第二章 双曲线及其方程-高中数学选择必修第一册精选易错题练习（人教B版2019)

精选易错题练习—【第二章】 双曲线及其方程 一．选择题（共25小题） 1．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x，焦点与双曲线＝1的焦点相同，则双曲线C的方程为（　　） A．＝1 B．＝1 C．﹣＝1 D．＝1 2．已知点P为双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）一点（点P在第一象限），点F1，F2分别为双曲线的左，右焦点，△PF1F2的内切圆的半径为1．圆心为点I，若∠F1IF2＝π，|OI|＝，则双曲线的离心率为（　　） A． B． C． D． 3．已知双曲线C1：x2+与C2：x2﹣y2＝2共焦点，则C1的渐近线方程为（　　） A．x±y＝0 B． C． D． 4．已知双曲线的右焦点为F，过原点的直线l交双曲线C于A、B两点，且|BF|＝3|AF|，则双曲线C的离心率取值范围为（　　） A．（1，2] B．（1，3] C．（3，+∞） D．[2，+∞） 5．已知双曲线的中心在坐标原点，对称轴在坐标轴上，若其渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的离心率为（　　） A． B． C． D．或 6．设F1，F2是双曲线C：x2﹣＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为（　　） A． B．3 C． D．2 7．若双曲线﹣＝1的离心率等于，则该双曲线的渐近线方程为（　　） A．y＝±3x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±2x 8．已知双曲线C：（a＞0，b＞0），则“C的渐近线的方程为y＝±3x”是“C的方程为”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．已知有相同焦点F1、F2的椭圆+y2＝1（a＞1）和双曲线﹣y2＝1（m＞0），则椭圆与双曲线的离心率积的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 10．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的焦点为F1，F2，离心率为2，双曲线上横坐标为的点P满足PF1⊥PF2，则双曲线标准方程为（　　） A． B． C． D． 11．已知双曲线﹣＝1（a＞b＞0）的右顶点为M，以M为圆心作圆，圆M与直线bx﹣ay＝0交于A，B两点，若∠AMB＝60°，2＝3，则双曲线C的离心率为（　　） A． B． C． D． 12．已知P为双曲线C：上的任意一点，过P点作直线分别与双曲线的两条渐近线相交于A，B两点，若，则A，B两点的横坐标之积为（　　） A．2 B．4 C． D．9 13．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，实轴的两个端点分别为A1、A2，虚轴的两个端点分别为B1、B2．以坐标原点O为圆心，|B1B2|为直径的圆O（b＞a）与双曲线交于点M（位于第二象限），若过点M作圆的切线恰过左焦点F1，则双曲线的离心率是（　　） A． B．2 C． D． 14．过双曲线C：的右焦点F的直线l与C的两个交点分别位于第三象限与第四象限，若直线l的斜率为e﹣（其中e为C的离心率），则离心率e的取值范围是（　　） A．（，+∞） B．（，+∞） C．（1，） D．（1，2） 15．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，直线MN过F1且与双曲线左支交于M，N两点，若∠NMF2＝∠MF1F2，NF2＝2MF2，则该双曲线的离心率为（　　） A． B．2 C． D．4 16．已知实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，若等轴双曲线的顶点到渐近线的距离是，则该双曲线的焦点到渐近线的距离为（　　） A． B．3 C． D．2 17．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，点D在线段BF1上，且∠F1AD＝∠BAD，，则双曲线C的离心率为（　　） A． B． C．2 D． 18．已知双曲线C：﹣＝1，圆F1：（x+3）2+y2＝16．Q是双曲线C右支上的一个动点，以Q为圆心作圆Q与圆F1相外切，则以下命题正确的是（　　） A．⊙Q过双曲线C的右焦点 B．⊙Q过双曲线C的右顶点 C．⊙Q过双曲线C的左焦点 D．⊙Q过双曲线C的左顶点 19．双曲线C：＝1（a＞0，b＞0），F1，F2分别为其左，右焦点，其渐近线上一点G满足GF1⊥GF2，线段GF1与另一条渐近线的交点为H，H恰好为线段GF1的中点，则双曲线C的离心率为（　　） A． B．2 C．3 D．4 20．已知抛物线y2＝4x的准线与双曲线﹣y2＝1（a＞0）交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则双曲线的离心率是（　　） A． B． C． D． 21．某双曲线的一条渐近线方程为y＝x，且上焦点为（0，），则该双曲线的方程是（　　） A．＝1 B．＝1 C．＝1 D．＝1 22．已知双曲线的一条渐近线与直线l：4x﹣3y+10＝0垂直，且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝﹣40x的准线上，则双曲线的方程为（　　） A．