第二章 圆及其方程-高中数学选择必修第一册精选易错题练习（人教B版2019)

精选易错题练习—【第二章】 圆及其方程 一．选择题（共25小题） 1．已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2＝4及直线l：x﹣y+3＝0，当直线l被C截得的弦长为时，则a等于（　　） A． B． C． D． 2．已知直线与圆C：（x﹣1）2+（y+1）2＝9相切，则实数b＝（　　） A．或 B．﹣11或9 C．11或﹣9 D．或 3．直线l：x+y+m＝0与圆C：（x+1）2+（y﹣1）2＝4交于A，B两点，若|AB|＝2，则m的值为（　　） A． B．±2 C．± D．±2 4．已知圆C在第一象限与x，y轴和直线l：x+y﹣2＝0都相切，则圆C的半径r＝（　　） A． B． C．1 D．或 5．圆心在抛物线y2＝2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（　　） A．x2+y2﹣x﹣2y﹣＝0 B．x2+y2+x﹣2y+1＝0 C．x2+y2﹣x﹣2y+1＝0 D．x2+y2﹣x﹣2y+＝0 6．已知圆C1：x2+y2＝1与圆C2：x2+y2﹣2x+4y+1＝0相交于A，B两点，点P为圆C2上的一个动点，则△PAB面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 7．圆O1：x2+y2﹣2x＝0和圆O2：x2+y2﹣4y＝0的位置关系是（　　） A．相离 B．相交 C．外切 D．内切 8．由直线y＝x+1上的一点向圆（x﹣3）2+y2＝1引切线，则切线长的最小值为（　　） A．1 B．2 C． D．3 9．直线x﹣y+m＝0与圆x2+y2﹣2x﹣1＝0有两个不同交点的一个必要不充分条件是（　　） A．0＜m＜1 B．﹣4＜m＜0 C．m＜1 D．﹣3＜m＜1 10．已知直线y＝kx与圆x2+y2+6x+8y＝0相交于两点，且这两点关于直线x﹣2y+b＝0对称，则k，b的值分别为（　　） A．k＝2，b＝﹣5 B．k＝﹣2，b＝﹣5 C．k＝﹣2，b＝5 D．k＝2，b＝5 11．已知直线l：x+y＝m与圆O：x2+y2＝4相切，则直线x＝m被圆O截得的弦长为（　　） A． B．2 C．2 D．3 12．“a＜8”是“方程x2+y2+2x+4y+a＝0表示圆”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．已知x2+y2＝2x，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 14．直线m：x+y﹣1＝0被圆M：x2+y2﹣2x﹣4y＝0截得的弦长为（　　） A．4 B．2 C．2 D．4 15．圆x2+y2＝1上的点到直线3x+4y﹣25＝0的距离的最小值是（　　） A．6 B．4 C．5 D．1 16．如果圆x2+y2+Gx+Ey+F＝0与x轴相切于原点，那么（　　） A．F＝0，G≠0，E≠0 B．E＝0，F＝0，G≠0 C．G＝0，F＝0，E≠0 D．G＝0，E＝0，F≠0 17．直线x﹣3y+3＝0与圆（x﹣1）2+（y﹣3）2＝10相交所得弦长为（　　） A． B． C．4 D．3 18．已知集合A＝{（x，y）|x2+y2＝1}，B＝{（x，y）|y＝x}，则A∩B中元素的个数为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 19．已知条件p：k＝1，条件q：直线y＝kx+1与圆相切，则p是q的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 20．点P，Q在圆x2+y2+kx﹣4y+3＝0上（k∈R），且点P，Q关于直线2x+y＝0对称，则该圆的半径为（　　） A． B． C．1 D．2 21．已知动圆过点（2，0），且被y轴截得的弦长为4，则该动圆圆心到直线3x﹣y+4＝0的距离最短为（　　） A． B． C． D． 22．已知圆O：x2+y2＝4，直线2x﹣y+b＝0与圆O相切，则b的值为（　　） A．±2 B． C． D． 23．已知P为直线l：x﹣y+1＝0上一点，过点P作圆C：（x﹣1）2+y2＝1的一条切线，切点为A，则|PA|的最小值为（　　） A．1 B． C． D．2 24．如果直线l将圆：x2+y2﹣2x﹣4y＝0平分，且不通过第四象限，那么l的斜率的取值范围是（　　） A．[0，2] B．[0，1] C．[0，] D． 25．已知直线x＝a（a＞0）和圆（x﹣1）2+y2＝4相切，那么a的值是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 二．填空题（共15小题） 26．直线y＝﹣（x﹣2）截圆x2+y2＝4所得的劣弧所对的圆心角为　 　． 27．圆x2+y2＝1被x轴截得的弦长是 　 　． 28．