故答案为：±． 28．【答案】见试题解答内容 【分析】依题意不妨设抛物线M：y2＝2px（p＞0）与圆C的一个交点为O，设令一个交点为A（x1，y1），又因为点A在抛物线上，求出p的值，问题得以解决 【解答】解：依题意不妨设抛物线M：y2＝2px（p＞0）与圆C的一个交点为O，设另一个交点为A（x1，y1） 又|OA|＝， ∴cos∠AOC＝＝＝， 则∠AOC＝， 点A坐标为（，），代入抛物线方程，解得p＝， 则抛物线M的焦点到其准线的距离为 29．【答案】见试题解答内容 【分析】联立方程组，求出点A，B的坐标，根据向量的坐标运算即可求出 【解答】解：由y2＝8x可得焦点坐标为（2，0） 由，解得或， 即A（2﹣，2﹣2），B（2+，2+2）， ∴＝（﹣，2﹣2），＝（，2+2）， ∴•＝（﹣，2﹣2）•（，2+2）＝﹣3+（4﹣12）＝﹣11， 故答案为：﹣11． 30．【答案】见试题解答内容 【分析】利用直线与抛物线的位置关系，结合弦长公式，转化求解p，即可得到抛物线方程． 【解答】解：抛物线y2＝2px（p＞0），过其焦点的直线交抛物线于A，B两点， 若|AB|＝6，AB的中点的横坐标为2， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则＝2，因为AB＝x1+x2+p＝6，可得p＝2， 所求的抛物线方程为：y2＝4x． 故答案为：y2＝4x． 31．【答案】见试题解答内容 【分析】求得抛物线的2p＝10，由准线方程x＝，可得所求准线方程． 【解答】解：抛物线y2＝﹣10x， 可得2p＝10，即p＝5， 可得准线方程x＝， 即x＝， 故答案为：x＝． 32．【答案】． 【分析】根据已知条件，可得，再结合抛物线的定义，即可求解． 【解答】解：∵y＝2ax2（a＞0）， ∴， ∴， ∵A（m，）到其焦点F的距离为1， ∴，解得a＝． 故答案为：． 33．【答案】（2，2）． 【分析】直接设出直线AB的方程，利用已知条件即可解出点A坐标． 【解答】解：由题意可知F（1，0），直线AB的斜率存在且不为零， 设AB方程为：x＝my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），不妨设点B在x轴下方， 联立方程，即y2﹣4my﹣4＝0， ∴y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4， ∵， ∴y1＝﹣2y2， 易得﹣2＝﹣4，即y2＝±， ∴y1＝±2，代入抛物线方程即可得x1＝2， 故点A（2，2）． 故答案为：（2，2）． 34．【答案】． 【分析】运用已知条件，结合斜率公式，以及重心的定义，即可求解． 【解答】解：设B（xB，yB），C（xC，yc）， ∵B，C在抛物线y2＝4x上， ∴，， 由斜率的坐标公式可得，＝， ∵M为△ABC的重心， ∴yA+yB+yC＝3yM， ∴， ∴， 故答案为：﹣． 35．【答案】4． 【分析】根据题意，延长BF，与抛物线C交于点A′，由抛物线的对称性可得|AF|＝|A′F|，进而可得|A′B|＝，联立直线与抛物线的方程，求出|A′B|的值，可得关于p的方程，解可得答案． 【解答】解：根据题意，延长BF，与抛物线C交于点A′， 又由AF和BF与x轴所成锐角均为60°，则直线A′B的倾斜角为60°，且|AF|＝|A′F|， 又由，则|A′B|＝， 抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为（，0）， 设直线A′B的方程为y＝（x﹣）， 则有，联立化简可得12x2﹣20px+3p2＝0， 则有x1+x2＝＝，x1x2＝， 则（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝﹣p2＝， 故|A′B|＝＝＝， 解可得p＝4， 故答案为：4． 36．【答案】4． 【分析】利用抛物线的定义求解即可． 【解答】解：由抛物线的定义，可知|PF|＝xp+2＝8，所以xp＝6， 代入y2＝8x中，得， 所以， 故答案为：． 37．