﹣＝1 B．﹣＝1 C．﹣＝1 D．﹣＝1 23．已知双曲线﹣＝1（m＜0）的一条渐近线方程为y＝﹣x，则m的值为（　　） A．﹣4 B．3 C．﹣2 D．1 24．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点M，N均在双曲线C的右支上，其中点M在第一象限，M，N，F2三点共线，且，若∠MF1N＝∠MNF1，则双曲线C的渐近线方程为（　　） A． B．y＝±x C． D． 25．记双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点M在双曲线的渐近线上，且在第二象限，|OM|＝|OF2|（O为坐标原点），线段MF2的中点P满足|PF1|﹣|PF2|＝2a，则双曲线C的离心率为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共15小题） 26．过点（2，4）且与双曲线有相同渐近线的双曲线C'的方程为　 　． 27．若双曲线＝1的一条渐近线过点（2，1），则双曲线的离心率为　 　． 28．若P是双曲线﹣＝1上任一点，F1，F2是它的左、右焦点，且|PF1|＝9，则|PF2|＝　 　． 29．双曲线9x2﹣16y2＝1的焦距为　 　． 30．已知双曲线过点（﹣2，1），则其渐近线方程为 　 　． 31．设双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为y＝x，则C的离心率为　 　． 32．双曲线﹣＝1两条准线的距离为　 　． 33．已知A，B分别是双曲线C：＝1的左、右顶点，P（3，4）为C上一点，则△PAB的外接圆的标准方程为　 　． 34．已知矩形ABCD，AB＝12，BC＝5，以A，B为焦点，且过C，D两点的双曲线的离心率为　 　． 35．已知点F为双曲线C：﹣＝1的右焦点，则点F到双曲线C的一条渐近线的距离为 　 　． 36．已知直线l：2x+y﹣3＝0与双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的两支分别相交于P，Q两点，O为坐标原点，若•＝0，则+＝　 　． 37．双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过F1与C的左支和右支分别交于A，B两点，若x轴上存在点Q满足，∠QBF2＝∠ABF2，则C的渐近线方程为　 　． 38．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C的右支上，|OP|＝|OF2|（O为坐标原点）．若直线PF2与C的左支有交点，则C的离心率的取值范围为 　 　． 39．已知双曲线C1：的左、右焦点分别为F1，F2渐近线方程为x±3y＝0点A在圆C2：x2+y2＝16上，若且点B是双曲线C1右支上的点，则∠BF2F1的正切值为　 　． 40．焦点为F1（﹣2，0）和F2（6，0），离心率为2的双曲线的方程是　 　． 三．解答题（共10小题） 41．如图，已知梯形ABCD中|AB|＝2|CD|，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E 三点，且以A、B为焦点．求双曲线的离心率． 42．已知圆C的圆心与双曲线M：y2﹣x2＝的上焦点重合，直线3x+4y+1＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝4． （1）求圆C的标准方程； （2）O为坐标原点，D（﹣2，0），E（2，0）为x轴上的两点，若圆C内的动点P使得|PD|，|PO|，|PE|成等比数列，求•的取值范围． 43．双曲线的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，过双曲线右焦点且斜率为的直线交双曲线于P、Q两点．若OP⊥OQ，|PQ|＝4，求双曲线的方程． 44．设双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，渐近线分别为l1，l2，过F2作渐近线的垂线，垂足为P，且△OPF1的面积为． （1）求双曲线C的离心率； （2）动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点（A，B分别在第一、四象限），且△OAB的面积恒为8，是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线C，若存在，求出双曲线C的方程；若不存在，说明理由． 45．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：y2＝4x，曲线C2：（x﹣4）2+y2＝8．经过C1上一点P作一条倾斜角为45°的直线l，与C2交于两个不同的点Q，R，求|PQ|•|PR|的取值范围． 46．已知双曲线的左、右焦点分别为，，且该双曲线过点． （1）求C的方程； （2）如图，过双曲线左支内一点T（t，0）作两条互相垂直的直线分别与双曲线相交于点A，B和点C，D，当直线AB，CD均不平行于坐标轴时，直线AC，BD分别与直线x＝t相交于P，Q两点，证明：P，Q两点关于x轴对称． 47．已知双曲线Γ：（a＞0，b＞0）过点P（，），且Γ的渐近线方程为． （1）求Γ的方程； （2）如图，过原点O作互相垂直的直线l1，l2分别交双曲线于A，B两点和C，D两点，A，D在x轴同侧．