第二章 直线及其方程-高中数学选择必修第一册精选易错题练习（人教B版2019)

精选易错题练习—【第二章】 直线及其方程 一．选择题（共27小题） 1．已知直线l1：a2x+y﹣2＝0与直线l2：x﹣（2a+3）y+1＝0垂直，则a＝（　　） A．3 B．1或﹣3 C．﹣1 D．3或﹣1 2．若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（　　） A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2 C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2 3．已知直线l1：mx+3y+3＝0，l2：x+（m﹣2）y+1＝0，则“m＝3”是“l1∥l2”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．直线l：ax+y﹣2﹣a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．﹣2或﹣1 D．﹣2或1 5．两条直线A1x+B1y+C1＝0，A2x+B2y+C2＝0垂直的充要条件是（　　） A．A1A2+B1B2＝0 B．A1A2﹣B1B2＝0 C． D． 6．直线x+ay+1＝0与直线（a+1）x﹣2y+3＝0互相垂直，则a的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 7．已知θ为直线y＝3x﹣5的倾斜角，若A（cosθ，sinθ），B（2cosθ+sinθ，5cosθ﹣sinθ），则直线AB的斜率为（　　） A．3 B．﹣4 C． D．﹣ 8．原点到直线x+2y﹣5＝0的距离为（　　） A．1 B． C．2 D． 9．在平面直角坐标系中，直线x+ay+2＝0与直线2x+y+c＝0平行的充分必要条件是（　　） A．a＝且c≠1 B．a＝2且c≠1 C．a＝2且c≠4 D．a＝且c≠4 10．和直线3x﹣4y+5＝0关于x轴对称的直线的方程为（　　） A．3x+4y﹣5＝0 B．3x+4y+5＝0 C．﹣3x+4y﹣5＝0 D．﹣3x+4y+5＝0 11．设λ∈R，则“λ＝﹣3”是“直线2λx+（λ﹣1）y﹣1＝0与直线6x+（1﹣λ）y﹣4＝0平行”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12．已知直线l1：x﹣3y+1＝0，若直线l2与l1垂直，则l2的倾斜角是（　　） A．150° B．120° C．60° D．30° 13．斜率为k（k＞0）的直线沿x轴的正方向平移5个单位，平移后的直线与原直线之间的距离为4，则k＝（　　） A． B． C． D． 14．等腰三角形两腰所在直线的方程分别为x+y﹣2＝0与x﹣7y﹣4＝0，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（　　） A．3 B．2 C． D． 15．已知a∈R，则直线l1：x+ay﹣1＝0与直线l2：（1﹣a）x+2ay﹣1＝0平行的充要条件是（　　） A．a≠0 B．a＝0 C．a＝﹣1 D．a＝0或a＝﹣1 16．点（4，0）关于直线5x+4y+21＝0的对称点是（　　） A．（﹣6，8） B．（﹣8，﹣6） C．（6，8） D．（﹣6，﹣8） 17．P（2，5）关于直线x+y＝0的对称点的坐标是（　　） A．（5，2） B．（2，﹣5） C．（﹣5，﹣2） D．（﹣2，﹣5） 18．已知直线ax+2y＝4的倾斜角为135°，则a＝（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 19．已知直线l1：ax+（a+2）y+1＝0，l2：x+ay+2＝0（a∈R），则“”是“l1∥l2”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 20．如果直线ax+2y+2＝0与直线3x﹣y﹣2＝0平行，那么实数a等于（　　） A．﹣6 B．﹣3 C． D． 21．点（0，5）到直线y＝2x的距离为（　　） A． B． C． D． 22．