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）利用直译法直接求出P点的轨迹． （2）先利用阿氏圆的定义将转化为M点到另一个定点的距离，然后结合抛物线的定义容易求得|MC|+|QH|+|QM|的最小值． 【解答】解：设P（x，y），由题意可得：＝，即＝，整理可得：x2+y2＝4． 做出图象如右：设圆（x+2）2+y2＝4是动点M（x，y）到C（﹣2，4）与到定点D（﹣2，m）的距离比为2的阿氏圆． 所以，化简得 则m﹣1＝0，所以m＝1，故D（﹣2，1），∴，结合抛物线定义|QH|＝|QF|， ∴|MC|+|QH|+|QM＝|MD|+|QM|+|QF|≥|FD|（当且仅当D，M，Q，F四点共线，且Q，M在D，F之间时取等号）， 此时|FD|＝． 故|MC|+|QH|+|QM|的最小值为． 故答案为：x2+y2＝4，． 38．【答案】见试题解答内容 【分析】由题意得到以F为圆心，P为半径的圆的方程，再令A为y轴正半轴上的点，从而求出A点坐标，得到直线AF的方程，分别与抛物线的准线方程、抛物线方程联立求出C、D两点坐标，即可用p表示出|FD|•|CD|，再由|AD|＝m，且m∈[1，2]，求出p的范围，即可得出结果． 【解答】解：由题意可得抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F（，0），准线方程为x＝﹣， 所以以F为圆心，p为半径的圆的方程为+y2＝p2， 因为A，B两点为圆+y2＝p2与y轴的两个交点，不妨令A为y轴正半轴上的点， 由x＝0得，A（0，）； 所以直线AF的斜率为kAF＝＝﹣，因此直线AF的方程为y＝﹣x+， 由得C（﹣，p）； 由得D（，）， 所以|FD|＝+＝，|CD|＝＝p， |AD|＝＝p， 又|AD|＝m，且m∈[1，2]，所以p∈[1，2]，即p∈[3，6]， 因此|FD|•|CD|＝p2≤32，当且仅当p＝6时，取等号． 故答案为：32． 39．【答案】p＝或3． 【分析】由题意，分∠FAB＝60°时，∠EFA＝60°时，根据抛物线的性质和三角形的面积公式即可求出． 【解答】解：根据抛物线的图象特征可知，当四边形ABEF是梯形时，AB∥EF，且|EF|＝p， 当∠FAB＝60°时，如图1所示， 过点F作FD⊥AB于D，则|BD|＝p， 设|AD|＝m，则|AF|＝2m，由抛物线的定义可知，2m＝p+m， 所以m＝p，|DF|＝p， 由（2p+p）•p＝，解得p＝（负值舍去）， 当∠EFA＝60°时，如图2所示， 过点A作AD⊥EF于D， 设|AB|＝m，则|DE|＝m，|DF|＝p﹣m，所以|AF|＝2p﹣2m， 由抛物线的定义可知，m＝2p﹣2m， 所以m＝p，|DF|＝p，所以|AD|＝p， 由（p+p）•p＝，解得p＝3（负值舍去）， 综上可知p＝或3． 故答案为：p＝或3． 40．【答案】见试题解答内容 【分析】设P（x，y），取l与x轴的交点B，在Rt△ABF中，∠AFB＝30°，|BF|＝4，则|AB|＝|y|＝，利用抛物线的方程求出P的横坐标，利用抛物线的定义，求出|PF|． 【解答】解：设P（x，y），取l与x轴的交点B， 在Rt△ABF中，∠AFB＝30°，|BF|＝4，则|AB|＝|y|＝， ∴8x＝， ∴x＝， ∴|PF|＝2+＝． 故答案为：． 三．解答题（共10小题） 41．【答案】． 【分析】略 【解答】解：设A（），，， 由条件知y1，y2，y3两两不等且非零， 设直线AB的方程为x＝ty+1，与抛物线方程联立可得，y2﹣4ty﹣4＝0， 故y1y2＝﹣4 ①， 注意到△AOB的外接圆过点O， 可设该圆的方程为x2+y2+dx+ey＝0，与联立可得，， 该四次方程有y＝y1，y2，y3，0 这四个不同的实根， 故由韦达定理可得，y1+y2+y3+0＝0， 从而y3＝﹣（y1+y2） ②， 因PF平方∠APB，由角平分线定理可知，， 结合①②，有＝＝ ＝＝， 即＝， 故， 当时，y2＝﹣y1，故y3＝0，此时P与O重合，与条件不符， 当 时，注意到①， 有， 因＝|2y1y2|， 故满足①以及的实数y1，y2 存在， 对应可得满足条件的点A，B，此时，结合①②知 |PF|＝＝＝＝． 42．