请从①②两个问题中任选一个作答，如果多选，则按所选的第一个计分． ①求四边形ACBD面积的取值范围； ②设直线AD与两渐近线分别交于M，N两点，是否存在直线AD使M，N为线段AD的三等分点，若存在，求出直线AD的方程；若不存在，请说明理由． 48．已知方程表示双曲线，求λ的范围． 49．已知双曲线的离心率为，且该双曲线经过点． （1）求双曲线C的方程； （2）设斜率分别为k1，k2的两条直线l1，l2均经过点Q（2，1），且直线l1，l2与双曲线C分别交于A，B两点（A，B异于点Q），若k1+k2＝1，试判断直线AB是否经过定点，若存在定点，求出该定点坐标；若不存在，说明理由． 50．求两条渐近线为x±2y＝0且截直线x﹣y﹣3＝0所得弦长为的双曲线方程． 精选易错题练习—【第二章】 双曲线及其方程 参考答案与试题解析 一．选择题（共25小题） 1．【答案】D 【分析】求出已知双曲线的焦点坐标，利用所求双曲线的离心率，求解a，b，得到双曲线方程． 【解答】解：双曲线＝1的焦点（±5，0）， 双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的焦点（±5，0），c＝5， 双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x， 所以＝，c2＝a2+b2，解得a2＝20，b2＝5， ∴双曲线C的方程为：＝1． 故选：D． 2．【答案】B 【分析】根据内切圆的性质及双曲线的定义可得切点M（a，0），利用圆的半径求出a，得出圆心，由两角和的正切公式建立方程，求出离心率即可． 【解答】解：设△PF1F2的内切圆与F1F2，PF1，PF2、相切的切点分别为M，N，Q， 所以|F1M|＝|F1N|，|F2M|＝|F2Q|，|PN|＝|PQ|， 所以|F1M|﹣|F2M|＝|F1N|﹣|F2Q|＝（|F1N|+|PN|）﹣（|F2Q|+|PQ|）＝|PF1|﹣|PF2|＝2a， 又因为|F1M|+|F2M|＝2c，所以|F1M|＝a+c，|F2M|＝c﹣a， 即M（a，0），所以， 所以， 所以tan∠F1IF2＝tan（∠F1IM+∠F2IM）＝﹣1， 所以， ∴c2﹣2c﹣3＝0，c＝3或c＝﹣1（舍）， ∴， 故选：B． 3．【答案】D 【分析】由双曲线的性质，结合双曲线渐近线方程的求法求解． 【解答】解：已知双曲线C1：x2+与C2：x2﹣y2＝2共焦点， 则， 即m＝﹣3， 即双曲线C1的方程为， 则C1的渐近线方程为． 故选：D． 4．【答案】A 【分析】由双曲线的对称性，连接A，B与右焦点F的连线，可得AFBF1是平行四边形，对应边平行且相等，3|AF|＝|BF|，推出|BF|﹣|BF1|＝3|AF|﹣|AF|＝2|AF|＝2a，然后结合三角形的边长关系，求和双曲线的离心率的范围． 【解答】解：设双曲线的左焦点为F1，根据对称性知AFBF1是平行四边形，所以有|AF|＝|BF1|， 又点B在双曲线上，所以|BF|﹣|BF1|＝2a 因为|BF|＝3|AF|，所以|BF|﹣|BF1|＝3|AF|﹣|AF|＝2|AF|＝2a，即|BF|＝3a，|BF1|＝a， 而在三角形BFF1中，|BF|+|BF1|＝4a≥2c，|BF|﹣|BF1|＝2a＜2c， 所以双曲线的离心率e∈（1，2]， 故选：A． 5．【答案】D 【分析】由渐近线方程可设双曲线的方程为4x2﹣y2＝m（m≠0），再讨论m＞0，m＜0，运用离心率公式计算即可得到． 【解答】解：由于一条渐近线方程为y＝±x， 可设双曲线的方程为16x2﹣9y2＝m（m≠0）， 当m＞0时，双曲线的离心率e＝＝； 当m＜0时，双曲线的离心率e＝＝． 故选：D． 6．【答案】B 【分析】先判断△PF1F2为直角三角形，再根据双曲线的定义和直角三角形的性质即可求出． 【解答】解：由题意可得a＝1，b＝，c＝2， ∴|F1F2|＝2c＝4， ∵|OP|＝2， ∴|OP|＝|F1F2|， ∴△PF1F2为直角三角形， ∴PF1⊥PF2， ∴|PF1|2+|PF2|2＝4c2＝16， ∵||PF1|﹣|PF2||＝2a＝2， ∴|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|•|PF2|＝4， ∴|PF1|•|PF2|＝6， ∴△PF1F2的面积为S＝|PF1|•|PF2|＝3， 故选：B． 7．【答案】C 【分析】利用双曲线的离心率推出a，b的关系，即可得到双曲线的渐近线方程． 【解答】解：双曲线﹣＝1的离心率等于，可得＝，可得＝， 所以双曲线的渐近线方程为：y＝． 故选：C． 8．【答案】B 【分析】利用双曲线的渐近线方程与双曲线方程的关系，判断充要条件即可． 【解答】解：C的方程为的渐近线的方程为y＝±3x，反之不成立， 所以“C的渐近线的方程为y＝±3x”是“C的方程为”的必要不充分条件， 故选：B． 9．【答案】A 【分析】利用椭圆以及双曲线的焦点相同，得到am关系，然后求解离心率乘积，推出最小值即可． 【解答】解：椭圆+y2＝1（a＞1）和双曲线﹣y2＝1（m＞0）的焦点相同，可得a﹣1＝m+1， 设椭圆与双曲线交点为P（不妨设P在第一象限），设|PF1|＝s，|PF2|＝t， 由题意，可得，可得：， 在△F1PF2中，由余弦定理可得：cos∠F1PF2＝＝＝0， ∴∠F1PF2＝90°， c2＝， 椭圆与双曲线的离心率积：e1•e2＝＝＝≥＝1，当且仅当a＝m时，取等号． 故选：A． 10．【答案】B 【分析】求出P的坐标，利用已知条件列出方程组，求解a，b，即可得到结果． 