圆x2﹣2x+y2﹣4y﹣4＝0与圆x2﹣8x+y2﹣6y+24＝0的公共弦长为 　 　． 29．圆（x+1）2+（y﹣2）2＝4上任意一点到直线3x﹣4y﹣4＝0的距离的最小值为　 　． 30．若直线l过点（﹣2，0），且倾斜角为，则l被圆C：（x+3）2+（y﹣3）2＝10所截得的弦长为　 　． 31．已知圆C经过点（4，0），（1，3），且圆心在x轴上，则圆C的标准方程为 　 　． 32．已知（x﹣2）2+（y﹣3）2＝8，则|x|+|y|的取值范围为　 　． 33．在平面直角坐标系xOy中，已知点P是y＝x+2上的动点，过点P作圆C：x2﹣4x+y2＝0的切线，切点为A，B，当直线AB的斜率为正时，直线AB在x轴和y轴上的截距之和的最大值为 　 　． 34．已知圆C：（x﹣3）2+（y+1）2＝4，过P（1，5）的直线l与圆C相切，则直线l的方程为　 　． 35．写出与圆x2+y2＝1和（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16都相切的一条直线的方程 　 　． 36．已知过点（1，1）的直线与圆x2+y2﹣4x﹣6y+4＝0相交于A，B两点，则|AB|的最小值为　 　． 37．已知直线L：x+y﹣9＝0和圆M：2x2+2y2﹣8x﹣8y﹣1＝0，点A在直线L上，B、C为圆M上两点，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB过圆心M，则点A横坐标范围为　 　． 38．设直线y＝x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为　 　． 39．若P，Q分别是抛物线x2＝y与圆（x﹣3）2+y2＝1上的点，则|PQ|的最小值为 　 　． 40．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣4）2＝4，直线y＝kx+1交圆C于M、N两点，若△CMN的面积为2，则实数k的值为 　 　． 三．解答题（共10小题） 41．设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l：x﹣2y＝0的距离最小的圆的方程． 42．在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2﹣6x+1与坐标轴的交点都在圆C上． （Ⅰ）求圆C的方程； （Ⅱ）若圆C与直线x﹣y+a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值． 43．已知圆C：x2+y2＝9，点A（﹣5，0），直线l：x﹣2y＝0． （1）求与圆C相切，且与直线l垂直的直线方程； （2）在直线OA上（O为坐标原点），存在定点B（不同于点A），满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点B的坐标． 44．过原点O作圆x2+y2﹣2x﹣4y+4＝0的任意割线交圆于P1，P2两点，求P1P2的中点P的轨迹． 45．平面直角坐标系xOy中，已知以O为圆心的圆与直线l：y＝mx+（3﹣4m）恒有公共点，且要求使圆O的面积最小． （1）写出圆O的方程； （2）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内动点P使、、成等比数列，求的范围． 46．如图，已知圆心为O，半径为1的圆与直线l相切于点A，一动点P自切点A沿直线l向右移动时，取弧AC的长为，直线PC与直线AO交于点M．又知当AP＝时，点P的速度为v，求这时点M的速度． 47．已知圆M与圆N：（x﹣）2+（y+）2＝r2（r＞0）关于直线y＝x对称，且点D（﹣，）在圆M上． （1）判断圆M与圆N的位置关系； （2）设P为圆M上任意一点，A（﹣1，），B（1，），与不共线，求证：为定值． 48．半径为1、2、3的三个圆两两外切．证明：以这三个圆的圆心为顶点的三角形是直角三角形． 49．若原点在一圆上，而此圆的圆心为（3，4）则此圆的方程如何？ 50．在平面直角坐标系中，已知三点A（﹣25，0）、B（25，0）和C（﹣7，24）．求△ABC的内切圆的方程． 精选易错题练习—【第二章】 圆及其方程 参考答案与试题解析 一．选择题（共25小题） 1．【答案】C 【分析】弦心距、半径、半弦长满足勾股定理，半径是2，半弦长是，则弦心距是1，用点到直线的距离可以求解a． 【解答】解：圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2＝4的圆心（a，2），半径是2，半弦长是，则弦心距是1， 圆心到直线的距离：1＝∴ 故选：C． 2．【答案】A 【分析】由圆心到直线的距离等于半径列出方程，求出b． 【解答】解：依题知圆心C（1，﹣1），半径为3，则， 解得或． 故选：A． 3．【答案】C 【分析】根据已知条件，结合点到直线的距离公式，以及垂径定理，即可求解． 