在直角坐标系中，直线y＝﹣x+1的倾斜角为（　　） A． B． C． D． 23．直线2x+3y﹣6＝0关于点（1，﹣1）对称的直线是（　　） A．3x﹣2y+2＝0 B．2x+3y+7＝0 C．3x﹣2y﹣12＝0 D．2x+3y+8＝0 24．点（0，﹣1）到直线y＝k（x+1）距离的最大值为（　　） A．1 B． C． D．2 25．已知倾斜角为θ的直线l与直线x+2y﹣3＝0垂直，则sin2θ的值为（　　） A． B． C． D．﹣ 26．已知直线l1的倾斜角比直线l2：y＝﹣xtan80°的倾斜角大20°，则l1的斜率为（　　） A． B． C． D． 27．已知直线l1：ax+3y﹣6＝0，直线l2：2x+（a﹣1）y﹣4＝0，则“a＝﹣2”是“l1∥l2”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二．填空题（共13小题） 28．已知曲线y＝x2﹣1在x＝x0点处的切线与曲线y＝1﹣x3在x＝x0处的切线互相平行，则x0的值为　 　． 29．若三点A（a，2），B（5，8），C（5，）在同一条直线上，则实数a＝　 　． 30．给定三点A（1，0），B（﹣1，0），C（1，2），那么通过点A并且与直线BC垂直的直线方程　 　． 31．直线l1与直线l2交于一点P，且l1的斜率为，l2的斜率为2k，直线l1、l2与x轴围成一个等腰三角形，则正实数k的所有可能的取值为　 　． 32．点（3，﹣1）关于直线x+y＝0的对称点为　 　． 33．圆心为（1，2）且与直线5x﹣12y﹣7＝0相切的圆的方程为　 　． 34．若实数x、y满足（x﹣2）2+y2＝3，则的最大值为　 　． 35．坐标原点关于直线x﹣y﹣6＝0的对称点的坐标为　 　． 36．已知实数a，b满足：a2+b2≠0，过点M（﹣1，0）作直线ax+by+2b﹣a＝0的垂线，垂足为N，点P（1，1），则|PN|的最大值为　 　． 37．直线x﹣ysinα﹣3＝0（α∈R）的倾斜角的取值范围是　 　． 38．在平面直角坐标系中，若正方形的四条边所在的直线分别经过点A（1，0），B（2，0），C（4，0），D（8，0），则这个正方形的面积可能为 　 　或 　 　．（每条横线上只填写一个可能结果） 39．直线x+2y＝1关于点M（1，2）对称的直线的方程为　 　． 40．若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为　 　，　 　． 三．解答题（共14小题） 41．已知曲线C：xy＝1，过C上一点A1（x1，y1）作斜率k1的直线，交曲线C于另一点A2（x2，y2），再过A2（x2，y2）作斜率为k2的直线，交曲线C于另一点A3（x3，y3），…，过An（xn，yn）作斜率为kn的直线，交曲线C于另一点An+1（xn+1，yn+1）…，其中x1＝1， （1）求xn+1与xn的关系式； （2）判断xn与2的大小关系，并证明你的结论； （3）求证：|x1﹣2|+|x2﹣2|+…+|xn﹣2|＜2． 42．根据下列条件，求直线方程： （1）过点A（1，2），且倾斜角是直线y＝x+3的倾斜角的2倍； （2）经过点P（3，2），且两坐标轴上的截距相等． 43．已知直线l过点A（﹣2，1）． （1）若直线l与直线2x+3y+5＝0垂直，求直线l的方程； （2）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程． 44．已知平面内两点A（8，﹣6），B（2，2）． （Ⅰ）求AB的中垂线方程； （Ⅱ）求过P（2，﹣3）点且与直线AB平行的直线l的方程． 45．在直角坐标平面上，向量＝（1，3）与＝（﹣3，1），在直线l上的射影长度相等，且直线l的倾斜角是锐角，求l的斜率． 46．已知一直线经过（2，3），其斜率为﹣1，则此直线方程如何？ 47．若一直线通过原点且垂直于直线ax+by+c＝0，求直线的方程． 48．用解析法证明直径所对的圆周角是直角． 49．求原点至3x+4y+1＝0的距离？ 50．P，Q，R顺次为△ABC中BC，CA，AB三边的中点，求证圆ABC在A点的切线与圆PQR在P点的切线平行． 51．