第二章 椭圆及其方程-高中数学选择必修第一册精选易错题练习（人教B版2019)

精选易错题练习—【第二章】 椭圆及其方程 一．选择题（共25小题） 1．设F1、F2是椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（　　） A． B． C． D． 2．已知椭圆＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，点A是椭圆短轴的一个顶点，且cos∠F1AF2＝，则椭圆的离心率e＝（　　） A． B． C． D． 3．椭圆＝1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的（　　） A．7倍 B．5倍 C．4倍 D．3倍 4．如图，共顶点的椭圆①、②与双曲线③、④的离心率分别为e1、e2、e3、e4，其大小关系为（　　） A．e1＜e2＜e4＜e3 B．e1＜e2＜e3＜e4 C．e2＜e1＜e3＜e4 D．e2＜e1＜e4＜e3 5．已知椭圆，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于（　　） A．4 B．5 C．7 D．8 6．已知直线交于P，Q两点，若点F为该椭圆的左焦点，则取最小值的t值为（　　） A．﹣ B．﹣ C． D． 7．已知椭圆+＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上．若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（　　） A． B．3 C． D． 8．若焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则实数m等于（　　） A． B． C． D． 9．已知椭圆x2+my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的4倍，则实数m的值为（　　） A． B． C．4 D．16 10．已知椭圆+＝1过点（﹣4，）和（3，﹣），则椭圆离心率e＝（　　） A． B． C． D． 11．已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一焦点距离为（　　） A．9 B．7 C．5 D．3 12．焦点在y轴上的椭圆C：＝1（a＞0）的离心率是，则实数a为（　　） A．3 B．2 C．2或3 D．4或9 13．若方程x2+ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（　　） A．（0，+∞） B．（0，2） C．（1，+∞） D．（0，1） 14．椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x＝﹣4，则该椭圆的方程为（　　） A． B． C． D． 15．椭圆的焦点为F1，F2，P为椭圆上一点，若|PF1|＝3，则|PF2|＝（　　） A．9 B．7 C．5 D．3 16．阿基米德（公元前287年﹣公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆的离心率为，面积为12π，则椭圆C的方程为（　　） A． B． C． D． 17．已知O为坐标原点椭圆C：+＝1（a＞b＞0），过右焦点F的直线l⊥x轴，交椭圆C于A，B两点，且△AOB为直角三角形，则椭圆C的离心率为（　　） A． B． C． D． 18．若焦点在x轴上的椭圆+＝1的离心率是，则m等于（　　） A． B． C． D． 19．椭圆的两顶点为A（a，0），B（0，b），且左焦点为F，△FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为（　　） A． B． C． D． 20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（　　） A．+＝1 B．+y2＝1 C．+＝1 D．+＝1 21．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 22．已知椭圆+y2＝1（a＞1）的两个焦点为F1、F2，P为椭圆上一点，且∠F1PF2＝60°，则|PF1|•|PF2|的值为（　　） A．1 B． C． D． 23．蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆C：的蒙日圆为x2+y2＝4，a＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 24．