【解答】解：双曲线＝1（a＞0，b＞0）的焦点为F1，F2，双曲线上横坐标为的点P， 可得P（，±） 满足PF1⊥PF2， 所以＝c＝，…① 离心率为2，可得4a2＝c2＝a2+b2，…② 解①②得a2＝1，b2＝3， 则双曲线标准方程为：． 故选：B． 11．【答案】B 【分析】由题意画出图形，由已知求解三角形可得，由，结合勾股定理得，解得，再由M（a，0）到bx﹣ay＝0的距离列式并整理，可得4b2＝3a2，则双曲线C的离心率可求． 【解答】解：∵∠AMB＝60°，AM＝BM，∴△AMB为正三角形， 记圆M的半径为r，则圆心M到直线A，B的距离， 由，得，故； ∵，由勾股定理得，，解得， 点M（a，0）到bx﹣ay＝0的距离为， 化简可得4b2＝3a2， ∴． 故选：B． 12．【答案】C 【分析】求出双曲线渐近线方程为，设P（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），通过，以及点P在双曲线上，推出A，B两点的横坐标之积即可． 【解答】解：依题意可得双曲线渐近线方程为， 设P（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2）， 因为，所以有， 即，又， 所以，所以， 因为点P在双曲线上，所以， 解得， 故选：C． 13．【答案】A 【分析】设M的坐标，由M在圆O和在椭圆上可得M的坐标，再由因为F1M与圆O相切，所以＝0，可得方程，进而求出椭圆的离心率． 【解答】解：设M（x，y），由题意可得x2+y2＝b2，又M在双曲线上，M在第二象限，所以﹣＝1，两式联立求出x＝﹣，y＝， 所以＝（c﹣，），＝（﹣，），因为F1M与圆O相切，所以＝0， 即（c﹣）•（﹣）+（）2＝0，即﹣ab++＝0， 所以＝+＝＝b2， 所以b＝a，b2＝2a2，即c2﹣a2＝2a2， 即c2＝3a2解得：e＝ 故选：A． 14．【答案】B 【分析】先确定双曲线的渐近线的斜率，可得0＜e﹣＜，即可得出结论． 【解答】解：由题意双曲线C：的离心率为e，过右焦点且斜率为e﹣的直线与双曲线两个交点分别位于第三象限和第四象限，0＜e﹣＜，可得（e）2＜＝e2﹣1， ∴e＞，由b＞a＞0，可得e＝＝． 故选：B． 15．【答案】B 【分析】用a，b，c表示出MF1，MF2，NF1，NF2，利用余弦定理计算cos∠F2F1M和cos∠F2F1N，由∠∠F2F1M+∠F2F1N＝π，计算出离心率e． 【解答】解：∵∠NMF2＝∠MF1F2，∴|MF2|＝|F1F2|＝2c， 由双曲线的定义，可得|MF1|＝|MF2|﹣2a＝2c﹣2a， 由NF2＝2MF2，得|NF2|＝4c，|NF1|＝4c﹣2a， 在△MF1F2中，由余弦定理，可得cos∠F2F1M＝． 在△NF1F2中，由余弦定理，可得cos∠F2F1N＝＝， ∵∠F2F1M+∠F2F1N＝π，∴cos∠F2F1M+cos∠F2F1N＝0， 即+＝0，整理，得2a2+3c2﹣7ac＝0， 设双曲线的离心率为e，则3e2﹣7e+2＝0， 解得e＝2或（舍）． 故选：B． 16．【答案】D 【分析】利用等轴双曲线的顶点到渐近线的距离为，求出双曲线的焦点坐标，再求出该双曲线的焦点到渐近线的距离． 【解答】解：不妨设双曲线方程为x2﹣y2＝λ，渐近线方程x±y＝0， ∵等轴双曲线的顶点到渐近线的距离为， ∴＝， ∴λ＝20，c＝＝2． ∴双曲线的焦点为（±2，0）， ∴该双曲线的焦点到渐近线的距离为＝2． 故选：D． 17．【答案】B 【分析】根据题意，判断△AF1B的形状，结合双曲线定义，求得，利用离心率公式即可求得结果． 【解答】解：根据题意，作图如下： 因为，故可得， 故可得AF1∥DF2，且，故D，F2分别为F1B，AB的中点； 又∠F1AD＝∠BAD，故可得AD既是三角形AF1B的中线又是角平分线， 故可得|AF1|＝|AB|；又F2为AB中点，由对称性可知：AB垂直于x轴． 故△AF1B为等边三角形，则∠AF1F2＝30°； 令x＝c，可得，解得，故可得， 则，由双曲线定义可得：|AF1|﹣|AF2|＝2a， 即，解得，则离心率为． 故选：B． 18．【答案】A 【分析】根据两圆外切得到QF1＝4+r；再结合双曲线的定义即可求解结论． 【解答】解：如图； 因为以Q为圆心作圆Q与圆F1相外切， ∴QF1＝4+r； ∵QF1﹣QF2＝2a⇒QF1＝2a+QF2＝4+QF2； ∴r＝QF2； 故圆Q过双曲线C的右焦点； 故选：A． 19．【答案】B 【分析】根据题意得到双曲线的渐近线方程为，焦点坐标为F1（﹣c，0），F2（c，0）；不妨令G在渐近线上，则H在y＝﹣x上，设G（x，x），根据题意求出G点坐标，再得到H的坐标，将H坐标代入直线y＝﹣，即可得出结果． 【解答】解：由题意得双曲线C：＝1（a＞0，b＞0），的渐近线方程为， 焦点坐标为F1（﹣c，0），F2（c，0）；不妨令G在渐近线上，则H在y＝﹣x上，设G（x，x）， 由GF1⊥GF2，得，即，解得x＝a，所以G（a，b）， 又H恰好为线段GF1的中点，所以H（，），因H在y＝﹣x上， 所以，因此c＝2a，故离心率为2． 故选：B． 20．【答案】D 【分析】先根据抛物线方程求得准线方程，代入双曲线方程求得y，根据双曲线的对称性可知△FAB为等腰直角三角形，进而可求得A或B的纵坐标为2，进而求得a，利用a，b和c的关系求得c，则双曲线的离心率可得． 【解答】解：依题意知抛物线的准线x＝﹣1．代入双曲线方程得 y＝±． 不妨设A（﹣1，）， ∵△FAB是等腰直角三角形， ∴＝2， 解得：a＝， ∴c2＝a2+b2＝+1＝， ∴e＝＝． 故选：D． 21．【答案】D 【分析】设出双曲线方程，通过焦点坐标，求解即可． 