已知△ABC的三个顶点分别为A（1，3），B（3，1），C（﹣1，0）． （Ⅰ）设线段AB的中点为M，求中线CM所在直线的方程； （Ⅱ）求AB边上的高线的长． 52．已知直线l过点A（2m，3），B（2，﹣1）． （1）若直线l的倾斜角为45°，求实数m的值； （2）若直线l的倾斜角为钝角，求实数m的取值范围． 53．已知直线l：3x+4y+5＝0，求： （1）过点A（1，1）且与直线l平行的直线的方程； （2）过点A（1，1）且与直线l垂直的直线的方程． 54．已知直线l：ax﹣y+3+a2＝0（a∈R）． （Ⅰ）若l不经过第三象限，求a的取值范围； （Ⅱ）求坐标原点O到直线l距离的最小值，并求此时直线l的方程． 精选易错题练习—【第二章】 直线及其方程 参考答案与试题解析 一．选择题（共27小题） 1．【答案】D 【分析】根据题意，由直线垂直的判断方法可得a2﹣（2a+3）＝0，解可得a的值，即可得答案． 【解答】解：根据题意，直线l1：a2x+y﹣2＝0与直线l2：x﹣（2a+3）y+1＝0垂直， 则有a2﹣（2a+3）＝0， 解可得：a＝3或﹣1； 故选：D． 2．【答案】D 【分析】由直线斜率（倾斜角的正切值）的定义和正切函数的单调性可得． 【解答】解：直线l1的倾斜角是钝角，则斜率k1＜0； 直线l2与l3的倾斜角都是锐角，斜率都是正数， 但直线l2的倾斜角大于l3的倾斜角，所以k2＞k3＞0， 所以k1＜k3＜k2， 故选：D． 3．【答案】D 【分析】根据直线的平行关系求出m的值，再根据充分必要条件的定义判断即可． 【解答】解：若“l1∥l2”， 则m（m﹣2）＝3，解得：m＝3或m＝﹣1， 而m＝3时，直线重合， 故m＝﹣1， 故“m＝3”是“l1∥l2”的既不充分也不必要条件， 故选：D． 4．【答案】D 【分析】先求出直线在两个坐标轴上的截距，由在两个坐标轴上的截距相等解方程求得a的值． 【解答】解：由直线的方程：ax+y﹣2﹣a＝0得， 此直线在x轴和y轴上的截距分别为 和2+a， 由 ＝2+a， 得a＝1 或 a＝﹣2， 故选：D． 5．【答案】A 【分析】两条直线A1x+B1y+C1＝0，A2x+B2y+C2＝0垂直，就是两条直线的方向向量的数量积为0，求解即可得到选项． 【解答】解：直线A1x+B1y+C1＝0的方向向量为（﹣B1，A1），直线A2x+B2y+C2＝0的方向向量为（﹣B2，A2）， 两条直线A1x+B1y+C1＝0，A2x+B2y+C2＝0垂直，就是两条直线的方向向量的数量积为0， 即：（﹣B1，A1）（﹣B2，A2）＝0 可得A1A2+B1B2＝0 故选：A． 6．【答案】C 【分析】由直线x+ay+1＝0与直线（a+1）x﹣2y+3＝0互相垂直，知1×（a+1）+a×（﹣2）＝0，由此能求出a． 【解答】解：∵直线x+ay+1＝0与直线（a+1）x﹣2y+3＝0互相垂直， ∴1×（a+1）+a×（﹣2）＝0， 解得a＝1． 故选：C． 7．【答案】D 【分析】推导出tanθ＝3，由利用斜率公式及同角三角函数关系式能求出直线AB的斜率． 【解答】解：∵θ为直线y＝3x﹣5的倾斜角，∴tanθ＝3， ∵A（cosθ，sinθ），B（2cosθ+sinθ，5cosθ﹣sinθ）， ∴直线AB的斜率为： k＝＝＝＝﹣． 故选：D． 8．【答案】D 【分析】用点到直线的距离公式直接求解． 【解答】解析：． 故选：D． 9．【答案】D 【分析】由两直线平行可得，且c≠4，求解即可得答案． 【解答】解：∵直线x+ay+2＝0与直线2x+y+c＝0平行， ∴，且c≠4，解得且c≠4． 故选：D． 10．【答案】B 【分析】求出和直线3x﹣4y+5＝0关于x轴对称的直线的斜率，再求出直线3x﹣4y+5＝0和x轴的交点，可求答案． 【解答】解：和直线3x﹣4y+5＝0关于x轴对称的直线，其斜率与直线3x﹣4y+5＝0的斜率相反， 设所求直线为3x+4y+b＝0，两直线在x轴截距相等，所以所求直线是3x+4y+5＝0． 故选：B． 11．【答案】A 【分析】先求出两直线平行的充要条件，再根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论． 【解答】解：①当λ＝1时，两直线可化为2x+1＝0，6x﹣4＝0，∴两直线平行， ②当λ≠1时，∵两直线平行，∴＝，∴λ＝﹣3， 综上，当λ＝1或λ＝﹣3时，两直线平行． ∴当λ＝﹣3是两直线平行的充分不必要条件． 