已知平面直角坐标系xOy中，椭圆C：（a＞b＞0）的左顶点和上顶点分别为A，B，过左焦点F且平行于直线AB的直线交y轴于点D，若，则椭圆C的离心率为（　　） A． B． C． D． 25．椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），点P在C上，|PF2|＝2，，则C的长轴长为（　　） A．2 B． C． D． 二．填空题（共15小题） 26．已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且，则C的离心率为　 　． 27．已知椭圆，点P（a，b）为椭圆外一点，斜率为的直线与椭圆交于A，B两点，过点P作直线PA，PB分别交椭圆于C，D两点．当直线CD的斜率为时，此椭圆的离心率为　 　． 28．椭圆+＝1的离心率为，则m＝　 　． 29．已知斜率存在的直线与椭圆+y2＝1相交于A，B两点，且|AB|＝2，O为坐标原点，则△AOB面积的最大值为　 　． 30．已知F1、F2为椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上第一象限内的点，且PF1⊥PF2，则|PF2|＝　 　． 31．设点P是椭圆C：＝1上的动点，F为C的右焦点，定点A（2，1），则|PA|+|PF|的取值范围是　 　． 32．设F1，F2分别是椭圆E：x2+＝1（0＜b＜1）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A、B两点，若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为　 　． 33．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，点A、B在椭圆C上，满足，，若椭圆C的离心率，则实数λ取值范围为 　 　． 34．若以椭圆＝1的右顶点为圆心的圆与直线x+y+2＝0相切，则该圆的标准方程是　 　． 35．椭圆5x2﹣ky2＝5的一个焦点是（0，2），那么k＝　 　． 36．已知F是椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的一个焦点，P是C上的任意一点，则|FP|称为椭圆C的焦半径．设C的左顶点与上顶点分别为A，B，若存在以A为圆心，|FP|为半径上的圆经过点B，则椭圆C的离心率的最小值为　 　． 37．设椭圆的右焦点为F1，右准线为l1，若过F1且垂直于x轴的弦长等于点F1到l1的距离，则椭圆的离心率是　 　． 38．设点F，B分别为椭圆C：+＝1（a＞0）右焦点和上顶点，O为坐标原点，且△OFB的周长为3+，则实数a的值为　 　． 39．F1、F2为椭圆的两个焦点，过F2的直线交椭圆于A、B两点，AF1⊥AB，且|AF1|＝|AB|，则椭圆的离心率为　 　． 40．已知F1、F2是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的两个焦点，过点F1的直线与椭圆交于A，B两点，△ABF2的周长为12，椭圆C的离心率为，则椭圆C的方程为　 　． 三．解答题（共10小题） 41．在平面直角坐标系xOy中，椭圆的方程为，A1，A2分别为椭圆的左、右顶点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上不同于A1和A2的任意一点．若平面中两个点Q、R满足QA1⊥PA1，QA2⊥PA2，RF1⊥PF1，RF2⊥PF2，试确定线段QR的长度与b的大小关系，并给出证明． 42．在椭圆Γ中，F为一个焦点，A，B为两个顶点，若|FA|＝3，|FB|＝2，求|AB|的所有可能值． 43．已知椭圆，C的中心为O，左、右焦点分别为F1，F2．上顶点为A，右顶点为B，且|OB|、|OA|、|OF2|成等比数列． （1）求椭圆C的离心率； （2）判断△F1AB的形状，并说明理由． 44．过椭圆C：+＝1右焦点F的直线l交C于两点A（x1，y1），B（x2，y2），且A不在x轴上． （Ⅰ）求|y1y2|的最大值； （Ⅱ）若＝，求直线l的方程． 45．设椭圆+＝1的左右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且sin∠PF1F2＝3sin∠PF2F1，求点P到椭圆右准线的距离． 46．