【解答】解：∵直线l：x+y+m＝0与圆C：（x+1）2+（y﹣1）2＝4交于A，B两点， ∴圆心（﹣1，1）到直线l的距离d＝， ∴，即，解得m＝． 故选：C． 4．【答案】D 【分析】根据题意，设圆C的方程为（x﹣a）2+（y﹣a）2＝a2（a＞0），由直线与圆的位置关系可得，解可得a的值，即可得答案． 【解答】解：根据题意，圆C在第一象限与x，y轴都相切，设圆C的方程为（x﹣a）2+（y﹣a）2＝a2（a＞0）， 又由圆C与直线l：x+y﹣2＝0相切，则有， 解可得a＝2﹣或2+， 故选：D． 5．【答案】D 【分析】所求圆圆心在抛物线y2＝2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切，不难由抛物线的定义知道，圆心、半径可得结果． 【解答】解：圆心在抛物线y2＝2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程，以及抛物线的定义可知， 所求圆的圆心的横坐标x＝，即圆心（，1），半径是1，所以排除A、B、C． 故选：D． 6．【答案】C 【分析】根据题意，由两个圆的方程可得直线AB的方程，结合直线与圆的位置关系分析可得C2到直线AB的距离d以及|AB|的值，分析可得P到直线AB的距离的最大值，由三角形面积公式计算可得答案． 【解答】解：根据题意，圆C1：x2+y2＝1与圆C2：x2+y2﹣2x+4y+1＝0相交于A，B两点， 则直线AB的方程为：2x﹣4y﹣2＝0，即x﹣2y﹣1＝0； 圆C2：x2+y2﹣2x+4y+1＝0，即（x﹣1）2+（y+2）2＝4，其圆心C2（1，﹣2），半径r＝2； 则C2到直线AB的距离d＝＝； 则|AB|＝2×＝， 若点P为圆C2上的一个动点，则P到直线AB的距离的最大值为d+r＝2+， 则△PAB面积的最大值S＝×（d+r）×|AB|＝； 故选：C． 7．【答案】B 【分析】求出半径，求出圆心，看两个圆的圆心距与半径的关系即可． 【解答】解：圆O1：x2+y2﹣2x＝0，即（x﹣1）2+y2＝1，圆心是O1（1，0），半径是r1＝1 圆O2：x2+y2﹣4y＝0，即x2+（y﹣2）2＝4，圆心是O2（0，2），半径是r2＝2 ∵|O1O2|＝，故|r1﹣r2|＜|O1O2|＜|r1+r2| ∴两圆的位置关系是相交． 故选：B． 8．【答案】C 【分析】先求圆心到直线的距离，此时切线长最小，由勾股定理不难求解切线长的最小值． 【解答】解：切线长的最小值是当直线y＝x+1上的点与圆心距离最小时取得，圆心（3，0）到直线的距离为d＝，圆的半径为1，故切线长的最小值为， 故选：C． 9．【答案】C 【分析】求出圆的标准方程，利用直线和圆相交的条件求出m的取值范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【解答】解：圆的标准方程为（x﹣1）2+y2＝2，圆心为（1，0），半径r＝， 若直线与圆有两个不同的交点， 则圆心到直线的距离d＝， 即|1+m|＜2，得﹣2＜1+m＜2，得﹣3＜m＜1， 则﹣3＜m＜1的一个必要不充分条件是m＜1， 故选：C． 10．【答案】B 【分析】由条件有直线x﹣2y+b＝0经过圆心（﹣3，﹣4）且直线y＝kx与直线x﹣2y+b＝0垂直，所以b满足∴﹣3﹣2×（﹣4）+b＝0，k满足k＝﹣2． 【解答】解：∵直线y＝kx与圆x2+y2+6x+8y＝0的两个交点关于直线x﹣2y+b＝0对称， ∴直线x﹣2y+b＝0经过圆心（﹣3，﹣4）且直线y＝kx与直线x﹣2y+b＝0垂直， ∴﹣3﹣2×（﹣4）+b＝0且k＝﹣2，解得b＝﹣5且k＝﹣2， 故选：B． 11．【答案】B 【分析】根据题意，由直线与圆相切的性质可得＝2，解可得m的值，进而结合直线与圆的位置关系分析可得答案． 【解答】解：根据题意，圆O：x2+y2＝4，圆心为（0，0），半径r＝2， 若直线l：x+y＝m与圆O：x2+y2＝4相切， 则有d＝＝2，则m＝±2， 若m＝2，圆心O到直线x＝m的距离d＝，此时直线x＝m被圆O截得的弦长l＝2＝2， 若m＝﹣2，圆心O到直线x＝m的距离d＝，此时直线x＝m被圆O截得的弦长l＝2＝2， 故直线x＝m被圆O截得的弦长为2； 故选：B． 12．【答案】B 【分析】先求出方程表示圆的等价条件，再根据充分条件、必要条件定义判定即可． 【解答】解：∵方程x2+y2+2x+4y+a＝0表示圆， ∴4+16﹣4a＞0，∴a＜5， ∵（﹣∞，5）⊆（﹣∞，8）， ∴a＜8是方程x2+y2+2x+4y+a＝0表示圆的必要不充分条件， 故选：B． 13．【答案】C 【分析】设，则kx﹣y+2k＝0，再结合点到直线的距离公式，即可求解． 【解答】解：设，则kx﹣y+2k＝0， x2+y2＝2x，即（x﹣1）2+y2＝1，圆心为（1，0），半径为1， ∵圆心（1，0）到直线kx﹣y+2k＝0的距离小于等于1， ∴，解得， ∴的最大值为． 故选：C． 