故选：A． 12．【答案】B 【分析】根据已知条件，结合直线斜率与倾斜角的关系，即可求解． 【解答】解：∵直线l1：x﹣3y+1＝0， ∴， ∵直线l2与l1垂直， ∴，解得， ∴l2的倾斜角为120°． 故选：B． 13．【答案】B 【分析】根据直线的平移规律，两条平行线间的距离公式，求出k的值． 【解答】解：设斜率为k（k＞0）的直线为y＝kx+b，把它沿x轴的正方向平移5个单位，得到直线y＝k（x﹣5）+b， 根据平移后的直线与原直线之间的距离为4，可得＝4，求得k＝， 故选：B． 14．【答案】A 【分析】利用原点在等腰三角形的底边上，可设底边方程y＝kx，用到角公式，再借助草图，选项判定结果即可． 【解答】解：l1：x+y﹣2＝0，k1＝﹣1，，设底边为l3：y＝kx 由题意，l3到l1所成的角等于l2到l3所成的角于是有，解得k＝3或k＝﹣， 因为原点在等腰三角形的底边上，所以k＝3． k＝，原点不在等腰三角形的底边上（舍去）， 故选：A． 15．【答案】C 【分析】当a＝0时，直线l1与直线l2重合，不成立；当a≠0时，列方程求出a＝﹣1，反之，当a＝﹣1时，直线l1与直线l2平行．由此能求出直线l1与直线l2平行的充要条件． 【解答】解：a∈R，直线l1：x+ay﹣1＝0与直线l2：（1﹣a）x+2ay﹣1＝0平行， ∴当a＝0时，直线l1：x+ay﹣1＝0与直线l2：（1﹣a）x+2ay﹣1＝0重合，不成立； 当a≠0时，，解得a＝﹣1， 反之，当a＝﹣1时，直线l1：x+ay﹣1＝0与直线l2：（1﹣a）x+2ay﹣1＝0平行． ∴a∈R，则直线l1：x+ay﹣1＝0与直线l2：（1﹣a）x+2ay﹣1＝0平行的充要条件是a＝﹣1． 故选：C． 16．【答案】D 【分析】设出对称点的坐标，利用对称点的连线被对称轴垂直平分，建立方程组，即可求得结论． 【解答】解：设点M的坐标为（a，b），则 ∴a＝﹣6，b＝﹣8 ∴M（﹣6，﹣8）， 故选：D． 17．【答案】C 【分析】点关于直线对称，首先要看直线方程，根据直线方程求出x，再求出y，代值计算即可． 【解答】解： x+y＝0 y＝﹣x x＝﹣y 所以对称点是（﹣5，﹣2） 故选：C． 18．【答案】D 【分析】由题意根据直线的倾斜角和斜率的定义，求出a的值． 【解答】解：∵直线ax+2y＝4的倾斜角为135°，∴它的斜率为﹣＝tan135°＝﹣1， ∴a＝2， 故选：D． 19．【答案】A 【分析】根据题意，得a＝﹣1，代入直线方程，分析可得l1∥l2，反之由直线平行，分析可得a的值，结合充分必要条件的定义分析可得答案． 【解答】解：根据题意，由得a＝﹣1， 当a＝﹣1时，直线l1：﹣x+y+1＝0，l2：x﹣y+2＝0，两直线平行， 故“a＝﹣1”是“l1∥l2”的充分条件， 反之，若l1∥l2，则有a2＝a+2，解可得a＝2或﹣1， 故“a＝﹣1”是“l1∥l2”的必要条件， 故“”是“l1∥l2”的充分不必要条件， 故选：A． 20．【答案】A 【分析】根据它们的斜率相等，可得 ＝3，解方程求a的值． 【解答】解：∵直线ax+2y+2＝0与直线3x﹣y﹣2＝0平行， ∴它们的斜率相等，∴＝3，∴a＝﹣6． 故选：A． 21．【答案】B 【分析】直线化为一般式，直接应用点到直线的距离公式即可． 【解答】解：a＝＝． 故选：B． 22．【答案】A 【分析】由于直线的斜率k＝可利用直线的倾斜角与斜率的关系再结合倾斜角的范围即可得解． 【解答】解：设直线的倾斜角为α ∵直线 ∴斜率k＝＝tanα 又∵α∈[0，π） ∴α＝ 故选：A． 23．【答案】D 【分析】直线2x+3y﹣6＝0关于点（1，﹣1）对称的直线，和直线2x+3y﹣6＝0平行，排除A、C，在直线2x+3y﹣6＝0选特殊点，关于点（1，﹣1）对称点求出，验证B即可得到答案． 【解答】解：直线2x+3y﹣6＝0关于点（1，﹣1）对称的直线，和直线2x+3y﹣6＝0平行，排除A、C， 在直线2x+3y﹣6＝0选特殊点（0，2），它关于点（1，﹣1）对称点（2，﹣4），显然（2，﹣4）不在2x+3y+7＝0上． 故选：D． 24．