【解答】解：设双曲线方程为，λ＞0，上焦点为（0，）， 可得9λ+4λ＝26，解得λ＝2，所以双曲线方程为：＝1． 故选：D． 22．【答案】C 【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程为x＝10，可得双曲线的左焦点为（10，0），再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程垂直于直线l：4x﹣3y+10＝0，得a、b的另一个方程，求出a、b，即可得到双曲线的标准方程． 【解答】解：因为抛物线y2＝﹣40x的准线方程为x＝10，所以由题意知，点F（10，0）是双曲线的右焦点， 所以a2+b2＝c2＝100，① 又双曲线的一条渐近线与直线l：4x﹣3y+10＝0垂直，所以，② 由①②解得a2＝64，b2＝36， 所以双曲线的方程为：﹣＝1． 故选：C． 23．【答案】A 【分析】求出双曲线的渐近线方程，即可求出m的值． 【解答】解：双曲线﹣＝1（m＜0）的一条渐近线方程为y＝﹣x， 所以＝，解得m＝﹣4． 故选：A． 24．【答案】C 【分析】由题意可知|MF1|＝|MN|，结合双曲线的定义可得|NF2|＝2a，|NF1|＝4a，由可得cos∠F1F2N＝，在△F1F2N中利用余弦定理即可求出结果． 【解答】解：∵∠MF1N＝∠MNF1，∴|MF1|＝|MN|， 由双曲线的性质可知|MF1|﹣|MF2|＝2a， ∴|MN|﹣|MF2|＝2a，即|NF2|＝2a， ∴|NF1|＝|NF2|+2a＝4a， ∵，∴cos∠F1F2N＝， 在△F1F2N中，|F1F2|＝2c，|NF2|＝2a，|NF1|＝4a， 由余弦定理可得cos∠F1F2N＝＝＝， 化简得2c2﹣6a2﹣ac＝0， 两边同时除以a2得，2e2﹣6﹣e＝0， 解得e＝2或﹣（舍去）， ∴，即c＝2a， 两边平方得c2＝4a2＝a2+b2， ∴3a2＝b2，∴， ∴双曲线C的渐近线方程为y＝， 故选：C． 25．【答案】A 【分析】由|OM|＝|OF2|＝c可得，M（﹣a，b），．由|PF1|﹣|PF2|＝2a知，点P在双曲线C的右支上，可得，即可求解． 【解答】解：由|OM|＝|OF2|＝c可得，M（﹣a，b），则．由|PF1|﹣|PF2|＝2a知，点P在双曲线C的右支上，所以，解得（负值舍去），故． 故选：A． 二．填空题（共15小题） 26．【答案】见试题解答内容 【分析】设双曲线C'的方程为，将（2，4）代入可得λ＝1﹣2＝﹣1，即可． 【解答】解：设双曲线C'的方程为，将（2，4）代入可得λ＝1﹣2＝﹣1， 所以双曲线C'的方程为． 故答案为： 27．【答案】见试题解答内容 【分析】利用双曲线的渐近线方程，代入点的坐标，然后求解双曲线的离心率即可． 【解答】解：双曲线＝1的一条渐近线过点（2，1），可得a＝2b， 即：a2＝4b2＝4c2﹣4a2，e＞1，解得e＝． 故答案为：； 28．【答案】17 【分析】由双曲线的方程可得a，b的值，进而求出c的值，由焦点到另一支的最小距离为a+c可得P在左支上，再由双曲线的定义可得|PF2|的值． 【解答】解：由双曲线的方程可得a＝4，b＝9，所以c＝， 因为|PF1|＝9＜a+c，所以P在双曲线的左支上， 所以由双曲线的定义可得|PF2|＝2a+|PF1|＝2×4+9＝17， 故答案为：17． 29．【答案】见试题解答内容 【分析】双曲线9x2﹣16y2＝1，即为﹣＝1，求得a，b，c，可得焦距2c． 【解答】解：双曲线9x2﹣16y2＝1， 即为﹣＝1， 可得a＝，b＝， c＝＝， 则双曲线的焦距为2c＝． 故答案为：． 30．【答案】x±y＝0． 【分析】由双曲线经过（﹣2，1）可求得a，从而即得渐近线方程． 【解答】解：因为双曲线过点（﹣2，1）， 即有，解得或（舍），而， 故渐近线方程，即x±y＝0． 故答案为：x±y＝0． 31．【答案】见试题解答内容 【分析】由双曲线的方程求出渐近线的方程，再由题意求出a，b的关系，再由离心率的公式及a，b，c之间的关系求出双曲线的离心率． 【解答】解：由双曲线的方程可得渐近线的方程为：y＝±x， 由题意可得＝，所以离心率e＝＝＝， 故答案为：． 32．【答案】见试题解答内容 【分析】求得双曲线的a，b，c，可得双曲线的准线方程为x＝±，可得所求距离． 【解答】解：双曲线﹣＝1的a＝，b＝， 可得c＝＝3， 则双曲线的准线方程为x＝±， 即x＝±， 则两条准线的距离为， 故答案为：． 33．【答案】见试题解答内容 【分析】求出m，推出AB坐标，设出圆心，然后求解即可得到圆的方程． 【解答】解：P（3，4）为C上的一点， 所以，解得m＝1， 所以A（﹣1，0）B（1，0）， 设△PAB的外接圆的圆心（0，b）， 则1+b2＝32+（b﹣4）2，解得b＝3， 则△PAB的外接圆的标准方程为x2+（y﹣3）2＝10． 故答案为：x2+（y﹣3）2＝10． 34．【答案】见试题解答内容 【分析】由题意可得点A，B，C的坐标，设出双曲线的标准方程，根据题意知2a＝AC﹣BC，求得a，进而求得c，则双曲线的离心率可得． 【解答】解：由题意可得点OA＝OB＝6，AC＝13 设双曲线的标准方程是 ． 则2c＝12，c＝6， 则2a＝AC﹣BC＝13﹣5＝8， 所以a＝4． 所以双曲线的离心率为：e＝＝． 故答案为：． 35．【答案】． 【分析】求出双曲线的一条渐近线方程，运用点到直线的距离公式计算即可得到． 【解答】解：双曲线C：﹣＝1的a2＝5，b2＝3，c＝＝2， 则可设F（2，0）， 设双曲线的一条渐近线方程为x﹣y＝0， 则F到渐近线的距离为d＝＝， 故答案为：． 36．