14．【答案】B 【分析】根据题意，求出圆M的圆心与半径，由点到直线的距离公式可得圆心M到直线m的距离，由直线与圆的位置关系可得答案． 【解答】解：根据题意，圆M，x2+y2﹣2x﹣4y＝0，即（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5，其圆心为（1，2），半径r＝， 圆心M到直线m的距离d＝＝， 则直线m被圆M截得的弦长为2×＝2； 故选：B． 15．【答案】B 【分析】先求圆心到直线的距离，再减去半径即可． 【解答】解：圆的圆心坐标（0，0），到直线3x+4y﹣25＝0的距离是，所以圆x2+y2＝1上的点到直线3x+4y﹣25＝0的距离的最小值是5﹣1＝4 故选：B． 16．【答案】C 【分析】圆与x轴相切于原点，则圆心在y轴上，G＝0，圆心的纵坐标的绝对值等于半径，F＝0，E≠0 【解答】解：圆与x轴相切于原点，则圆心在y轴上，G＝0，圆心的纵坐标的绝对值等于半径，F＝0，E≠0． 故选：C． 17．【答案】A 【分析】根据已知中圆的标准方程和直线的一般方程，代入圆的弦长公式，可得答案． 【解答】解：圆（x﹣1）2+（y﹣3）2＝10的圆心坐标为（1，3），半径r＝， 圆心到直线x﹣3y+3＝0的距离d＝＝， 故弦AB＝2＝， 故选：A． 18．【答案】B 【分析】解不等式组求出元素的个数即可． 【解答】解：法一：由，解得：或， ∴A∩B的元素的个数是2个， 法二：画出圆和直线的图象，如图示：， 结合图象，圆和直线有2个交点， 故A∩B中元素的个数为2个， 故选：B． 19．【答案】A 【分析】根据直线和圆相切的等价条件求出k的取值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【解答】解：若直线y＝kx+1与圆相切， 则圆心到直线的距离d＝＝＝，得k2+1＝2， 得k2＝1，得k＝±1， 即q：k＝±1， 则p是q的充分不必要条件， 故选：A． 20．【答案】B 【分析】存在圆上的点关于直线对称可得直线过圆心，可得参数k的值，再由一般圆的方程的半径与参数的关系可得圆的半径的值． 【解答】解：由题意可得圆的圆锥坐标为：（﹣，2），再由圆上的点关于直线对称可得，直线过圆心，所以：2+2＝0，解得：k＝2， 所以圆的半径r＝＝＝， 故选：B． 21．【答案】C 【分析】求出动圆圆心的轨迹方程，得出动圆圆心到直线3x﹣y+4＝0的距离，利用配方法，求出动圆圆心到直线3x﹣y+4＝0的最短距离． 【解答】解：设动圆圆心坐标为（x，y），半径为r， 由题可知， ∴动圆圆心的轨迹方程为：y2＝4x． 动圆圆心到直线3x﹣y+4＝0的距离d＝＝≥． ∴动圆圆心到直线3x﹣y+4＝0的最短距离为． 故选：C． 22．【答案】C 【分析】利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d，由d等于圆的半径列出关于b的方程，求出b的值； 【解答】解：（1）直线l与圆O相切，则圆心O（0，0）到直线：2x﹣y+b＝0的距离等于半径2， ⇒b＝±2． 故选：C． 23．【答案】A 【分析】根据已知条件，结合勾股定理，以及点到直线的距离公式，即可求解． 【解答】解：圆C：（x﹣1）2+y2＝1， 圆心C（1，0），半径为r＝1， |PC|的最小值为点C到直线l的距离， 所以|PA|的最小值为：． 故选：A． 24．【答案】A 【分析】圆的方程可知圆心（1，2），直线l将圆：x2+y2﹣2x﹣4y＝0平分，直线过圆心，斜率最大值是2，可知答案． 【解答】解：直线l将圆：x2+y2﹣2x﹣4y＝0平分，直线过圆心，圆的方程可知圆心（1，2），且不通过第四象限， 斜率最大值是2，排除B、C、D． 故选：A． 25．【答案】C 【分析】先求圆心坐标，半径，利用相切，求出a的值． 【解答】解：圆（x﹣1）2+y2＝4，圆心（1，0）半径为2，直线x＝a（a＞0） 那么直线与圆相切，则a＝3． 故选：C． 二．填空题（共15小题） 26．【答案】见试题解答内容 【分析】先求得弦心距d＝，设所求的圆心角为θ，则有cos＝，由此求得的值，可得θ的值． 【解答】解：直线y＝﹣（x﹣2），即 x+y﹣2＝0，弦心距d＝＝， 设直线y＝﹣（x﹣2）截圆x2+y2＝4所得的劣弧所对的圆心角为θ，则有cos＝＝， ∴＝，∴θ＝， 故答案为：． 27．【答案】2． 【分析】根据题意作出图形，根据图形可以直接得到答案． 【解答】解：如图所示， 圆x2+y2＝1的半径为1，且圆x2+y2＝1被x轴截得的弦长即为直径的长度，所以圆x2+y2＝1被x轴截得的弦长是2． 故答案是：2． 28．【答案】． 【分析】根据题意，分析圆x2﹣2x+y2﹣4y﹣4＝0的圆心和半径，联立两个圆的方程可得公共弦所在直线的方程，结合直线与圆的位置关系分析可得答案． 