【答案】B 【分析】直接代入点到直线的距离公式，结合基本不等式即可求解结论． 【解答】解：方法一：因为点（0，﹣1）到直线y＝k（x+1）距离d＝＝＝； ∵要求距离的最大值，故需k＞0； ∵k2+1≥2k，当且仅当k＝1时等号成立， 可得d≤＝，当k＝1时等号成立． 方法二：由y＝k（x+1）可知，直线y＝k（x+1）过定点B（﹣1，0）， 记A（0，﹣1），则点A（0，﹣1）到直线y＝k（x+1）距离d≤|AB|＝． 故选：B． 25．【答案】B 【分析】直线l与直线x+2y﹣3＝0垂直，可得tanθ＝2．再利用倍角公式与同角三角函数基本关系式即可得出． 【解答】解：直线l与直线x+2y﹣3＝0垂直，∴kl＝﹣＝2． ∴tanθ＝2． ∴sin2θ＝2sinθcosθ＝＝＝． 故选：B． 26．【答案】A 【分析】由诱导公式可得直线l2的倾斜角的大小，由题意可得直线l1的倾斜角的大小，进而求出它的斜率． 【解答】解：直线l2：y＝﹣xtan80°＝x•tan（﹣80°+180°）＝x•tan100°， 设直线的倾斜角α，则0°≤α＜180°， 所以直线l2的倾斜角为100°， 由题意可得直线l1的倾斜角为120°， 所以直线l1的斜率为k＝tan120°＝﹣． 故选：A． 27．【答案】C 【分析】利用两直线平行求解a的值，结合充要关系的定义判断即可． 【解答】解：由l1∥l2可得6＝a（a﹣1），解得a＝3或a＝﹣2． 当a＝3时，l1：3x+3y﹣6＝0，l2：2x+2y﹣4＝0，由题意得l1，l2重合，舍去， 故l1∥l2时，a＝﹣2． ∴“a＝﹣2”是“l1∥l2”的充要条件． 故选：C． 二．填空题（共13小题） 28．【答案】见试题解答内容 【分析】函数在某点的切线斜率等于函数在该点的导数值，故2个函数在x0点处的导数值相等． 【解答】解：∵对于函数y＝x2﹣1，∴y'＝2x， ∵对于函数 y＝1﹣x3，∴y'＝﹣3x2， ∴由题意可得 2x0＝﹣3x02， 解得x0＝0或． 29．【答案】5． 【分析】利用三点共线与斜率之间的关系即可得出． 【解答】解：∵三点A（a，2），B（5，8），C（5，）在同一条直线上， 因为B，C两点横坐标相同，所以三点在直线x＝5上， ∴a＝5． 故答案为：5． 30．【答案】见试题解答内容 【分析】先求得斜率，再用点斜式求得方程． 【解答】解：k＝﹣ ∴过点A的直线方程：y＝﹣（x﹣1） 即：x+y﹣1＝0 故答案是x+y﹣1＝0 31．【答案】见试题解答内容 【分析】设出直线的倾斜角，利用直线l1、l2与x轴围成一个等腰三角形，判断斜率的符号，倾斜角是锐角，利用α＝2β时，或β＝2α时，分别求出直线的斜率的值． 【解答】解：设直线l1与直线l2的倾斜角为α，β， 因为k＞0，所以α，β均为锐角， 由于直线l1、l2与x轴围成一个等腰三角形，则有以下两种情况： （1）α＝2β时，tanα＝tan2β，有，因为k＞0，解得； （2）β＝2α时，tanβ＝tan2α，有，因为k＞0，解得． 故答案为：，． 32．【答案】见试题解答内容 【分析】设点（3，﹣1）关于直线x+y＝0的对称点为（a，b），利用中点坐标公式、直线与直线垂直的性质列出方程组，能求出结果． 【解答】解：设点（3，﹣1）关于直线x+y＝0的对称点为（a，b）， 则， 解得a＝1，b＝﹣3， ∴点（3，﹣1）关于直线x+y＝0的对称点为（1，﹣3）． 故答案为：（1，﹣3）． 33．【答案】见试题解答内容 【分析】因为所求的圆与直线5x﹣12y﹣7＝0相切时圆心到直线的距离等于半径，根据点到直线的距离公式求出半径，然后根据圆心与半径写出圆的标准方程即可． 【解答】解：，所求圆的半径就是圆心（1，2）到直线5x﹣12y﹣7＝0的距离：， 所以圆的方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4． 故答案为：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4 34．【答案】见试题解答内容 【分析】利用的几何意义，以及圆心到直线的距离等于半径，求出k的值，可得最大值． 【解答】解：＝，即连接圆上一点与坐标原点的直线的斜率， 因此的最值即为过原点的直线与圆相切时该直线的斜率． 设＝k，则kx﹣y＝0．