【答案】见试题解答内容 【分析】（Ⅰ）求出抛物线的标准方程，根据抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点到准线的距离为，求出p的值，即可求出a的值； （Ⅱ）运用中点坐标公式可得Q的坐标，运用两点的斜率公式，可得QA的斜率，求得抛物线对应函数的导数，可得切线的斜率，即可得证； 【解答】解：（Ⅰ）抛物线的标准方程为x2＝y， 即2p＝， ∵抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点到准线的距离为， ∴p＝，即2p＝＝1， 则a＝1； （Ⅱ）由（Ⅰ）得抛物线的标准方程为x2＝y， 设直线AB：y＝kx+c，与y＝x2联立，得x2﹣kx﹣c＝0， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则x1+x2＝k，x1x2＝﹣c，从而y1y2＝x12x22＝c2， 若P为线段AB的中点，则， 故直线PQ：x＝，可得． 设，kQA＝＝， 由（Ⅰ）可得x1x2＝﹣c，即有x2＝﹣， 可得kQA＝＝2x1， 由y＝x2的导数为y′＝2x， 可得过A的切线的斜率为2x1， 故直线QA与该抛物线有且仅有一个公共点；即QA为抛物线的切线． 同理可知QB也为抛物线的切线． 即QA，QB为抛物线的切线． 43．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据题意可得x02+（y0﹣）2＝，①，|1﹣|•|x0|＝，②，x02＝2py0，③，由①②③解得p＝1 （2）设P（x0，y0），M（0，b），N（0，c），且b＞c，则直线PM的方程可得，由题设知，圆心（0，1）到直线PM的距离为1，把x0，y0代入化简整理可得（2y0﹣1）b2﹣2y0b﹣y02＝0，同理可得（2y0﹣1）c2﹣2y0c﹣y02＝0，进而可知b，c为（2y0﹣1）x2﹣2y0x﹣y02＝0的两根，根据求根公式，可求得b﹣c，进而可得△PMN的面积的表达式，根据均值不等式可得 【解答】解：（1）抛物线E：x2＝2py（0＜p＜2）的焦点为F（0，），圆C：x2+（y﹣1）2＝1的圆心C为（0，1）， ∵|PF|＝， ∴x02+（y0﹣）2＝，①， ∵△PFC的面积为， ∴|1﹣|•|x0|＝，②， 又x02＝2py0，③， 由①②③解得p＝1， ∴抛物线方程为x2＝2y， （2）设M（0，b），N（0，c），且b＞c， 故直线PM的方程为（y0﹣b）x﹣x0y+x0b＝0，即（y0﹣b）x﹣x0y+x0b＝0， 由题设知，圆心（0，1）到直线PM的距离为1， 即＝1，注意到x0＞2，化简上式，得（2y0﹣1）b2﹣2y0b﹣y02＝0， 同理可得（2y0﹣1）c2﹣2y0c﹣y02＝0， 由上可知，b，c为（2y0﹣1）x2﹣2y0x﹣y02＝0的两根，根据求根公式，可得 b﹣c＝， 故△PMN的面积为 S＝（ b﹣c ）x0＝•＝＝＝＝＝y0++＝y0﹣++1≥2+1＝2， 当且仅当y0＝1等号成立．此时点P的坐标为 （ ，1）或 （﹣，1）， 综上所述，当点P的坐标为 （ ，1）或 （﹣，1），时，△PMN的面积取最小值2 44．【答案】（1）32； （2）． 【分析】（1）设lAB：y＝k（x﹣1），与抛物线联立，可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用根与系数的关系可得|AB|＝4+，同理可得|CD|＝4+4k2，利用面积公式即基本不等式即可求得四边形ACBD的面积的最小值； （2）设A（，2t1）（t1＞0），B（，2t2）（t2＜0），C（，2t3）（t3＞0），D（，2t4）（t4＜0），由点A，F，B共线，可得t1t2＝﹣1，同理t3t4＝﹣1，由AB⊥CD，可得（t1+t2）（t3+t4）＝﹣4，求出直线CD的方程，可得点N，从而可得直线AN的方程，即可求得点Q的横坐标，然后求解S△AQB的表达式，结合函数的导数求解函数的最小值即可． 