【解答】解：根据题意，圆x2﹣2x+y2﹣4y﹣4＝0，即（x﹣1）2+（y﹣2）2＝9，其圆心为（1，2），半径r＝3； 设M（1，2） 联立两个圆的方程：，可得3x+y﹣14＝0， 即公共弦的方程为3x+y﹣14＝0， 圆心M到3x+y﹣14＝0的距离d＝＝， 则公共弦长l＝2×＝； 故答案为：． 29．【答案】见试题解答内容 【分析】圆心C（﹣1，2）到直线直线3x﹣4y﹣4＝0的距离d＝3＞r＝2，由此能求出圆（x+1）2+（y﹣2）2＝4上任意一点到直线3x﹣4y﹣4＝0的距离的最小值． 【解答】解：圆（x+1）2+（y﹣2）2＝4的圆心C（﹣1，2），半径r＝2， 圆心C（﹣1，2）到直线直线3x﹣4y﹣4＝0的距离： d＝＝3＞r＝2， ∴圆（x+1）2+（y﹣2）2＝4上任意一点到直线3x﹣4y﹣4＝0的距离的最小值为：d﹣r＝3﹣2＝1． 故答案为：1． 30．【答案】． 【分析】根据题意，求出直线l的方程，由圆C的方程得到圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式，可得点C到直线l的距离为d，结合直线与圆的位置关系，可得答案． 【解答】解：根据题意，若直线l过点（﹣2，0），且倾斜角为，则直线l的方程为x﹣y+2＝0， 圆，其圆心为（﹣3，3），半径r＝， 设点C到直线l的距离为d，则， 则所求弦长为． 故答案为：． 31．【答案】（x﹣1）2+y2＝9． 【分析】根据半径求得圆心坐标，进而求得圆C的标准方程． 【解答】解：设圆心为（a，0），半径为R， 则R2＝（a﹣4）2＝（a﹣1）2+（0﹣3）2， 解得a＝1，R2＝9， 所以圆C的标准方程为（x﹣1）2+y2＝9． 故答案为：（x﹣1）2+y2＝9． 32．【答案】[1，9]． 【分析】将圆的方程化为参数方程的形式为，θ∈（﹣π，π]，可知y＞0恒成立，θ∈[﹣，]时，x≥0，；θ∈（，π]∪（﹣π，﹣）时，x＜0，进行分类处理，即可解出． 【解答】解：圆的参数方程为，θ∈（﹣π，π]， 当θ∈[﹣，]时，x≥0； |x|+|y|＝x+y＝2+2cosθ+3+2sinθ＝5+4sin（θ+）， ∵θ+∈[﹣，π]， ∴5+4sin（θ+）∈[1，9]，即|x|+|y|∈[1，9] 当θ∈（，π]∪（﹣π，﹣）时，x＜0， |x|+|y|＝x+y＝﹣2﹣2cosθ+3+2sinθ＝1+4sin（θ﹣） ∵θ∈（，π]∪（﹣π，﹣） ∴θ﹣∈（，）∪（﹣，﹣π） ∴1+4sin（θ﹣）∈（1，5），即|x|+|y|∈[1，5]；l 综上，|x|+|y|∈[1，9]． 故答案为：[1，9]． 33．【答案】0． 【分析】设P（a，a+2），求出切点所在直线的方程（a﹣2）（x﹣2）+（a+2）y＝4，所以直线AB恒过定点（1，1），利用点斜式方程写出过（1，1）的直线方程，表示出截距，利用基本不等式求最值． 【解答】解：设P（a，a+2），已知圆的方程为（x﹣2）²+y²＝4， 所以直线AB的方程为（a﹣2）（x﹣2）+（a+2）y＝4， 即a（x+y﹣2）+2（y﹣x）＝0，所以直线AB过定点（1，1）， 令直线AB斜率为k（k＞0），所以直线AB方程为y﹣1＝k（x﹣1）， 所以直线与x轴交点坐标为，与y轴交点坐标为（0，1﹣k）， 所以截距之和为，当且仅当k＝1时成立． 故答案为：0． 34．【答案】见试题解答内容 【分析】设出切线方程，求出圆的圆心与半径，利用圆心到直线的距离等于半径，求出k，写出切线方程即可． 【解答】解：设切线方程为y﹣5＝k（x﹣1），即kx﹣y﹣k+5＝0， ∵圆心（3，﹣1）到切线l的距离等于半径2， ∴＝2，解得k＝﹣， ∴切线方程为4x+3y﹣19＝0， 当过点M的直线的斜率不存在时，其方程为x＝1，圆心（3，﹣1）到此直线的距离等于半径2， 故直线x＝1也适合题意． 所以，所求的直线l的方程是x＝1或4x+3y﹣19＝0． 故答案为x＝1或4x+3y﹣19＝0． 35．【答案】见试题解答内容 【分析】由题意画出图形，可得两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条．分别求出三条切线方程，则答案可求． 【解答】解：圆x2+y2＝1的圆心坐标为O（0，0），半径r1＝1， 圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16的圆心坐标为C（3，4），半径r2＝4， 如图： ∵|OC|＝r1+r2，∴两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条． ∵，∴l1的斜率为，设直线l1：y＝﹣，即3x+4y﹣4b＝0， 由，解得b＝（负值舍去），则l1：3x+4y﹣5＝0； 由图可知，l2：x＝﹣1；l2与l3关于直线y＝对称， 联立，解得l2与l3的一个交点为（﹣1，），在l2上取一点（﹣1，0）， 该点关于y＝的对称点为（x0，y0），则，解得对称点为（，﹣）． ∴＝，则l3：y＝，即7x﹣24y﹣25＝0． ∴与圆x2+y2＝1和（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16都相切的一条直线的方程为： x＝﹣1（填3x+4y﹣5＝0，7x﹣24y﹣25＝0都正确）． 