第十章 复数的运算-高中数学必修第四册精选易错题练习（人教B版2019)

精选易错题练习—【第十章】 复数的运算 一．选择题（共25小题） 1．已知z＝﹣1+2i，则复数z在复平面内对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．若复数z满足z（1+2i）＝5，其中i为虚数单位，则复数z的虚部为（　　） A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．1 3．复数z＝（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．设复数z的共轭复数满足，则|z|等于（　　） A．1 B． C． D． 5．若z＝5﹣2i（i是虚数单位），则z2﹣4＝（　　） A．1﹣12i B．1﹣28i C．﹣1﹣12i D．﹣1+28i 6．若复数z＝（1+2i）2﹣3，则z的共轭复数为（　　） A．﹣6﹣4i B．﹣4i C．﹣6+4i D．4i 7．已知复数，则|z|﹣＝（　　） A．1+i B．1 C．1﹣i D．i 8．已知（1﹣i）2z＝3+2i，则z＝（　　） A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．﹣+i D．﹣﹣i 9．已知z＝，则z﹣＝（　　） A．﹣i B．i C．0 D．1 10．下列复数为z＝1﹣i的共轭复数的是（　　） A．z2 B．iz C． D．z+i 11．设2（z+）+3（z﹣）＝4+6i，则z＝（　　） A．1﹣2i B．1+2i C．1+i D．1﹣i 12．＝（　　） A． B． C． D． 13．若纯虚数z满足，则＝（　　） A．﹣3i B．﹣2i C．2i D．3i 14．i是虚数单位，则复数（3﹣i）（4﹣i）在复平面内对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 15．已知z＝，则z+＝（　　） A． B．1 C． D．3 16．已知复数z＝，则的虚部为（　　） A．﹣1 B．﹣i C．1 D．﹣2i 17．已知i是虚数单位，则＝（　　） A．i B．i C．i D．i 18．若z（2+i）＝4﹣3i，则z的实部为（　　） A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1 19．已知复数z满足（i为虚数单位），则z的虚部为（　　） A． B． C． D． 20．复数（i为虚数单位）的虚部是（　　） A．i B．﹣i C．1 D．﹣1 21．已知z+i＝zi，则|﹣i|＝（　　） A． B． C．1 D． 22．在复平面内，复数z1和z2对应的点分别为A，B，则z1•z2＝（　　） A．﹣1﹣3i B．﹣3﹣i C．1﹣3i D．3+i 23．已知复数z＝，是复数z的共轭复数，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（　　） A．z的虚部为i B．|z|＝2 C．＝﹣+i D．z2为纯虚数 24．已知复数z＝﹣1+i，则z2＝（　　） A．﹣2﹣2i B．﹣2+2i C．4﹣2i D．4+2i 25．已知复数z满足，复数z的共轭复数为，则在复平面内对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 二．填空题（共15小题） 26．已知复数z1，z2，z3满足|z1|＝|z2|＝|z3|＝1，|z1+z2+z3|＝r，其中r是给定实数，则++的实部是 　 　（用含有r的式子表示）． 27．复数z＝的共轭复数＝　 　． 28．设复数，则＝　 　． 29．已知z＝1﹣i，则•（2﹣i）的虚部为 　 　． 30．使复数（3+i）n成为实数的最小正整数n的值是　 　． 31．复数z＝（1﹣2i）（1﹣5i）的实部为　 　． 32．设复数z，w满足|z|＝3，（z+）（﹣w）＝7+4i，其中i是虚数单位，，分别表示z，w共轭复数，则（z+2）（﹣2w）的模为　 　． 33．若复数z＝+2，则|z|＝　 　． 34．设复数z满足，则|z|的值为 　 　． 35．复数z＝（2+i）（1﹣i），其中i为虚数单位，则z的虚部为 　 　． 36．（其中i是虚数单位）的共轭复数为　 　． 37．若是关于x的实系数一元二次方程的一个根，则该方程可以是 　 　． 38．复数z＝a+2i，a∈R，若+1﹣2i为实数，则a＝　 　． 39．设复数z满足|z|＝1，使得关于x的方程zx2+2x+2＝0有实根，则这样的复数z的和为　 　． 40．若x、y为共轭复数，且（x+y）2﹣3xyi＝4﹣6i，则|x|+|y|＝　 　． 