【解答】解：（1）由已知可得直线AB的斜率必存在，设直线AB的斜率为k（k≠0）， 抛物线y2＝4x的焦点F（1，0），则lAB：y＝k（x﹣1）， 与抛物线联立，⇒k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0， 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝，x1x2＝1， |AB|＝x1+x2+2＝4+， 同理，|CD|＝4+4k2， 则四边形ACBD的面积为S＝|AB||CD|＝（4+）（4+4k2）＝8（2+k2+）≥8（2+2）＝32， 当且仅当k＝±1时等号成立， 故四边形ACBD的面积的最小值为32． （2）设A（，2t1）（t1＞0），B（，2t2）（t2＜0），C（，2t3）（t3＞0），D（，2t4）（t4＜0）， 则kAB＝，kCD＝，kAF＝，考虑到点A，F，B共线， 则kAB＝kAF，所以＝，从而t1t2＝﹣1， 同理t3t4＝﹣1， 由于AB⊥CD，从而kABkCD＝•＝﹣1，故（t1+t2）（t3+t4）＝﹣4， 由于直线CD：y＝（x﹣1），则点N（﹣1，）， 由于＝t1+t2，故N（﹣1，t1+t2）， 由于kAN＝＝＝＝， 从而直线AN的方程为y＝（x﹣）+2t1，即y＝x+t1， 从而点Q的横坐标为x0＝﹣，由此|FQ|＝1+， 又|yA﹣yB|＝|2t1﹣2t2|＝|2t1+|＝， 从而S△AQB＝|FQ|•|yA﹣yB|＝（1+）×＝＝t13+2t1+（t1＞0）， 令f（t1）＝t13+2t1+，则f′（t1）＝3t12+2﹣＝， 当t1∈（0，）时，f′（t1）＜0，f（t1）单调递减，当t1∈（，+∞）时，f′（t1）＞0，f（t1）单调递增， 所以当t1＝时，f（t1）取得最小值，最小值为f（）＝， 即△AQB面积的最小值为． 45．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据P1和P2的坐标可表示出P1P2的中点的坐标，进而求得P3的横坐标和纵坐标．代入△P1P2P3的面积表达式，化简整理即可． （2）根据P1和P3的坐标可表示出P1P3的中点的坐标，可求出点Q1的横、纵坐标和点Q2的横、纵坐标，再由行列式求面积的方法求出面积． （3）根据线段P1P2与抛物线所围成的图形的面积等于+（+）可得到答案． 【解答】解：（1）∵P1的坐标为（x1，y1），P2的坐标为（x2，y2）， ∴P1P2的中点为 点P3的横坐标，纵坐标 △P1P2P3的面积＝的绝对值 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝． （2）∵P1的坐标为（x1，y1）， P3的坐标为， ∴P1P3的中点为， 点Q1的横坐标，纵坐标． 同理，点Q2的横坐标，纵坐标． △P1P3Q1的面积+△P2P3Q2的面积 ＝的绝对值+的绝对值 ＝ ＝﹣y2|•|（y2﹣y1）2| ＝． （3）线段P1P2与抛物线所围成的图形的面积 S＝+（+） ＝ ＝． 46．【答案】见试题解答内容 【分析】（I）设A（x1，y1），B（x2，y2），利用定义可得|AF|＝y1+，|BF|＝y2+，|AB|＝y1+y2+p，AB的中点到x轴的距离是5，可得＝5，解得p． （II）由题意可得：直线AB的斜率存在且不为0，设为：y＝kx+1（k≠0），与抛物线方程联立化为：x2﹣4kx﹣4＝0，M在直线y＝kx+1上，且yM＝﹣1，∴可得＝﹣．即M，根据＝λ1，＝λ2，可得＝λ1（0﹣x1），x2+＝λ2（0﹣x2），再利用根与系数的关系即可得出． 【解答】解：（I）设A（x1，y1），B（x2，y2），则|AF|＝y1+，|BF|＝y2+，|AB|＝y1+y2+p， AB的中点到x轴的距离是5，∴＝5，∴y1+y2＝10，10+p＝12，解得p＝2． ∴x2＝4y． （II）由题意可得：直线AB的斜率存在且不为0，设为：y＝kx+1（k≠0）， 联立，化为：x2﹣4kx﹣4＝0，则Δ＝16k2+16＞0，x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4， M在直线y＝kx+1上，且yM＝﹣1，∴xM＝﹣．即M，∵＝λ1，＝λ2， ∴＝λ1（0﹣x1），x2+＝λ2（0﹣x2）， ∴λ1+λ2＝﹣2﹣×＝0． 