故答案为：x＝﹣1（填3x+4y﹣5＝0，7x﹣24y﹣25＝0都正确）． 36．【答案】见试题解答内容 【分析】把圆的方程化为标准方程，求得圆心和半径，求得弦心距d的最大值，可得|AB|的最小值． 【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣6y+4＝0 即 （x﹣2）2+（y﹣3）2＝9， 表示以C（2，3）为圆心、半径等于3的圆， 要使弦长最小，只有弦心距最大． 而弦心距d的最大值为＝， ∴|AB|的最小值为2＝2＝2＝4， 故答案为：4． 37．【答案】见试题解答内容 【分析】将圆的方程化为（x﹣2）2+（y﹣2）2＝（ ）2，设A（a，9﹣a）①当a≠2时，把∠BAC看作AB到AC的角，又点C在圆M，由圆心到AC的距离小于等于圆的半径，求出a的范围．②当a＝2时，则A（2，7）与直线x＝2成45°角的直线有y﹣7＝x﹣2，M到它的距离，判断这样点C不在圆M上不成立． 【解答】解：圆M：2x2+2y2﹣8x﹣8y﹣1＝0方程可化为（x﹣2）2+（y﹣2）2＝（）2， 设A点的横坐标为a． 则纵坐标为9﹣a； ①当a≠2时，kAB＝，设AC的斜率为k，把∠BAC看作AB到AC的角， 则可得k＝， 直线AC的方程为y﹣（9﹣a）＝（x﹣a） 即5x﹣（2a﹣9）y﹣2a2+22a﹣81＝0， 又点C在圆M上， 所以只需圆心到AC的距离小于等于圆的半径， 即≤， 化简得a2﹣9a+18≤0， 解得3≤a≤6； ②当a＝2时，则A（2，7）与直线x＝2成45°角的直线为y﹣7＝x﹣2 即x﹣y+5＝0，M到它的距离d＝＝＞， 这样点C不在圆M上， 还有x+y﹣9＝0，显然也不满足条件， 综上：A点的横坐标范围为[3，6]． 故答案为：[3，6]． 38．【答案】见试题解答内容 【分析】圆C：x2+y2﹣2ay﹣2＝0的圆心坐标为（0，a），半径为，利用圆的弦长公式，求出a值，进而求出圆半径，可得圆的面积． 【解答】解：圆C：x2+y2﹣2ay﹣2＝0的圆心坐标为（0，a），半径为， ∵直线y＝x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2＝0相交于A，B两点，且|AB|＝2， ∴圆心（0，a）到直线y＝x+2a的距离d＝， 即+3＝a2+2， 解得：a2＝2， 故圆的半径r＝2． 故圆的面积S＝4π， 故答案为：4π 39．【答案】﹣1 【分析】设圆（x﹣3）2+y2＝1的圆心为C（3，0），半径为r＝1，当PC垂直于抛物线在点P处的切线时，|PQ|取得最小值，为|PC|﹣r，利用导数的几何意义求得切线的斜率，再根据两直线垂直的条件，求得点P的坐标，然后计算|PC|﹣r的值，即可． 【解答】解：设圆（x﹣3）2+y2＝1的圆心为C（3，0），半径为r＝1， 当PC垂直于抛物线在点P处的切线时，|PQ|取得最小值，为|PC|﹣r，如图所示， 设点P（m，n），则直线PC的斜率为kPC＝，且m2＝n， 由x2＝y知，y'＝2x， 所以过点P的切线的斜率为k＝2m， 因为直线PC与切线垂直，所以•2m＝﹣1，所以2m3＝3﹣m， 所以（3m3﹣3）﹣（m3﹣m）＝0，即（m﹣1）（2m2+2m+3）＝0， 因为2m2+2m+3＞0恒成立，所以m﹣1＝0，即m＝1， 此时P（1，1）， 所以|PC|﹣r＝﹣1＝﹣1，即|PQ|的最小值为﹣1． 故答案为：﹣1． 40．【答案】﹣7或1． 【分析】利用点到直线的距离公式和勾股定理，求出|MN|，再利用三角形面积公式建立方程，求出k的值． 【解答】解：圆C：（x﹣1）2+（y﹣4）2＝4，圆心C（1，4），半径r＝2， 设圆心C（1，4）到直线y＝kx+1的距离为d， 则d为△CMN的边MN上的高， 由点到直线的距离公式得，， 由勾股定理得：， 设△CMN的面积S， 则， 所以，两边平方得，（4﹣d2）d2＝4，即d4﹣4d2+4＝0， 所以d2＝2， 因为， 所以，化简可得（k﹣3）2＝2（k2+1）， 所以k2+6k﹣7＝0， 所以k＝﹣7或k＝1． 故答案为：﹣7或1． 三．解答题（共10小题） 41．【答案】见试题解答内容 【分析】圆被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，劣弧所对的圆心角为90°，设圆的圆心为P（a，b），圆P截X轴所得的弦长为， 截y轴所得弦长为2；可得圆心轨迹方程，圆心到直线l：x﹣2y＝0的距离最小，利用基本不等式，求得圆的方程． 【解答】解法一：设圆的圆心为P（a，b），半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|． 