三．解答题（共10小题） 41．设i是虚数单位，求（1+i）6的值． 42．已知的值． 43．已知复数z1、z2满足|z1|＝|z2|＝|z1﹣z2|，且z1+z2＝3i，求z1和z2． 44．设复数z1，z2满足 Re（z1）＞0，Re（z2）＞0，且Re（z12）＝Re（z22）＝2（其中 Re（z）表示复数z的实部）． （1）求 Re（z1z2）的最小值； （2）求|的最小值． 45．确定所有的复数α，使得对任意复数z1，z2（|z1|，|z2|＜1，z1≠z2），均有． 46．已知复数，．复数，z2ω3在复数平面上所对应的点分别为P，Q．证明：△OPQ是等腰直角三角形（其中O为原点）． 47．求同时满足下列两个条件的所有复数z： ①z+是实数，且1＜z+≤6； ②z的实部和虚部都是整数． 48．已知z＝1+i． （1）设ω＝z2+3﹣4，求ω的三角形式； （2）如果，求实数a，b的值． 49．已知z∈C，解方程z﹣3i＝1+3i． 50．已知复数z满足，|z|＝5． （1）求复数z的虚部； （2）求复数的实部． 精选易错题练习—【第十章】 复数的运算 参考答案与试题解析 一．选择题（共25小题） 1．【答案】B 【分析】根据已知条件，结合复数的乘除法原则和复数的几何意义，即可求解． 【解答】解：∵z＝﹣1+2i＝＝﹣1+i﹣1+2i＝﹣2+3i， ∴复数z在复平面内对应的点（﹣2，3），位于第二象限． 故选：B． 2．【答案】B 【分析】先求出复数的运算求出复数z，再利用复数的虚部的定义求解。 【解答】解：由z（1+2i）＝5，得， ∴复数z的虚部为﹣2， 故选：B． 3．【答案】A 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出． 【解答】解：复数z＝＝＝＝i+1在复平面上对应的点（1，1）位于第一象限． 故选：A． 4．【答案】B 【分析】先化简，进而求得z，再求出|z|即可． 【解答】解：， ∴，∴． 故选：B． 5．【答案】B 【分析】根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数运算，即可求解． 【解答】解：∵z＝5﹣2i， ∴． 故选：B． 6．【答案】A 【分析】根据复数的运算求出z的共轭复数即可． 【解答】解：∵z＝（1+2i）2﹣3＝﹣3+4i﹣3＝﹣6+4i， ∴＝﹣6﹣4i， 故选：A． 7．【答案】A 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z，可得|z|与，则答案可求． 【解答】解：∵＝， ∴|z|﹣＝|i|﹣（﹣i）＝1+i． 故选：A． 8．【答案】B 【分析】利用复数的乘法运算法则以及除法的运算法则进行求解即可． 【解答】解：因为（1﹣i）2z＝3+2i， 所以． 故选：B． 9．【答案】A 【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解． 【解答】解：z＝＝＝， 则， 故＝﹣i． 故选：A． 10．【答案】B 【分析】先求共轭复数，然后结合复数的运算求解即可． 【解答】解：由z＝1﹣i，得＝（1﹣i）i＝zi， 故选：B． 11．【答案】C 【分析】利用待定系数法设出z＝a+bi，a，b是实数，根据条件建立方程进行求解即可． 【解答】解：设z＝a+bi，a，b是实数， 则＝a﹣bi， 则由2（z+）+3（z﹣）＝4+6i， 得2×2a+3×2bi＝4+6i， 得4a+6bi＝4+6i， 得，得a＝1，b＝1， 即z＝1+i， 故选：C． 12．【答案】D 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：＝． 故选：D． 13．【答案】A 【分析】设z＝bi（b∈R，b≠0）．利用复数的运算法则、复数相等、共轭复数的定义即可得出． 【解答】解：设z＝bi（b∈R，b≠0）． 则（1﹣2i）z＝2b+bi＝a+3i， ∴2b＝a，b＝3， ∴z＝3i， ＝﹣3i． 故选：A． 14．【答案】D 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应的坐标得答案． 【解答】解：∵（3﹣i）（4﹣i）＝11﹣7i， ∴复数（3﹣i）（4﹣i）在复平面内对应的点的坐标为（11，﹣7），位于第四象限． 故选：D． 15．【答案】D 【分析】根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的四则运算，即可求解． 【解答】解：∵z＝＝＝， ∴z+＝． 故选：D． 16．