【答案】见试题解答内容 【分析】作出对应的图象，根据条件得到△OPQ是直角三角形，结合点到直线的距离以及直角三角形的边角关系以及勾股定理进行转化求解即可． 【解答】解：作出对应的图象， 若•＝0，则OP⊥OQ， 即△OPQ是直角三角形， 原点O到直线的距离d＝OM＝＝， 且|OP|2+|OQ|2＝|PQ|2， ∵|PQ||OM|＝|OP||OQ|， ∴+＝＝＝＝＝， 故答案为：． 37．【答案】y＝±x． 【分析】由向量共线定理和三角形的相似的判定和性质，可得|F2Q|＝4c，设|AF2|＝m，则|BQ|＝3m，运用角平分线的性质定理，以及双曲线的定义，推得△ABF2是等边三角形，再由三角形的余弦定理，化简整理，可得a，c的关系，进而得到a，b的关系，求得渐近线方程． 【解答】解：如图所示，由题意可得|F1F2|＝2c， 因为＝，所以△F1AF2∽△F1BQ， 所以|F2Q|＝4c，设|AF2|＝m，则|BQ|＝3m， 由角平分线的性质定理可得，因为BF2平分∠F1BQ， 所以＝＝＝， 所以|BF1|＝，|AF1|＝|BF1|＝，|AB|＝|BF1|＝m， 由双曲线的定义可得|AF2|﹣|AF1|＝2a，所以m﹣＝2a，即m＝4a，①， |BF1|﹣|BF2|＝2a，所以|BF2|＝﹣2a＝m， 所以|BF2|＝|AB|＝|AF2|＝m，即△ABF2是等边三角形， 所以∠F2BQ＝∠ABF2＝60°， 在△F2BQ中，cos∠F2BQ＝＝＝， 化简可得7m2＝16c2，② 由①②可得＝7，所以＝＝6， 所以双曲线的渐近线方程为y＝±x． 故答案为：y＝±x． 38．【答案】（，+∞）． 【分析】由题意可得∠F1PF2＝90°，考虑直线PF2与C过第二、四象限的渐近线平行时，求得a，b的关系b＝2a，再由离心率公式可得e，进而得到所求范围． 【解答】解：如图所示，连接PF1，因为|OP|＝|OF2|＝c，所以|OP|＝|F1F2|，所以∠F1PF2＝90°， 当直线PF2与C过第二、四象限的渐近线平行时为临界状态，此时tan∠PF2F1＝， cos∠PF2F1＝， 又在直角三角形F1PF2中，cos∠PF2F1＝，所以|PF2|＝2a，|PF1|＝2b， 由双曲线的定义可得|PF1|＝|PF2|+2a，即2b＝4a，即b＝2a， 所以e＝＝＝，所以当直线PF2与C的左支有交点时，即e＞， 所以C的离心率的取值范围是（，+∞）． 故答案为：（，+∞）． 39．【答案】． 【分析】求出m，得到F1（﹣4，0），F2（4，0），通过，说明点A为线段F1B的中点，说明A在圆上且F1F2为圆的直径，故F1A⊥F2A，通过双曲线的定义，结合三角形求解即可． 【解答】解：依题意双曲线C1：的左、右焦点分别为F1，F2渐近线方程为x±3y＝0，m＝7， 故F1（﹣4，0），F2（4，0），而， 故点A为线段F1B的中点，而点F1，F2，A在圆上且F1F2为圆的直径，故F1A⊥F2A， 故|BF2|＝2c＝8，而|BF1|﹣|BF2|＝6， 故F1A＝7，故在直角三角形F1AF2中，，． 故答案为：． 40．【答案】见试题解答内容 【分析】先由已知条件求出a，b，c的值，然后根据函数的平移求出双曲线的方程． 【解答】解：∵双曲线的焦点为F1（﹣2，0）和F2（6，0），离心率为2， ∴2c＝6﹣（﹣2）＝8，c＝4，，b2＝16﹣4＝12， ∴双曲线的方程是． 故答案为：． 三．解答题（共10小题） 41．【答案】见试题解答内容 【分析】以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOy，设出A、B、C的坐标，利用点E分有向线段所成的比为，|AB|＝2|CD|，求出E的坐标，结合双曲线方程，求出关于e的表达式，即可得到e的值． 【解答】解：如图，以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOy，则CD⊥y轴． 因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称．（2分） 依题意，记A（﹣c，0），C（，h），B（c，0）， 其中c为双曲线的半焦距，c＝|AB|，h是梯形的高． 由定比分点坐标公式，得点E的坐标为，．（5分） 设双曲线的方程为，则离心率． 由点C、E在双曲线上， 得（10分） 解得，化简可得， 所以，离心率（14分） 42．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）求出双曲线的标准方程求出焦点坐标，利用直线和圆相交的弦长公式进行求解即可． （2）根据|PD|，|PO|，|PE|成等比数列，建立方程关系，结合向量数量积的坐标进行化简求解即可． 【解答】解：（1）双曲线的标准方程为＝1，则c＝＝1， 即双曲线的上焦点C（0，1）， 圆心C到直线3x+4y+1＝0的距离d＝， 则半径r＝． 故圆C的标准方程为x2+（y﹣1）2＝5． （2）设P（x，y），∵|PD|，|PO|，|PE|成等比数列， ∴•＝x2+y2， 整理得x2﹣y2＝2， 故•＝（﹣2﹣x，﹣y）•（2﹣x，﹣y）＝x2﹣4+y2＝2（y2﹣1）， 由于P在圆C内，则， 得y2﹣y﹣1＜0，得＜y＜， 则0≤y2＜（）2＝， ∴2（y2﹣1）∈[﹣2，1+）， 则•的取值范围是[﹣2，1+）． 43．【答案】见试题解答内容 【分析】先由题意设出双曲线的标准方程及直线的点斜式方程，然后联立方程组消去y得x的方程，再根据二次项系数是否为零进行讨论．若5b2﹣3a2＝0，可推出矛盾；若5b2﹣3a2≠0，设其两根为x1，x2，则由根与系数的关系可利用a、b、c表示出x1+x2及x1x2，进一步由OP⊥OQ即斜率乘积为﹣1得a、b、c的等式，又|PQ|＝4得a、b、c的另一等式，且c2＝a2+b2，最后解a、b、c的方程组即可． 