设椭圆+＝1的右焦点为F，经过点F的直线l与椭圆相交于A，B两点，与椭圆的右准线相交于C，且B是AC的中点，求点F分有向线段所成的比，以及点C的坐标． 47．设椭圆+y2＝1（a＞1）的左、右焦点分别为F1、F2，右准线l与x轴的交点为E． （Ⅰ）当F2是F1E的中点时，求a； （Ⅱ）若对于l上的任意点P，线段F1P的中垂线都不经过点F2，求椭圆离心率e的取值范围． 48．一椭圆通过（2，3）及（﹣1，4）两点，中心为原点，长短轴重合于坐标轴，试求其长轴，短轴及焦点． 49．已知椭圆Γ：+＝1（a＞b＞0），经过点（1，e），其中e为椭圆的离心率，椭圆的上，下顶点与两焦点构成正方形．（1）求椭圆Γ的方程； （2）若不经过原点的直线l与椭圆Γ相交于A，B两点，且l与x轴不垂直，OA，OB（O为坐标原点）的斜率之积为﹣．求△AOB的面积． 50．已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y＝x+1与该椭圆相交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|＝．求椭圆的方程． 精选易错题练习—【第二章】 椭圆及其方程 参考答案与试题解析 一．选择题（共25小题） 1．【答案】C 【分析】利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|＝|F2F1|，根据P为直线x＝上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率． 【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形， ∴|PF2|＝|F2F1| ∵P为直线x＝上一点 ∴ ∴ 故选：C． 2．【答案】C 【分析】由题意可得AF1＝AF2＝a，F1F2＝2c，在三角形中由余弦定理可得a，c之间的关系，进而求出离心率． 【解答】解：由题意可得AF1＝AF2＝a，F1F2＝2c， 在△PF1F2中，由余弦定理可得：cos∠F1AF2＝＝＝， 可得a2＝16c2，即离心率e＝＝， 故选：C． 3．【答案】A 【分析】由题设知F1（﹣3，0），F2（3，0），由线段PF1的中点在y轴上，设P（3，b），把P（3，b）代入椭圆＝1，得．再由两点间距离公式分别求出|P F1|和|P F2|，由此得到|P F1|是|P F2|的倍数． 【解答】解：由题设知F1（﹣3，0），F2（3，0）， 如图，设P点的坐标是（x，y），线段PF1 的中点坐标为（，） ∵线段PF1的中点M在y轴上， ∴＝0 ∴x＝3 将P（3，y）代入椭圆＝1，得到y2＝． ∴|PF1|＝， |PF2|＝． ∴． 故选：A． 4．【答案】A 【分析】先根据椭圆越扁离心率越大判断e1、e2的大小，再由双曲线开口越大离心率越大判断e3、e4的大小，最后根据椭圆离心率大于0小于1并且双曲线离心率大于1可得到最后答案． 【解答】解：根据椭圆越扁离心率越大可得到0＜e1＜e2＜1 根据双曲线开口越大离心率越大得到1＜e4＜e3 ∴可得到e1＜e2＜e4＜e3 故选：A． 5．【答案】D 【分析】先把椭圆方程转换成标准方程，进而根据焦距求得m． 【解答】解：将椭圆的方程转化为标准形式为， 显然m﹣2＞10﹣m，即m＞6， ，解得m＝8 故选：D． 6．【答案】B 【分析】确定F的坐标，设出P，Q的坐标，表示出，即可求得结论． 【解答】解：由题意，F（﹣4，0） 由椭圆的对称性，可设P（t，s），Q（t，﹣s），则 ＝（t+4，s）•（t+4，﹣s）＝（t+4）2﹣s2＝ ∴t＝﹣时，取最小值 故选：B． 7．【答案】D 【分析】设椭圆短轴的一个端点为M．根据椭圆方程求得c，进而判断出∠F1MF2＜90°，即∠PF1F2＝90°或∠PF2F1＝90°．令x＝±，进而可得点P到x轴的距离． 【解答】解：设椭圆短轴的一个端点为M． 由于a＝4，b＝3， ∴c＝＜b ∴∠F1MF2＜90°， ∴只能∠PF1F2＝90°或∠PF2F1＝90°． 令x＝±得 y2＝9＝， ∴|y|＝． 即P到x轴的距离为， 故选：D． 8．【答案】B 【分析】根据题意，由椭圆的标准方程分析可得a、b的值，进而由椭圆的离心率公式e＝＝＝，解可得m的值，即可得答案． 【解答】解：根据题意，椭圆的焦点在x轴上，则m＜2， 则a＝，b＝，c＝， 若其离心率为， 则有e＝＝＝， 解可得m＝； 故选：B． 9．【答案】A 【分析】根据题意，求出长半轴和短半轴的长度，利用长轴长是短轴长的4倍，解方程求出m的值． 