由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°，知圆P截X轴所得的弦长为，故r2＝2b2， 又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有 r2＝a2+1． 从而得2b2﹣a2＝1． 又点P（a，b）到直线x﹣2y＝0的距离为， 所以5d2＝|a﹣2b|2 ＝a2+4b2﹣4ab ≥a2+4b2﹣2（a2+b2） ＝2b2﹣a2＝1， 当且仅当a＝b时上式等号成立，此时5d2＝1，从而d取得最小值． 由此有 解此方程组得或 由于r2＝2b2知． 于是，所求圆的方程是 （x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，或（x+1）2+（y+1）2＝2． 解法二：同解法一，得 ∴ 得① 将a2＝2b2﹣1代入①式，整理得② 把它看作b的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即 Δ＝8（5d2﹣1）≥0， 得5d2≥1． ∴5d2有最小值1，从而d有最小值． 将其代入②式得2b2±4b+2＝0．解得b＝±1． 将b＝±1代入r2＝2b2，得r2＝2．由r2＝a2+1得a＝±1． 综上a＝±1，b＝±1，r2＝2． 由|a﹣2b|＝1知a，b同号． 于是，所求圆的方程是 （x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，或（x+1）2+（y+1）2＝2． 42．【答案】见试题解答内容 【分析】（Ⅰ）法一：写出曲线与坐标轴的交点坐标，利用圆心的几何特征设出圆心坐标，构造关于圆心坐标的方程，通过解方程确定出圆心坐标，进而算出半径，写出圆的方程； 法二：可设出圆的一般式方程，利用曲线与方程的对应关系，根据同一性直接求出参数， （Ⅱ）利用设而不求思想设出圆C与直线x﹣y+a＝0的交点A，B坐标，通过OA⊥OB建立坐标之间的关系，结合韦达定理寻找关于a的方程，通过解方程确定出a的值． 【解答】解：（Ⅰ）法一：曲线y＝x2﹣6x+1与y轴的交点为（0，1），与x轴的交点为（3+2，0），（3﹣2，0）．可知圆心在直线x＝3上，故可设该圆的圆心C为（3，t），则有32+（t﹣1）2＝（2）2+t2，解得t＝1，故圆C的半径为，所以圆C的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2＝9． 法二：圆x2+y2+Dx+Ey+F＝0 x＝0，y＝1有1+E+F＝0 y＝0，x2﹣6x+1＝0与x2+Dx+F＝0是同一方程，故有D＝﹣6，F＝1，E＝﹣2， 即圆方程为x2+y2﹣6x﹣2y+1＝0 （Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足方程组 ，消去y，得到方程2x2+（2a﹣8）x+a2﹣2a+1＝0，由已知可得判别式Δ＝56﹣16a﹣4a2＞0． 在此条件下利用根与系数的关系得到x1+x2＝4﹣a，x1x2＝①， 由于OA⊥OB可得x1x2+y1y2＝0，又y1＝x1+a，y2＝x2+a，所以可得2x1x2+a（x1+x2）+a2＝0② 由①②可得a＝﹣1，满足Δ＝56﹣16a﹣4a2＞0．故a＝﹣1． 43．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）先求与直线l垂直的直线的斜率，可得其方程，利用相切求出结果． （2）先设存在，利用都有为一常数这一条件，以及P在圆上，列出关系，利用恒成立，可以求得结果． 【解答】解：（1）设所求直线方程为y＝﹣2x+b，即2x+y﹣b＝0，∵直线与圆相切， ∴，得， ∴所求直线方程为， （2）方法1：假设存在这样的点B（t，0）， 当P为圆C与x轴左交点（﹣3，0）时，； 当P为圆C与x轴右交点（3，0）时，， 依题意，，解得，t＝﹣5（舍去），或． 下面证明点对于圆C上任一点P，都有为一常数． 设P（x，y），则y2＝9﹣x2， ∴， 从而为常数． 方法2：假设存在这样的点B（t，0），使得为常数λ，则PB2＝λ2PA2， ∴（x﹣t）2+y2＝λ2[（x+5）2+y2]，将y2＝9﹣x2代入得， x2﹣2xt+t2+9﹣x2＝λ2（x2+10x+25+9﹣x2）， 即2（5λ2+t）x+34λ2﹣t2﹣9＝0对x∈[﹣3，3]恒成立， ∴，解得或（舍去）， 所以存在点对于圆C上任一点P，都有为常数． 44．【答案】见试题解答内容 【分析】设割线OP1P2的直线方程为y＝kx与圆的方程联立得（1+k2）x2﹣2（1+2k）x+4＝0，再由韦达定理得：，因为P是P1P2的中点，所以，再由P点在直线y＝kx上，得到，代入上式得整理即可．要注意范围． 【解答】解：设割线OP1P2的直线方程为y＝kx代入圆的方程， 得：x2+k2x2﹣2x﹣4kx+4＝0 即（1+k2）x2﹣2（1+2k）x+4＝0 设两根为x1，x2即直线与圆的两交点的横坐标； 由韦达定理得： 又设P点的坐标是（x，y） P是P1P2的中点，所以 又P点在直线y＝kx上， ∴，代入上式得 两端乘以，得 即x2+y2＝x+2y （0＜x＜，＜y＜2） 这是一个一点为中心，以为半径的圆弧， 所求轨迹是这个圆在所给圆内的一段弧． 