【解答】解：设双曲线的方程为＝1． 依题意知，点P，Q的坐标满足方程组 整理得（5b2﹣3a2）x2+6a2cx﹣（3a2c2+5a2b2）＝0 ①． 若5b2﹣3a2＝0，则＝，即直线与双曲线的两条渐近线中的一条平行，故与双曲线只能有一个交点同，与题设矛盾，所以5b2﹣3a2≠0． 设方程①的两个根为x1，x2，则有 x1+x2＝﹣②，③， 由于P、Q在直线y＝（x﹣c）上，可记为 P（x1，（x1﹣c）），Q（x2，（x2﹣c））． 由OP⊥OQ得•＝﹣1， 整理得3c（x1+x2）﹣8x1x2﹣3c2＝0 ④． 将②，③式及c2＝a2+b2代入④式，并整理得 3a4+8a2b2﹣3b4＝0，即（a2+3b2）（3a2﹣b2）＝0． 因为a2+3b2≠0，解得b2＝3a2， 所以c＝＝2a． 由|PQ|＝4，得（x2﹣x1）2+[（x2﹣c）﹣（x1﹣c）]2＝42． 整理得（x1+x2）2﹣4x1x2﹣10＝0 ⑤． 将②，③式及b2＝3a2，c＝2a代入⑤式，解得a2＝1． 将a2＝1代入b2＝3a2得b2＝3． 故所求双曲线方程为x2﹣＝1． 44．【答案】（1）双曲线C的离心率， （2）存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线，双曲线C的方程为． 【分析】（1）由△OPF1的面积为，可得a，b的比值，再求离心率即可， （2）先求得A，B的坐标，及△OAB的面积恒为8，得直线l的方程，再联立双曲线的方程，得Δ＝0，即可求得双曲线的方程． 【解答】解：（1）由双曲线性质知，由PF2＝b，OP＝a， 得， 解得， 所以双曲线C的离心率． （2）由 （1）得渐近线l1：y＝2x，l2：y＝﹣2x，设双曲线得方程为， 依题意得直线l的斜率不为零，因此设直线l的方程为， 设直线l交x轴于点C（t，0），A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立 得， 同理得． 由△OAB的面积， 得， 即t2＝4|1﹣4m2|＝4（1﹣4m2）＞0， 联立 得（4m2﹣1）y2+8mty+4（t2﹣a2）＝0， 因为4m2﹣1＜0，所以，直线l与双曲线只有一个公共点当且仅当Δ＝0， 即Δ＝64m2t2﹣16（4m2﹣1）（t2﹣a2）＝0，将（1）式代入可得a2＝4， 因此双曲线的方程为， 因此，存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线，双曲线C的方程为． 45．【答案】[4，8）∪（8，200）， 【分析】设P（t2，2t），则直线l的方程为y＝x+2t﹣t2，代入曲线C2的方程得2x2﹣2（t2﹣2t+4）x+（t2﹣2t）2+8＝0，可得＝﹣t（t﹣2）（t+2）（t﹣4），可得t∈（﹣2，0）∪（2，4），设Q，R的横坐标分别为x1，x2，可知x1+x2＝t2﹣2t+4，x1x2＝[（t2﹣2t）2+8]，进而表法出|PQ|•|PR|进而可得结论． 【解答】解：设P（t2，2t），则直线l的方程为y＝x+2t﹣t2，代入曲线C2的方程得， （x﹣4）2+（x+2t﹣t2）＝8， 化简可得2x2﹣2（t2﹣2t+4）x+（t2﹣2t）2+8＝0，① 由于l与C2交于两个不同的点，故关于x的方程的判别式△为正，计算得， ＝（t2﹣2t）2﹣8（t2﹣2t）+16﹣2（t2﹣2t）2﹣16 ＝﹣（t2﹣2t）2+8（t2﹣2t）＝﹣（t2﹣2t）（t2﹣2t﹣8）＝﹣t（t﹣2）（t+2）（t﹣4）， 因此有t∈（﹣2，0）∪（2，4）②， 设Q，R的横坐标分别为x1，x2，由①知， x1+x2＝t2﹣2t+4，x1x2＝[（t2﹣2t）2+8]， 因此，结合l的倾斜角为45°可知 |PQ|•|PR|＝＝2 ＝（t2﹣2t）2+8﹣2t2（t2﹣2t+4）+2t4 ＝t4﹣4t3+4t2+8﹣2t4+4t3﹣8t2+2t4 ＝t4﹣4t2+8＝（t2﹣2）2+4 ③， 由②可知t2﹣2∈（﹣2，2）∪（2，14），故（t2﹣2）2∈[0，4）∪（4，196）， 从而由③得|PQ|•|PR|＝（t2﹣2）2+4∈[4，8）∪（8，200）， 注1：利用C2的圆心到l的距离小于C2的半径，列出不等式＜2，同样可求得②中t的范围， 注2：更简便的计算|PQ|•|PR|的方式是利用圆幂定理，事实上，的圆以为M（4，0），半径r＝2， 故|PQ|•|PR|＝|PM|2﹣r2＝（t2﹣4）2+（2t）2﹣＝t4﹣4t2+8． 46．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据已知条件，建立关于a，b的方程组，求解方程组即可得答案； （2）由题意，设直线AB的方程为x＝my+t，直线CD的方程为，点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），联立，由韦达定理可得，同理可得，由直线AC的方程，可得，同理可得，然后计算yP+yQ＝0即可得证． 【解答】解：（1）由已知得， 解得a2＝4，b2＝2， 所以C的方程为； 证明：（2）设直线AB的方程为x＝my+t，直线CD的方程为， 点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）， 由，得（m2﹣2）y2+2mty+t2﹣4＝0， 则Δ＝（2mt）2﹣4（m2﹣2）（t2﹣4）＝16m2+8t2﹣32＞0，得2m2+t2＞4， 所以，， 同理可得，， m，t满足， 直线AC的方程为， 令x＝t，得， 又x1＝my1+t，， 所以，即， 同理可得， 因为 ＝， 所以P，Q两点关于x轴对称． 