【解答】解：椭圆x2+my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的4倍， ∴，可得m＝． 故选：A． 10．【答案】A 【分析】将点代入可得方程组，解得a＝5，b＝1，根据离心率公式即可求出． 【解答】解：椭圆+＝1过点（﹣4，）和（3，﹣）， 则，解得a＝5，b＝1， ∴c2＝a2﹣b2＝24， ∴c＝2， ∴e＝＝， 故选：A． 11．【答案】B 【分析】由椭圆方程找出a的值，根据椭圆的定义可知椭圆上的点到两焦点的距离之和为常数2a，把a的值代入即可求出常数的值得到P到两焦点的距离之和，由P到一个焦点的距离为3，求出P到另一焦点的距离即可． 【解答】解：由椭圆，得a＝5， 则2a＝10，且点P到椭圆一焦点的距离为3， 由定义得点P到另一焦点的距离为2a﹣3＝10﹣3＝7． 故选：B． 12．【答案】B 【分析】利用椭圆的离心率计算公式即可得出． 【解答】解：∵焦点在y轴上的椭圆C：＝1（a＞0）的离心率是， ∴6＞a2，＝，解得a＝2． 故选：B． 13．【答案】D 【分析】先把椭圆方程整理成标准方程，进而根据椭圆的定义可建立关于k的不等式，求得k的范围． 【解答】解：∵方程x2+ky2＝2，即表示焦点在y轴上的椭圆 ∴故0＜k＜1 故选：D． 14．【答案】C 【分析】确定椭圆的焦点在x轴上，根据焦距为4，一条准线为x＝﹣4，求出几何量，即可求得椭圆的方程． 【解答】解：由题意，椭圆的焦点在x轴上，且 ∴c＝2，a2＝8 ∴b2＝a2﹣c2＝4 ∴椭圆的方程为 故选：C． 15．【答案】B 【分析】利用椭圆的定义求解即可． 【解答】解：椭圆的焦点为F1，F2，P为椭圆上一点， 所以|PF1|+|PF2|＝2a＝10，若|PF1|＝3，可得|PF2|＝10﹣3＝7． 故选：B． 16．【答案】A 【分析】利用已知条件列出方程组，求出a，b，即可得到椭圆方程． 【解答】解：由题意可得：，解得a＝4，b＝3， 因为椭圆的焦点坐标在y轴上，所以椭圆方程为：． 故选：A． 17．【答案】A 【分析】由题易求得，因为△AOB为直角三角形，可知，再结合b2＝a2﹣c2和即可得解． 【解答】解：设右焦点的坐标为（c，0），把x＝c代入+＝1得，， ∴， 又△AOB为直角三角形，∴即b2＝ac， ∴a2﹣c2＝ac，∴e2+e﹣1＝0，解得或（舍）． 故选：A． 18．【答案】B 【分析】先根据椭圆的标准方程求得a，b，c，再结合椭圆的离心率公式列出关于m的方程，解之即得答案． 【解答】解：由题意，则 ， 化简后得m＝1.5， 故选：B． 19．【答案】C 【分析】先求出F的坐标求出直线AB和BF的斜率，两直线垂直可知两斜率相乘得﹣1，进而求得a和c的关系式，进而求得e． 【解答】解：依题意可知点F（﹣c，0） 直线AB斜率为 ＝，直线BF的斜率为 ＝ ∵∠FBA＝90°， ∴（ ）•＝﹣＝﹣1 整理得c2+ac﹣a2＝0，即（）2+﹣1＝0，即e2+e﹣1＝0 解得e＝或﹣ ∵0＜e＜1 ∴e＝， 故选：C． 20．【答案】A 【分析】利用△AF1B的周长为4，求出a＝，根据离心率为，可得c＝1，求出b，即可得出椭圆的方程． 【解答】解：∵△AF1B的周长为4， ∵△AF1B的周长＝|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|＝2a+2a＝4a， ∴4a＝4， ∴a＝， ∵离心率为， ∴，c＝1， ∴b＝＝， ∴椭圆C的方程为+＝1． 故选：A． 21．【答案】C 【分析】设P（m，n ），由得到n2＝2c2﹣m2 ①．把P（m，n ）代入椭圆得到 b2m2+a2n2＝a2b2 ②，把①代入②得到 m2 的解析式，由m2≥0及m2≤a2求得的范围． 【解答】解：设P（m，n ），＝（﹣c﹣m，﹣n）•（c﹣m，﹣n）＝m2﹣c2+n2， ∴m2+n2＝2c2，n2＝2c2﹣m2 ①． 把P（m，n ）代入椭圆得b2m2+a2n2＝a2b2 ②， 把①代入②得m2＝≥0，∴a2b2≤2a2c2， b2≤2c2，a2﹣c2≤2c2，∴≥． 又 m2≤a2，∴≤a2，∴≤0，故a2﹣2c2≥0，∴≤． 综上，≤≤， 故选：C． 22．【答案】C 【分析】先设出|PF1|＝m，|PF2|＝n，利用椭圆的定义求得n+m的值，平方后求得mn和m2+n2的关系，代入△F1PF2的余弦定理中求得mn的值． 【解答】解：设|PF1|＝m，|PF2|＝n， 由椭圆的定义可知m+n＝2a， ∴m2+n2+2nm＝4a2， ∴m2+n2＝4a2﹣2nm 由余弦定理可知cos60°＝＝＝，求得mn＝ 故选：C． 23．