由＝，得k＝±， 故（）max＝，（）min＝﹣． 故答案为： 35．【答案】见试题解答内容 【分析】设坐标原点关于直线x﹣y﹣6＝0的对称点的坐标为（a，b），利用中点坐标公式、直线与直线垂直的性质列出方程组，能求出结果． 【解答】解：设坐标原点关于直线x﹣y﹣6＝0的对称点的坐标为（a，b）， 则， 解得a＝6，b＝﹣6， ∴坐标原点关于直线x﹣y﹣6＝0的对称点的坐标为（6，﹣6）． 故答案为：（6，﹣6）． 36．【答案】见试题解答内容 【分析】直线ax+by+2b﹣a＝0化为a（x﹣1）+b（y+2）＝0，令，可得直线ax+by+2b﹣a＝0过定点Q（1，﹣2）．可知：垂足N在以MQ为直径的圆上，圆心即相等MQ的中点C（0，﹣1）．|PN|的最大值为|PC|+r． 【解答】解：直线ax+by+2b﹣a＝0化为a（x﹣1）+b（y+2）＝0，令，解得x＝1，y＝﹣2． ∴直线ax+by+2b﹣a＝0过定点Q（1，﹣2）． ∴垂足N在以MQ为直径的圆上， 圆心即相等MQ的中点C（0，﹣1）． 其圆的方程为：x2+（y+1）2＝2． |PC|＝． ∴|PN|的最大值为． 故答案为：． 37．【答案】见试题解答内容 【分析】讨论若sinα＝0，若sinα≠0，求得直线的斜率，由正弦函数的值域，可得k的范围，结合正切函数的图象，即可得到倾斜角的范围． 【解答】解：直线x﹣ysinα﹣3＝0（α∈R）， 若sinα＝0，则x＝3，直线的斜率不存在，倾斜角为90°； 若sinα≠0，则直线的斜率k＝， 由﹣1≤sinα＜0或0＜sinα≤1， 可得k≥1或k≤﹣1， 由k＝tanθ（θ为不等于90°的倾斜角）， 可得45°≤θ＜90°或90°＜θ≤135°， 综合以上可得，倾斜角的取值范围是[45°，135°]． 故答案为：[45°，135°]． 38．【答案】或． 【分析】设直线l1的倾斜角为θ（0＜θ＜），正方形的边长为a，按l1∥l2，l1∥l3，l1∥l4分类讨论，用θ表示a，从而求得a，可求正方形的面积． 【解答】解：不妨设正方形的四条边所在的直线分别为l1，l2，l3，l4， 它们分别过点A（1，0），B（2，0），C（4，0），D（8，0），直线l1的倾斜角为θ（0＜θ＜），正方形的边长为a， ①若l1∥l2，l3∥l4且按l1⊥l3，从而l3的倾斜角为θ+， 因为|AB|＝1，则l1与l2之间的距离为sinθ，所以a＝sinθ， 因为|CD|＝4，则l3与l4之间的距离为4sin[π﹣（θ+）]＝4cosθ， 所以sinθ＝4cosθ，则sin2θ＝16cos2θ＝16（1﹣sin2θ），解得sin2θ＝， 所以正方形面积为S＝sin2θ＝， ②若l1∥l3，l2∥l4，且l1⊥l2，从而l2的倾斜角为θ+， 因为|AC|＝3，则l1与l3之间的距离为3sinθ，所以a＝3sinθ， 因为|BD|＝6，则l2与l4之间的距离为6sin[π﹣（θ+）]＝6cosθ， 所以3sinθ＝6cosθ，则sin2θ＝4cos2θ＝4（1﹣sin2θ），解得sin2θ＝， 所以正方形面积为S＝9sin2θ＝， ③若l1∥l4，l2∥l3，且l1⊥l2，从而l2的倾斜角为θ+， 因为|AD|＝7，则l1与l4之间的距离为7sinθ，所以a＝7sinθ， 因为|BC|＝2，则l2与l3之间的距离为2sin[π﹣（θ+）]＝2cosθ， 所以7sinθ＝2cosθ，则49sin2θ＝4cos2θ＝4（1﹣sin2θ），解得sin2θ＝， 所以正方形面积为S＝49sin2θ＝． 故答案为：或． 39．【答案】见试题解答内容 【分析】设直线x+2y＝1关于点M（1，2）的对称直线为l，则直线x+2y＝1上任意一点P（x1，y1）关于点M的对称点p1（x，y）在直线l上，利用中点坐标公式，从而求出对称的直线方程． 【解答】解：设直线x+2y＝1关于点M（1，2）的对称直线为l，则直线x+2y＝1上任意一点P（x1，y1）关于点M的对称点p1（x，y）在直线l上， 则，即， 将P（x1，y1）代入直线x+2y＝1的方程得x+2y＝9． 故答案为：x+2y＝9． 40．【答案】；﹣3 【分析】设正方形一条边所在的直线倾斜角为α，则由正方形一条对角线所在直线的斜率为2，结合倾斜角与斜率的关系求出tanα，利用正方形的性质即可得到答案． 