47．【答案】（1）x2﹣＝1． （2）若选①，[6，+∞）． 若选②，直线AD不存在，理由见解答． 【分析】（1）根据双曲线的渐近线方差即可求解a，b的值，从而可得双曲线的方程； （2）若选①，设l1：y＝kx，l2：y＝﹣x，联立直线方程和双曲线方程后可求四边形面积平方的表达式，从而可求其取值范围． 若选②，设直线AD的方程为y＝kx+m，A（x1，y1），D（x2，y2），联立，由韦达定理及弦长公式可求得|AD|，求出M，N的坐标，利用两点间的距离公式可求出|MN|，由|AD|＝3|MN|，可得关于m，k的等式，由⊥，结合数量积的坐标运算可得另一个关于m，k的等式，两式联立即可得结论． 【解答】解：（1）因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，故＝，又﹣＝1， 解得a＝1，b＝，故双曲线的方程为x2﹣＝1． （2）若选①， 由题设可知直线l1，l2的斜率均存在且均不为零，设l1：y＝kx，l2：y＝﹣x， 由，可得＝，其中﹣＜k＜， 同理＝，其中﹣＜﹣＜，故﹣＜k＜﹣或＜k＜， 故|AB|2＝12（1+k2）＝，同理|CD|2＝＝， 故四边形ACBD面积S满足： S2＝××＝36×＝36×＝36×， 令y＝k+， 由对勾函数的性质可得y＝k+在（﹣，﹣1），（1，）上单调递增，在（﹣1，﹣），（，1）上单调递减， 故当﹣＜k＜﹣或＜k＜时，2≤k+＜或﹣＜k+≤﹣2， 所以4≤（k+）2＜，故S2≥36，S≥6， 则四边形ACBD面积的取值范围是[6，+∞）． 若选②，假设满足题意的直线AD存在， 易知直线AD的斜率存在，设直线AD的方程为y＝kx+m，A（x1，y1），D（x2，y2）， 联立，整理得（3﹣k2）x2﹣2kmx﹣m2﹣3＝0， 3﹣k2≠0且Δ＝4k2m2+4（m2+3）（3﹣k2）＞0，解得k2≠3且k2＜m2+3， 由韦达定理有x1+x2＝，x1x2＝， |AD|＝＝＝， 不妨设M为直线AD与渐近线y＝x的交点， 联立，解得，所以M点的坐标为（，）， 同理可得N点的坐标为（，）， |MN|＝， M，N为线段AD的三等分点，|AD|＝3|MN|， 即 ＝3， 整理得k2+8m2﹣3＝0，① 因为AB⊥CD，所以⊥，•＝0，x1x2+y1y2＝0， x1x2+y1y2＝x1x2+（kx1+m）（kx2+m）＝（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2＝（1+k2）+km+m2＝0， 整理得﹣3k2+2m2﹣3＝0，② 联立①②得k2＝﹣，无解， 故没有满足条件的直线AD． 48．【答案】见试题解答内容 【分析】根据双曲线定义可知，要使方程表示双曲线2+λ和1+λ同号，进而求得λ的范围． 【解答】解：依题意可知（2+λ）（1+λ）＞0，求得λ＜﹣2或λ＞﹣1； 故λ的范围为λ＜﹣2或λ＞﹣1． 49．【答案】（1）双曲线C的方程为； （2）直线AB过定点（0，1），过程见解析． 【分析】（1）由离心率及隐含条件可得c2＝3b2，a2＝2b2，得到双曲线方程为．把点P的坐标代入求解b，即可得到双曲线C的方程； （2）当直线AB的斜率不存在时，点A，B关于x轴对称，A（x0，y0），B（x0，﹣y0），由k1+k2＝1，得x0＝0，不符合题意，故直线AB的斜率存在．不妨设直线AB的方程为y＝kx+t，代入双曲线方程，化为关于x的一元二次方程，利用k1+k2＝1及根与系数的关系可得t＝1或t＝1﹣2k．再把t代入直线AB的方程，即可得到直线AB过定点． 【解答】解：（1）由离心率为，且c2＝a2+b2，得c2＝3b2，a2＝2b2， 即双曲线方程为． 又点在双曲线C上，∴， 解得b2＝1，a2＝2， ∴双曲线C的方程为； （2）当直线AB的斜率不存在时，点A，B关于x轴对称， 设A（x0，y0），B（x0，﹣y0）， 则由k1+k2＝1，得， 即，解得x0＝0，不符合题意，故直线AB的斜率存在． 不妨设直线AB的方程为y＝kx+t，代入， 整理得（2k2﹣1）x2+4ktx+2t2+2＝0（2k2﹣1≠0），Δ＞0． 设A（x1，y1），B（x2，y2），则， 由k1+k2＝1，得，即， 整理得（2k﹣1）x1x2+（t﹣2k+1）（x1+x2）﹣4t＝0， ∴， 整理得：t2+（2k﹣2）t﹣1+2k＝0，即（t﹣1）（t+2k﹣1）＝0， ∴t＝1或t＝1﹣2k． 当t＝1时，直线AB的方程为y＝kx+1，经过定点（0，1）； 当t＝1﹣2k时，直线AB的方程为y＝k（x﹣2）+1，经过定点Q（2，1），不符合题意． 综上，直线AB过定点（0，1）． 50．【答案】见试题解答内容 【分析】先假设双曲线方程，再将直线代入双曲线方程，进而借助于弦长公式，即可求得双曲线方程 【解答】解：设所求双曲线的方程为x2﹣4y2＝k（k≠0）， 将y＝x﹣3代入双曲线方程得3x2﹣24x+k+36＝0， 由韦达定理得x1+x2＝8，x1x2＝+12， 由弦长公式得|x1﹣x2|＝•＝， 解得k＝4， 故所求双曲线的方程为﹣y2＝1． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/5/17 15:34:40；用户：Damon；邮箱：13120434074；学号：24730468 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$