【答案】A 【分析】由题意可得椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，设特殊值法，求出两条切线的交点坐标，代入蒙日圆的方程可得a的值． 【解答】解：因为椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上 找两个特殊点分别为（0，），（，0），则两条切线分别是x＝，y＝， 则两条直线的交点为P（，）， 而P在蒙日圆上， 所以（）2+（）2＝4， 解得a＝1， 故选：A． 24．【答案】D 【分析】由题意易知|OA|＝3|OF|，即a＝3c，利用离心率的计算公式即可求出结果． 【解答】解：因为DF∥AB，， 所以2|OA|＝3|OF|，即2a＝3c， 所以椭圆C的离心率e＝＝． 故选：D． 25．【答案】D 【分析】根据椭圆的性质和余弦定理即可得到|PF1|2＝|F1F2|2+|PF2|2﹣2|F1F2|•|PF2|•cos，解得即可 【解答】解：椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），则c＝1， ∵|PF2|＝2， ∴|PF1|＝2a﹣|PF2|＝2a﹣2， 由余弦定理可得|PF1|2＝|F1F2|2+|PF2|2﹣2|F1F2|•|PF2|•cos， 即（2a﹣2）2＝4+4﹣2×2×2×（﹣）， 解得a＝1+，a＝1﹣（舍去）， ∴2a＝2+2， 故选：D． 二．填空题（共15小题） 26．【答案】见试题解答内容 【分析】由椭圆的性质求出|BF|的值，利用已知的向量间的关系、三角形相似求出D的横坐标，再由椭圆的第二定义求出|FD|的值，又由|BF|＝2|FD|建立关于a、c的方程，解方程求出 的值． 【解答】解：如图，， 作DD1⊥y轴于点D1，则由，得，所以，， 即，由椭圆的第二定义得 又由|BF|＝2|FD|，得，a2＝3c2，解得e＝＝， 故答案为：． 27．【答案】 【分析】由题意可得AB为过原点的特殊的直线，可得直线CD∥AB，设C，D的坐标，可得其中点M的坐标，点差法求出OM的斜率与直线CD的斜率的关系，再由O，P，M三点共线求出a，b的关系，进而求出椭圆的离心率的值． 【解答】解：设直线AB过原点O，由题意可得CD∥AB， 设C（x1，y1），D（x2，y2），设CD的中点M（x0，y0），可得＝， ，作差可得＝﹣＝﹣， 由题意可得﹣＝， 所以kOM＝＝， 因为O，M，P三点共线，所以kOM＝kOP＝， 所以＝可得＝， 所以离心率e＝＝＝＝， 故答案为：． 28．【答案】见试题解答内容 【分析】方程中4和m哪个大，哪个就是a2，利用离心率的定义，分0＜m＜4和m＞4两种情况求出m的值． 【解答】解：方程中4和m哪个大，哪个就是a2， （ⅰ）若0＜m＜4，则a2＝4，b2＝m， ∴c＝，∴e＝＝，得 m＝3； （ⅱ）m＞4，则b2＝4，a2＝m， ∴c＝，∴e＝＝，得 m＝； 综上：m＝3或m＝， 故答案为：3或． 29．【答案】2． 【分析】设出直线AB的方程，并与椭圆方程联立，利用韦达定理以及弦长公式建立等式关系，然后求出原点到直线AB的距离，由此求出三角形AOB的面积，再利用函数的性质即可求解． 【解答】解：由题意设直线AB的方程为y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立方程，消去y整理可得：（1+4k2）x2+8mkx+4m2﹣4＝0， 所以x， 所以|AB|＝＝＝2， 化简可得：m， 原点O到直线AB的距离为d＝， 所以三角形AOB的面积为S＝＝＝， 令1+k2＝t≥1，则S＝＝＝， 当时，Smax＝2， 故答案为：2． 30．【答案】2﹣． 【分析】利用椭圆的定义，结合勾股定理，转化求解即可． 【解答】解：由题意可知：|PF1|+|PF2|＝4，c＝，|PF1|2+|PF2|2＝12，|PF1|＞|PF2|， 解得：|PF2|＝2﹣． 故答案为：2﹣． 31．【答案】见试题解答内容 【分析】由题意画出图形，求出椭圆的长轴长，利用题意定义把|PA|+|PF|转化，然后结合两边之差小于第三边求解． 【解答】解：如图，设椭圆左焦点为F′， 由椭圆方程＝1，得， ∴|PF|＝2a﹣|PF′|， 则|PA|+|PF|＝+（|PA|﹣|PF′|）＝﹣（|PF′|﹣|PA|）． 连接AF′，当P在AF′的延长线上时，|PA|﹣|PF′|最大为|AF′|＝， |PA|+|PF|的最大值为； 当P在F′A的延长线上时，|PF′|﹣|PA|最大为|AF′|＝， |PA|+|PF|的最小值为． ∴|PA|+|PF|的取值范围为[，]． 