【解答】解：设正方形一条边所在的直线倾斜角为α，则， 解得， 所以该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为，﹣3． 故答案为：；﹣3． 三．解答题（共14小题） 41．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）过An（xn，yn）斜率为的直线为y﹣yn＝（x﹣xn），An+1在直线上，化简即可求xn+1与xn的关系式； （2）利用（1）的结论，分当n为奇数时，判断xn＜2；当n为偶数时，判断xn＞2，然后推理证明的结论； （3）利用，再利用放缩法，推出|xn﹣2|≤，再证明|x1﹣2|+|x2﹣2|+…+|xn﹣2|＜2． 【解答】解：（1）由已知过An（xn，yn）斜率为的直线为y﹣yn＝（x﹣xn）， 直线交曲线C于另一点An+1（xn+1，yn+1） 所以yn+1﹣yn＝（xn+1﹣xn）（2分） 即＝（xn+1﹣xn），xn+1﹣xn≠0， 所以（4分） （2）解：当n为奇数时，xn＜2；当n为偶数时，xn＞2（5分） 因为，（6分） 注意到xn＞0，所以xn﹣2与xn﹣1﹣2异号 由于x1＝1＜2，所以x2＞2，以此类推， 当n＝2k﹣1（k∈N*）时，xn＜2； 当n＝2k（k∈N*）时，xn＞2（8分） （3）由于xn＞0，， 所以xn≥1（n＝1，2，3，）（9分） 所以≤（10分） 所以|xn﹣2|≤≤≤…≤（12分） 所以|x1﹣2|+|x2+2|+…+|xn﹣2|≤＝（14分） 42．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）直线y＝x+3的斜率为1，倾斜角为，因此要求的直线倾斜角为．即可所求的直线方程． （2）当直线经过原点时，可得要求的直线方程．当直线不经过原点时，可得要求的直线斜率为﹣1，利用点斜式即可得出要求的直线方程． 【解答】解：（1）直线y＝x+3的斜率为1，倾斜角为，因此要求的直线倾斜角为． 因此所求的直线方程为：x＝1． （2）当直线经过原点时，可得要求的直线方程为：y＝x． 当直线不经过原点时，可得要求的直线斜率为﹣1，因此方程为：y﹣2＝﹣（x﹣3），y＝﹣x+5． 43．【答案】（1）3x﹣2y+8＝0．（2）x+2y＝0或x+y+1＝0． 【分析】（1）根据已知条件，结合两直线垂直的条件，即可求解． （2）根据已知条件，分直线l过原点，直线l不过原点两种情况讨论，即可求解． 【解答】解：（1）设直线l的方程为3x﹣2y+m＝0， 则3×（﹣2）﹣2×1+m＝0，解得m＝8， 故直线l的方程为3x﹣2y+8＝0． （2）当直线l过原点时，斜率为，由点斜式求得直线l的方程是y＝，即x+2y＝0， 当直线l不过原点时，设直线l的方程为x+y＝a，把点A（﹣2，1）代入方程可得a＝﹣1， 故直线l的方程是x+y+1＝0， 综上所述，所求直线l的方程为x+2y＝0或x+y+1＝0． 44．【答案】见试题解答内容 【分析】（I）利用中点坐标公式可得：线段AB的中点为，利用斜率计算公式可得kAB＝＝﹣，可得线段AB的中垂线的斜率k＝，利用点斜式即可得出． （II）过P（2，﹣3）点且与直线AB平行的直线l的斜率为﹣．利用点斜式即可得出． 【解答】解：（I）线段AB的中点为即（5，﹣2）， ∵kAB＝＝﹣， ∴线段AB的中垂线的斜率k＝， ∴AB的中垂线方程为y+2＝（x﹣5），化为3x﹣4y﹣23＝0． （II）过P（2，﹣3）点且与直线AB平行的直线l的斜率为﹣． 其方程为：y+3＝（x﹣2），化为4x+3y+1＝0． 45．【答案】． 【分析】根据题意，设直线l的斜率为k，写出直线l的方向向量， 根据、在直线l上的射影长度相等，得出•＝•， 列方程求得k的值． 【解答】解：设直线l的斜率为k，得直线l的方向向量为＝（1，k）， 向量、（O为原点）在直线l上的射影长度相等， ∴＝， 即•＝•， ∴|1+3k|＝|﹣3+k|， 解得k＝﹣2或k＝； 又因为直线l的倾斜角是锐角，所以k＞0， 即l的斜率为k＝． 46．【答案】见试题解答内容 【分析】利用直线方程的点斜式写出直线方程，化为直线方程的一般式． 