【答案】A 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z，再由共轭复数的概念得答案． 【解答】解：复数z＝＝＝＝1+i， 则＝1﹣i， 则的虚部为﹣1， 故选：A． 17．【答案】C 【分析】分子分母都乘以分母的共轭复数即可得出． 【解答】解：原式＝＝． 故选：C． 18．【答案】C 【分析】先利用复数的运算求出z的代数形式，然后由复数z的定义即可得到答案． 【解答】解：由z（2+i）＝4﹣3i，得，所以z的实部为1． 故选：C． 19．【答案】B 【分析】先把z化简成a+bi的形式，则b就是z的虚部． 【解答】解：， 所以z的虚部为． 故选：B． 20．【答案】C 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚数单位i的性质求值，则答案可求． 【解答】解：∵， ∴＝（﹣i）2019＝i， 其虚部为1． 故选：C． 21．【答案】B 【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，共轭复数的定义，以及复数模公式，即可求解． 【解答】解：z+i＝zi， 则z（1﹣i）＝﹣i， 故z＝＝＝， 所以＝， 故＝． 故选：B． 22．【答案】A 【分析】结合复数的几何意义，以及复数的四则运算，即可求解． 【解答】解：由图可知，z1＝﹣2﹣i，z2＝1+i， 故z1•z2＝（﹣2﹣i）•（1+i）＝﹣2﹣2i﹣i+1＝﹣1﹣3i． 故选：A． 23．【答案】B 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案． 【解答】解：z＝＝＝+i， A：∵z的虚部为1，∴A错误， B：|z|＝＝2，∴B正确， C：∵＝﹣i，∴C错误， D：∵z2＝＝3+2i+i2＝2i，∴D错误． 故选：B． 24．【答案】A 【分析】利用复数的乘法运算法则进行求解即可． 【解答】解：由题意可得，． 故选：A． 25．【答案】C 【分析】先对z化简，再结合共轭复数的定义，复数的几何意义，即可求解． 【解答】解：因为， 所以， 所以， 所以＝， 所以在复平面内对应的点的坐标为，位于第三象限． 故选：C． 二．填空题（共15小题） 26．【答案】． 【分析】根据已知条件，结合复数模公式，以及复数实部的概念，即可求解． 【解答】解：记w＝++， 由复数模的性质可知，，，， 故 +， ＝＝3+2Rew， 解得Rew＝， 故++的实部是． 故答案为：． 27．【答案】见试题解答内容 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：∵z＝＝， ∴． 故答案为：﹣1+2i． 28．【答案】见试题解答内容 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算及复数模的计算公式化简，再由共轭复数的概念得答案． 【解答】解：∵＝＝1﹣i﹣5＝﹣4﹣i， ∴． 故答案为：﹣4+i． 29．【答案】1． 【分析】由已知条件可得，＝1+i，再结合虚部的概念，以及复数代数形式的乘法运算，求解即可． 【解答】解：∵z＝1﹣i，∴＝1+i， ∴•（2﹣i）＝（1+i）（2﹣i）＝3+i， 故其虚部为1． 故答案为：1． 30．【答案】见试题解答内容 【分析】把复数3+i化为三角形式，然后按复数三角形式的幂运算化简，令虚部为0，求出n的值． 【解答】解：（3+i）n＝， 要使（3+i）n为实数， ∴sin＝0， ∴，即n＝6k，k∈Z． ∴满足题意的n为6． 故答案为：6． 31．【答案】﹣9． 【分析】利用复数的四则运算与实部的定义即可得出． 【解答】解：z＝（1﹣2i）（1﹣5i）＝1﹣10﹣2i﹣5i＝﹣9﹣7i， ∴z的实部为﹣9， 故答案为：﹣9． 32．【答案】见试题解答内容 【分析】由已知可得，展开（z+2）（﹣2w），整体代换可得（z+2）（﹣2w）＝1+8i，再由复数模的计算公式求解． 【解答】解：∵|z|＝3，且（z+）（﹣w）＝＝7+4i， ∴， ∴（z+2）（﹣2w）＝＝＝1+8i ∴（z+2）（﹣2w）的模为． 故答案为：． 33．【答案】见试题解答内容 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解． 【解答】解：∵z＝+2＝＝﹣2i+2， ∴|z|＝． 故答案为：． 34．【答案】． 【分析】根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数模公式，即可求解． 【解答】解：设z＝a+bi， ∵， ∴（a+9）+bi＝10a+（﹣10b+22）i， ∴由复数的相等性准则可得，，解得a＝1，b＝2， ∴z＝1+2i， ∴|z|＝． 