故答案为：[，]． 32．【答案】见试题解答内容 【分析】求出B（﹣c，﹣b2），代入椭圆方程，结合1＝b2+c2，即可求出椭圆的方程． 【解答】解：由题意，F1（﹣c，0），F2（c，0），AF2⊥x轴，∴|AF2|＝b2， ∴A点坐标为（c，b2）， 设B（x，y），∵|AF1|＝3|F1B|，∴＝3， ∴（﹣c﹣c，﹣b2）＝3（x+c，y）， ∴B（﹣c，﹣b2）， 代入椭圆方程可得， ∵1＝b2+c2，∴b2＝，c2＝，∴x2+＝1． 故答案为：x2+＝1． 33．【答案】[3，5]． 【分析】先写出点F1、A的坐标，再利用求得点B的坐标，将点B的坐标代入椭圆C方程即可化简出实数λ与离心率e的关系，从而得到实数λ取值范围． 【解答】解：根据题意知F1（﹣c，0），由得AF2⊥F1F2， 不妨设点A在第一象限，则点A的坐标为， 由知λ＞0，且， 从而得到点B的坐标为， 将点B的坐标代入椭圆C方程得， 整理得（λ+2）2e2+1﹣e2＝λ2，即[（e2﹣1）λ+3e2+1]（λ+1）＝0， 所以， 又因为，所以， 即实数λ取值范围为[3，5]． 故答案为：[3，5]． 34．【答案】见试题解答内容 【分析】求得椭圆的右顶点，利用点到直线的距离公式，即可圆的半径，即可求得圆的标准方程． 【解答】解：椭圆＝1的右顶点（2，0）， 则圆心（2，0），设圆心到直线x+y+2＝0的距离为d， 则d＝＝2， ∴该圆的标准方程的方程（x﹣2）2+y2＝4， 故答案为：（x﹣2）2+y2＝4． 35．【答案】见试题解答内容 【分析】先将椭圆方程转化为标准方程，由“一个焦点是（0，2）”得到焦点的y轴上，从而确定a2，b2，再由“c2＝a2﹣b2”建立k的方程求解． 【解答】解：方程可化为x2+＝1． ∵焦点（0，2）在y轴上， ∴a2＝﹣，b2＝1， 又∵c2＝a2﹣b2＝4，∴a2＝5， 解得：k＝﹣1． 故答案为：﹣1 36．【答案】见试题解答内容 【分析】求出椭圆焦半径的范围，再由|AB|在焦半径范围内列不等式求解． 【解答】解：如图， |AB|＝，a﹣c≤|PF|≤a+c， 由题意可得，a﹣ca+c， 不等式左边恒成立，则， 两边平方整理得：2e2+2e﹣1≥0，解得e（舍）或e≥． ∴椭圆C的离心率的最小值为． 故答案为：． 37．【答案】见试题解答内容 【分析】先求出过F1且垂直于x轴的弦长和点F1到l1的距离，由条件：F1且垂直于x轴的弦长等于点F1到l1的距离，建立方程， 再利用a、b、c的关系求出 的值． 【解答】解：过F1且垂直于x轴的弦长等于 ，点F1到l1的距离为 ﹣c，由条件知， ＝﹣c，即 ＝，∴＝， 故答案为：． 38．【答案】见试题解答内容 【分析】由三角形OFB的轴l＝a+b+c＝3+，求得a+c＝3，根据椭圆的性质可得a2﹣c2＝3，联立即可求得a和c的值． 【解答】解：由题意可知：椭圆的焦点在x轴上，b＝， 则三角形OFB的轴l＝a+b+c＝3+， 则a+c＝3，① b2+c2＝a2，即a2﹣c2＝3，② 由①②可知：a＝2，c＝1， 故答案为：2． 39．【答案】见试题解答内容 【分析】设|AF1|＝t，则|AB|＝t，|F1B|＝t，由椭圆定义有|AF1|+|AB|+|F1B|＝4a，求得|AF2|关于t的表达式，进而利用韦达定理可求得a和c的关系． 【解答】解：设|AF1|＝t，则|AB|＝t，|F1B|＝t，由椭圆定义有：|AF1|+|AF2|＝|BF1|+|BF2|＝2a ∴|AF1|+|AB|+|F1B|＝4a， 化简得（+2）t＝4a，t＝（4﹣2）a ∴|AF2|＝2a﹣t＝（2﹣2）a 在Rt△AF1F2中，|F1F2|2＝（2c）2 ∴[（4﹣2）a]2+[（2﹣2）a]2＝（2c）2 ∴（）2＝9﹣6 ∴e＝ 故答案为：． 40．【答案】． 【分析】利用△ABF2的周长为4a，推出a，利用离心率求解c，然后求解b即可得到椭圆C的方程． 【解答】解：△ABF2的周长为4a，故a＝3，由得，则b2＝a2﹣c2＝7， 椭圆C的方程为． 故答案为：． 三．解答题（共10小题） 41．【答案】|QR|＝，此时P（0，±b）． 【分析】由题意可得A1，A2，F1，F2的坐标，设P，Q，R的坐标，将P的坐标代入椭圆的方程，可得P的横纵坐标的关系，由体重的垂直关系可得向量的数量积为0，可得|QR|的代数式，由P的纵坐标的范围可得|QR|的最小值，并求出此时的P的坐标． 