47．【答案】见试题解答内容 【分析】设P（x1，y1），Q（x2，y2），运用中点坐标公式和作差法，结合直线的斜率公式可得直线l的斜率，由点斜式方程可得直线l的方程． 【解答】解：设P（x1，y1），Q（x2，y2）， A是PQ的中点， 即有x1+x2＝4，y1+y2＝2， 由y12＝4x1，y22＝4x2， 作差可得（y1﹣y2）（y1+y2）＝4（x1﹣x2）， 即有直线l的斜率为＝＝2， 则直线l的方程为y﹣1＝2（x﹣2）， 即为2x﹣y﹣3＝0． 48．【答案】（1）±1， （2）存在这样的P点（0，﹣2），使得直线PA，PB的斜率之和恒为零． 【分析】（1）由抛物线的方程可得焦点F的坐标，由题意设直线l的方程，与抛物线联立求出两根之和，这样抛物线的性质，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离及题意可得直线l的斜率； （2）假设存在这样的点P，求出直线PA，PB的斜率，由斜率之和为0，可得点P的坐标为定值． 【解答】解：（1）由抛物线的方程C：x2＝8y可得焦点F（0，2）， 由题意可知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为：y＝kx+2，设A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立直线与抛物线的方程：，整理可得：x2﹣8ky﹣16＝0， x1+x2＝8k，x1x2＝﹣16， 所以y1+y2＝k（x1+x2）+4＝8k2+4， 由抛物线的性质，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离可得： |AB|＝y1+y2+4＝8k2+8， 所以8k2+8＝16，解得：k＝±1， 所以直线l的斜率为±1； （2）假设存在P（0，m）， 则kPA＝，kPB＝， kPA+kPB＝+＝＝＝＝2k•（2+m）， 要使其为定值，则2+m＝0， 即m＝﹣2， 所以存在这样的P点（0，﹣2），使得直线PA，PB的斜率之和恒为零． 49．【答案】见试题解答内容 【分析】设出M、N以及直线MN中点的坐标，将M、N的坐标代入抛物线方程联立方程组解出MN的中点坐标，根据斜率和中点坐标用点斜式方程即可表示出直线MN的方程． 【解答】解：设M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点坐标（x0，y0）， ∴，两式相减得：（y1+y2）（y1﹣y2）＝4（x1﹣x2）， ∵直线MN和直线x+2y＝8垂直， ∴直线MN的斜率k＝＝2，∴y1+y2＝2， ∴y0＝＝1，则x0＝8﹣2y0＝6， ∴MN的中点坐标为（6，1），又MN的斜率为2， ∴MN的方程为：y﹣1＝2（x﹣6），即2x﹣y﹣11＝0． 50．【答案】见试题解答内容 【分析】（Ⅰ）设P（，t），则|PF|＝＝2，解得t即可． （Ⅱ）由题意可知PA，PB的斜率存在且不为0，设直线PA的方程为：x＝m（y﹣2）+1，PB的方程为：x＝﹣m（y﹣2）+1，联立直线与抛物线方程，求得A（4m2﹣4m+1，4m﹣2），B（（4m2+4m+1，﹣4m﹣2），即可得直线AB的倾斜角为定值． 【解答】解：（Ⅰ）设P（，t）， 则|PF|＝＝2．∴t＝2或t＝﹣2， ∵P位于x轴的上方，∴t＝2． 即P（1，2） （Ⅱ）由题意可知PA，PB的斜率存在且不为0， 设直线PA的方程为：x＝m（y﹣2）+1，PB的方程为：x＝﹣m（y﹣2）+1 联立⇒y2﹣4my+8m﹣4＝0． ∴2+y1＝4m，y1＝4m﹣2，x1＝4m2﹣4m+1， 故A（4m2﹣4m+1，4m﹣2），同理可得B（（4m2+4m+1，﹣4m﹣2）， 则kAB＝， ∴直线AB的倾斜角为定值． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/5/17 15:35:14；用户：Damon；邮箱：13120434074；学号：24730468 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$