【解答】解：由直线方程的点斜式得 直线方程为y﹣3＝﹣1×（x﹣2） 即x+y﹣5＝0． 47．【答案】见试题解答内容 【分析】根据垂直关系设所求的直线的方程为bx﹣ay+m＝0，把原点的坐标代入解得m 值，从而得到所求的直线的方程． 【解答】解：设所求的直线的方程为bx﹣ay+m＝0，把原点的坐标代入解得m＝0， 故所求的直线的方程为：bx﹣ay＝0． 48．【答案】见试题解答内容 【分析】要证PA与PB垂直，即要求出PA的斜率和PB的斜率，把两个斜率相乘得到乘积为﹣1，所以以AB所在的直线为x轴，圆心为坐标原点建立平面直角坐标系，则得到A、B的坐标，设P（x，y），表示出PA与PB的斜率相乘，把P坐标代入圆的方程化简可得乘积为﹣1即可得证． 【解答】证明：将圆的直径AB所在的直线取为X轴，圆心作为原点，不妨设定圆的半径为1，于是圆的方程是x2+y2＝1． A、B的坐标是A（﹣1，0）、B（1，0）． 设P（x，y）是圆上任一点，则有y2＝1﹣x2． ∵PA的斜率为，PB的斜率为， ∴ ∴PA⊥PB，∠APB为直角． 49．【答案】见试题解答内容 【分析】写出原点的坐标，利用点到直线的距离公式即可求出原点到已知直线的距离． 【解答】解：由原点坐标为（0，0）， 得到原点到已知直线的距离d＝． 50．【答案】见试题解答内容 【分析】利用弦切角等于圆周角；三角形的中位线平行于底边；两直线平行内错角相等；内错角相等，两直线平行；证得结论． 【解答】证明：如图：由AD是大圆的切线， 可得：∠1＝∠2 由RQ∥BC，可得：∠2＝∠3， 由QP∥AB，可得：∠3＝∠4 由PE是小圆的切线， 可得：∠4＝∠5 由RP∥AC，可得：∠5＝∠6 综上可得：∠1＝∠6，故AD∥PE． 51．【答案】（Ⅰ）2x﹣3y+2＝0； （Ⅱ）． 【分析】（Ⅰ）由A，B的坐标，可得中点M的坐标，再求直线CM的斜率，进而求出AB边上中线所在的直线方程； （Ⅱ）求出AB边所在的直线方程，进而求出求出C点到BA的距离即可． 【解答】解：（Ⅰ）设AB的中点M的坐标为（x0，y0），A（1，3），B（3，1），C（﹣1，0）． 则，即M（2，2）， 所以， 则中线CM所在直线方程为， 即2x﹣3y+2＝0； （Ⅱ）因为． 则直线AB的方程为y﹣3＝﹣1（x﹣1），即x+y﹣4＝0， △ABC中，AB边上的高线的长就是点C到直线AB的距离， 所以d＝＝． 52．【答案】（1）3； （2）（﹣∞，1）． 【分析】（1）根据斜率公式和斜率为倾斜角的正切值可得． （2）倾斜角为钝角时，斜率小于0，再利用斜率公式可得． 【解答】解：（1）由题意得°＝1，得m＝3． （2）由题意得＜0，得m＜1， 故实数m的取值范围为（﹣∞，1） 53．【答案】（1）3x+4y﹣7＝0； （2）4x﹣3y﹣1＝0． 【分析】（1）根据两直线平行，计算出所求直线的斜率，再利用点斜式写出方程； （2）根据两直线垂直得到所求直线的斜率，然后根据直线的点斜式方程，求出所求直线的方程． 【解答】解：（1）因为直线l：3x+4y+5＝0的斜率为，所以与直线l平行的直线的斜率为， 结合所求直线过A（1，1），可知所求直线方程为，即3x+4y﹣7＝0． （2）因为直线l：3x+4y+5＝0的斜率为，所以与直线l垂直的直线的斜率为＝， 结合所求直线过A（1，1），可知所求直线方程为，即4x﹣3y﹣1＝0． 54．【答案】（Ⅰ）（﹣∞，0]； （Ⅱ）x﹣y+4＝0 或x+y﹣4＝0． 【分析】（Ⅰ）将直线化为斜截式形式，由题意可得a满足的条件； （Ⅱ）求出原点到直线的距离，由基本不等式，可得距离的最小值． 【解答】解：（Ⅰ）直线l的方程可化为y＝ax+3+a2， 要使直线l不经过第三象限，则必须有， 解得a≤0， 故a的取值范围是（﹣∞，0]； （Ⅱ）设原点O到直线l的距离为d， 则， 当且仅当，即a＝±1时，等号成立， 此时直线l的方程为x﹣y+4＝0 或x+y﹣4＝0． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/5/17 15:31:52；用户：Damon；邮箱：13120434074；学号：24730468 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$