【解答】解：令c＝， 则A1（﹣a，0），A2（a，0），F1（﹣c，0），F2（c，0）， 设P（x0，y0），Q（x1，y1），R（x2，y2），其中+＝1，y0≠0， 由QA1⊥PA1，QA2⊥PA2可知 ＝（x1+a）（x0+a）+y1y0＝0，① •＝（x1﹣a）（x0﹣a）+y1y0＝0，② 将①②相减可得2a（x1+x0）＝0，则x1＝﹣x0， 将其代入①可得﹣x02+a2+y1y0＝0， 故y1＝，于是Q（﹣x0，）， 根据RF1⊥PF1，RF2⊥PF2，同理可得R（﹣x0，）， 因此|QR|＝|﹣|＝， 证明：由于|y0|∈（0，b]，故|QR|≥b（其中等号成立的充分必要条件是|y0|＝b）， 即P的坐标（0，±b）． 42．【答案】5，，． 【分析】由椭圆的对称性设椭圆的焦点在x轴上，F右顶点，AB分别是左右顶点时，|FA|，|FB|怎样表示；当A为左顶点，B为上下顶点中的一个时，|FA|，|FB|怎样表示； 当A为右顶点，B为上下顶点中的一个时，|FA|，|FB|怎样表示，分别求出a，b，c的值，求出|AB|的所有可能值． 【解答】解：设平面直角坐标系中椭圆的标准方程为+＝1（a＞b＞0），并记c＝， 由对称性，设F为右焦点， 易知F到左顶点的距离为a+c，到右顶点的距离为a﹣c，到上下顶点的距离为a， 当A，B分别为左右顶点时a+c＝3，a﹣c＝2， 所以|AB|＝2a＝5， （得b2＝a2﹣c2＝﹣＝6，所以这时椭圆的标准方程为+＝1）； 当A为左顶点，B为上下顶点的其中的一个，则a+c＝3，a＝2，可得c＝1， 所以b2＝a2﹣c2＝4﹣1＝3，这时椭圆的方程为+＝1， 这时|AB|＝＝＝；， 当A为右顶点，B为上下顶点中的一个时，则a﹣c＝2，a＝3，可得b2＝a2﹣c2＝9﹣1＝8， 这时|AB|＝＝＝， 这时椭圆的方程为+＝1； 所以|AB|的所有可能值为5，，． 43．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由题意可得A，B，F2的坐标，再由|OB|、|OA|、|OF2|成等比数列．可得，ab，c之间的关系，再由椭圆中a，b，c之间的关系求出离心率； （2）由题意知A，B，F1的坐标，和题意b2＝ac，可得向量以＝0，即可得向量的垂直，即三角形为直角三角形． 【解答】解（1）设椭圆的长轴长，短轴长，焦距分别为2a，2b，2c， 则|OB|＝a，|OA|＝b，|OF2|＝c， 由题设可得b2＝ac及b2＝a2﹣c2可得c2+ac﹣a2＝0， 即e2+e﹣1＝0，解得e＝，而e∈（0，1）， 所以椭圆的离心率为e＝； （2）设椭圆的方程为：+＝1（a＞b＞0），则A（0，b），B（a，0），F1（﹣c，0）， 因为b2＝ac，＝（﹣c，﹣b），＝（a，﹣b）， 所以＝﹣ac+b2＝0，所以AF1⊥AB， 即△ABF1为直角三角形． 44．【答案】见试题解答内容 【分析】（Ⅰ）设AB的直线方程为x＝ky+4，联立方程组，根据根与系数的关系即可求出|y1y2|＝，即可求出． （Ⅱ）根据向量可得＝4，即可得到y2＝﹣4y1，根据根与系数的关系即可求出即可求出k的值 【解答】解：（Ⅰ）椭圆C：+＝1右焦点F为（4，0）， 设AB的直线方程为x＝ky+4， 由，消x可得（9k2+25）y2+72ky﹣81＝0， ∴|y1y2|＝， 当k＝0时，|y1y2|有最大值，最大值为， （Ⅱ）∵＝， ∴|FB|＝4|AF|， ∴＝4， ∴y2＝﹣4y1， 由（Ⅰ）可得y1y2＝﹣＝﹣4y12，y1+y2＝﹣＝﹣3y1， ∴＝， 解得k＝±， ∴直线方程为x＝±y+4， ∴x±3y﹣4＝0． 45．【答案】见试题解答内容 【分析】求得椭圆的a，b，c，e，右准线方程，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，运用三角形的正弦定理和椭圆定义，解方程可得m，n，再由焦半径公式可得P的横坐标，由点到直线的距离公式可得所求值． 【解答】解：椭圆+＝1的a＝4，b＝， c＝＝3，e＝＝， 右准线方程为x＝即x＝， 设|PF1|＝m，|PF2|＝n， 由椭圆的定义可得m+n＝2a＝8， 在△PF1F2中， 由正弦定理＝＝， 解得m＝2，n＝6， 由椭圆的焦半径公式可得n＝a﹣exP， 即为6＝4﹣xP， 解得xP＝﹣， 则点P到椭圆右准线的距离为﹣（﹣）＝8． 46．【答案】见试题解答内容 【分析】求得椭圆的焦点F，以及右准线方程，设C（4，t），A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，解方程可得x1＝﹣，x2＝，k＝±，再由定比分点坐标公式和直线l的方程，可得所求． 