45．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据已知直线必过定点，而要使面积最小则定点一定在圆上，此时易求出圆的方程； （2）根据圆与x轴相交，求出AB两点坐标，根据P在圆内以及由使、、成等比数列分别求出一个关系式，两个关系式联立即可求出y02的取值范围，最终判断出的取值范围 【解答】解：（1）∵直线方程为y＝mx+（3﹣4m） ∴易得l过定点T（4，3） 由题意，要使圆O的面积最小，定点T（4，3）在圆上 ∴圆O的方程为：x2+y2＝25 （2）∵圆O与x轴相交于A、B两点 故A（﹣5，0）B（5，0） 设P（x0，y0）为圆内任意一点 故：x02+y02＜25 ① ， 由使、、成等比数列得： ＝• ∴x02+y02＝• 整理得：x02﹣y02＝ ② 由①②得： 0≤y02≤ ＝（x02﹣25）+y02＝2y02﹣ ∴∈[﹣，0）． 46．【答案】点M的速度． 【分析】设AP的长为x，AM的长为y，用x表示y，并用复合函数求导法则对时间t进行求导． 【解答】解：如图，作CD⊥AM，并设AP＝x，AM＝y，∠COA＝θ， 由题意弧AC的长为，半径OC＝1，可知θ＝，考虑θ∈（0，π）． ∵△APM∽△DCM，∴． ∵DM＝y﹣（1﹣cos），DC＝sin，∴ ∴． 上式两边对时间t进行求导，则y′t＝y′x•x′t． ∴y′t＝ 当时，x′t＝v，代入上式得点M的速度． 47．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据题意，分析圆N的圆心，结合关于直线y＝x对称的点的性质分析可得M的坐标，进而求出圆N、M的半径，即可得圆M、N的方程，结合圆与圆的位置个分析可得答案； （2）根据题意，设P（x0，y0），结合圆M的方程分析可得|PA|2、|PB|2的表达式，进而计算可得答案． 【解答】解：（1）根据题意，圆N：（x﹣）2+（y+）2＝r2（r＞0）的圆心为（，﹣）， 若圆M与圆N关于直线y＝x对称，则两圆的圆心M、N关于直线y＝x对称， 又由N（，﹣），则M的坐标为（﹣，）； 又由点D（﹣，）在圆M上，则有r2＝|MD|2＝（﹣）2＝， 故圆N的方程为（x﹣）2+（y+）2＝， 圆M的方程为（x+）2+（y﹣）2＝， 则圆心距|MN|＝＝＞2r， 故圆M与圆N相离； （2）证明：根据题意，设P（x0，y0）， 则|PA|2＝（x0+1）2+（y0﹣）2＝﹣（x0+）2+（x0+1）2＝﹣x0， |PB|2＝（x0﹣1）2+（y0﹣）2＝﹣（x0+）2+（x0﹣1）2＝﹣x0， 则有＝＝4，即＝2． 48．【答案】见试题解答内容 【分析】根据两圆外切时两圆心之间的距离等于两半径之和，由三个圆的半径分别求出三角形的三边，求出最长一边的平方且求出其余两边的平方和，发现其相等，利用勾股定理的逆定理即可得证． 【解答】证明：设⊙O1、⊙O2、⊙O3的半径分别为1、2、3． 因这三个圆两两外切， 故有O1O2＝1+2＝3，O2O3＝2+3＝5，O1O3＝1+3＝4， 则有O1O22+O1O32＝32+42＝52＝O2O32 根据勾股定理的逆定理， 得到△O1O2O3为直角三角形． 49．【答案】见试题解答内容 【分析】利用两点间的距离公式求出原点与（3，4）的距离即为所求圆的半径，根据圆心和求出的半径写出圆的方程即可． 【解答】解：因为原点在所求的圆上，所以原点到圆心的距离等于圆的半径， 则圆的半径R＝＝5，又圆心为（3，4）， 所以圆的方程为：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25． 50．【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意画出图形，结合图形判断△ABC是直角三角形；再求△ABC内切圆的半径和圆心，从而得出△ABC的内切圆方程． 【解答】解：如图所示， 则AB＝50，AC＝＝30，BC＝＝40； ∴AB2＝AC2+BC2， ∴△ABC是直角三角形； 设△ABC内切圆的半径为r，则r（30+40+50）＝×30×40， r＝10； 又设△ABC的内切圆圆心为I，则CI＝10，设I（a，10）， ∴＝10， 解得a＝﹣5或a＝﹣9（不合题意，舍去）； ∴△ABC的内切圆方程为（x+5）2+（y﹣10）2＝100． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/5/17 15:32:36；用户：Damon；邮箱：13120434074；学号：24730468 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$