【解答】解：椭圆+＝1的右焦点为F（1，0）， 可得右准线方程为x＝，即为x＝4， 设C（4，t），A（x1，y1），B（x2，y2）， 且B是AC的中点，可得2x2＝4+x1，① 由直线l：y＝k（x﹣1）和椭圆方程3x2+4y2＝12， 可得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0， 即有x1+x2＝，x1x2＝，② 由①②解得x1＝﹣，x2＝，k＝±， 点F分有向线段所成的比为 ＝2； 可得直线l的方程为y＝±（x﹣1）， B是AC的中点，可得2y2＝t+y1， 由x1＝﹣，x2＝，可得A（﹣，﹣），B（，）， 即有t＝+＝； 或A（﹣，），B（，﹣）， 即有t＝﹣﹣＝﹣； 可得C（4，）或（4，﹣）． 47．【答案】见试题解答内容 【分析】（Ⅰ）设出椭圆的焦点和右准线方程，可得E的坐标，由中点坐标公式和a，b，c的关系，解方程可得a； （Ⅱ）线段F1P的中垂线都不经过点F2，可得|PF2|≠|F1F2|，由P∈l，可设P（，p），运用两点的距离公式和不等式恒成立思想，可得2c＜﹣c，再由离心率公式可得所求范围． 【解答】解：（Ⅰ）椭圆+y2＝1（a＞1）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）， 右准线l与x轴的交点为E（，0）， 由F2是F1E的中点，可得2c＝﹣c+， 且a2﹣1＝c2， 解得a＝； （Ⅱ）线段F1P的中垂线都不经过点F2，可得|PF2|≠|F1F2|， 由P∈l，可设P（，p），|PF2|＝， |F1F2|＝2c， 由题意可得≠2c， 即p2≠4c2﹣（﹣c）2， 由P的任意性可得4c2﹣（﹣c）2＜0， 即为2c＜﹣c， 可得3c2＜a2， 即e＝＜， 即有椭圆离心率e的取值范围为（0，）． 48．【答案】见试题解答内容 【分析】设椭圆的标准方程为 ＝1，把（2，3）及（﹣1，4）两点 代入求得a2＝，b2＝，由c2＝b2﹣a2，求出焦点坐标． 【解答】解：设椭圆的标准方程为 ＝1，由于椭圆过（2，3）及（﹣1，4）两点，所以， 将此两点代入标准方程可得：， 解之，a2＝，b2＝， ∴长轴2b＝2，短轴 2a＝2， 又c2＝b2﹣a2， ∴c＝， 故焦点坐标为F1（﹣2，0），F2（2，0）． 49．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由正方形，可得b＝c，e＝＝，将点（1，）代入椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程； （2）设不经过原点的直线l的方程为y＝kx+t，代入椭圆方程x2+2y2＝2，运用韦达定理和弦长公式、点到直线的距离公式，以及直线的斜率公式可得1+2k2＝2t2，化简整理，即可得到所求三角形的面积． 【解答】解：（1）椭圆的上，下顶点与两焦点构成正方形，可得b＝c， a＝＝c， e＝＝， 将点（1，）代入椭圆方程，可得+＝1， 解得a＝，b＝c＝1， 可得椭圆方程为+y2＝1； （2）设不经过原点的直线l的方程为y＝kx+t， 代入椭圆方程x2+2y2＝2，可得（1+2k2）x2+4ktx+2t2﹣2＝0， 即有Δ＝16k2t2﹣4（1+2k2）（2t2﹣2）＞0，即为t2＜1+2k2， x1+x2＝﹣，x1x2＝， 又kOAkOB＝﹣，可得•＝ ＝k2+＝k2+＝﹣， 化简可得1+2k2＝2t2， O到AB的距离d＝， 即有△AOB的面积为S＝d•|AB| ＝••• ＝|t|•＝|t|•＝． 50．【答案】见试题解答内容 【分析】先设椭圆方程的标准形式，然后与直线方程联立消去y，得到两根之和、两根之积的关系式，再由OP⊥OQ，|PQ|＝可得到两点坐标的关系式，然后再与两根之和、两根之积的关系式联立可求a，b的值，从而可确定椭圆方程． 【解答】解：设所求椭圆方程为． 依题意知，点P、Q的坐标满足方程组 ①② 将②式代入①式，整理得 （a2+b2）x2+2a2x+a2（1﹣b2）＝0，③ 设方程③的两个根分别为x1，x2，那么直线y＝x+1与椭圆的交点为P（x1，x1+1），Q（x2，x2+1）． 由题设OP⊥OQ，|PQ|＝，可得 整理得 ④⑤ 解这个方程组，得或， 根据根与系数的关系，由③式得 （Ⅰ）或（Ⅱ） 解方程组（Ⅰ），（Ⅱ），得或 故所求椭圆的方程为，或． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/5/17 15:34:09；用户：Damon；邮箱：13120434074；学号：24730468 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$