故答案为：． 35．【答案】见试题解答内容 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：z＝（2+i）（1﹣i）＝3﹣i． 则z的虚部为﹣1． 故答案为：﹣1． 36．【答案】． 【分析】先利用复数的除法运算求出复数的代数形式，然后由共轭复数的定义求解即可． 【解答】解：＝， 所以其共轭复数为． 故答案为：． 37．【答案】x2﹣2x+4＝0． 【分析】得到为方程的另外一个根，利用根与系数的关系求出b，c的值，进而求出答案． 【解答】解：设实系数一元二次方程为x2+bx+c＝0， ∵是关于x的实系数一元二次方程x2+bx+c＝0的一个根， ∴为方程的另外一个根， ∴，， ∴c＝4，b＝﹣2， ∴该方程可以是x2﹣2x+4＝0． 故答案为：x2﹣2x+4＝0． 38．【答案】﹣2． 【分析】根据已知条件，结合实数的概念，以及复数代数形式的乘法运算，即可求解． 【解答】解：∵z＝a+2i， ∴+1﹣2i＝， ∵+1﹣2i为实数， ∴a+2＝0，解得a＝﹣2． 故答案为：﹣2． 39．【答案】见试题解答内容 【分析】设z＝a+bi，（a，b∈R，a2+b2＝1），得到ax2+2ax+2＝0①，bx2﹣2bx＝0②，通过讨论求出a，b的值，求出满足条件的所有z，相加即可． 【解答】解：设z＝a+bi，（a，b∈R，a2+b2＝1）， 将原方程改为（a+bi）x2+2（a﹣bi）x+2＝0， 分离实部与虚部后等价于： ax2+2ax+2＝0①，bx2﹣2bx＝0②， 若b＝0，则a2＝1，但当a＝1时，①无实数解，从而a＝﹣1， 此时存在实数x＝﹣1±满足①②， 故z＝﹣1满足条件； 若b≠0，则由②知x∈{0，2}， 但显然x＝0不满足①，故x＝2， 代入①解得：a＝﹣，则b＝±， 故z＝， 综上，满足条件的所有z的和为：﹣1++＝﹣， 故答案为：﹣． 40．【答案】见试题解答内容 【分析】利用待定系数法即可得到结论． 【解答】解：∵x、y为共轭复数， ∴设x＝a+bi，y＝a﹣bi，a，b∈R， 则x+y＝2a，xy＝a2+b2， ∴由（x+y）2﹣3xyi＝4﹣6i， 得4a2﹣3（a2+b2）i＝4﹣6i， 即4a2＝4，且3（a2+b2）＝6， 解得a2＝1，b2＝1， ∴|x|+|y|＝+＝， 故答案为： 三．解答题（共10小题） 41．【答案】见试题解答内容 【分析】利用（1+i）2＝2i及i的各次方的值求解即可． 【解答】解：因为（1+i）2＝2i，故（1+i）6＝（2i）3＝8i3＝﹣8i 42．【答案】见试题解答内容 【分析】ω的值是1的一个立方虚根，ω2+ω+1＝0是它的性质． 【解答】解：由＝＝0 43．【答案】见试题解答内容 【分析】设出复数z1，推出复数z2．利用已知条件列出方程，求解即可． 【解答】解：设z1＝a+bi，则z2＝﹣a+（3﹣b）i， |z1|＝|z2|＝|z1﹣z2|， 可得：a2+b2＝a2+（3﹣b）2＝4a2+（2b﹣3）2， 解得：a＝，b＝， 所以z1＝+，z2＝；或z1＝﹣+，z2＝； 44．【答案】（1）2．（2）． 【分析】（1）略 （2）略 【解答】解：（1）对k＝1，2，设zk＝xk+yki（xk，yk∈R）， 由条件知，xk＝Re（zk）＞0，， 因此Re（z1z2）＝Re[（xi+yii）（x2+y2i）]＝x1x2﹣y1y2 ＝≥（|y1y2|+2）﹣y1y2≥2， 又当时，Re（z1z2）＝2，这表明，Re（z1z2）的最小值为2． （2）对k＝1，2，将zk 对应到平面直角坐标系xOy中的点Pk（xk，yk）， 记P2'是P2关于x轴的对称点，则P1，P2' 均位于双曲线C：x2﹣y2＝2的右支上， 设F1，F2分别是C的左，右焦点，易知F1（﹣2，0），F2（2，0）， 根据双曲线的定义，有|P1F1|＝|P1F2|+，， 进而得＝ ＝|P1F1|+|P2'F1|﹣|P1P2'| ＝|P1P2'|，等号成立，进去仅当F2 位于线段P1P2' 上， 综上所述，|的最小值为． 45．【答案】{α|α∈C，|α|≥2}． 【分析】略 【解答】解：记， 则fα（z1）﹣fα（z2）＝＝（z1+z2+2α）（z1﹣z2）+， 假如存在复数z1，z2 （|z1|，|z2|＜1，z1≠z2），使得fα（z1）＝fα（z2）， 则由①知，||＝|﹣（z1+z2+2α）（z1﹣z2）|， 利用＝|z1﹣z2|≠0 知， |α|＝|z1+z2+2α|≥2|α|﹣|z1|﹣|z2|＞2|α|﹣2，即|α|＜2， 另一方面，对任意满足|α|＜2的复数α， 令，，其中0＜β，则z1≠z2， 而， 故|z1|，|z2|＜1， 此时将z1+z2＝﹣α，z1﹣z2＝2βi，＝﹣2βi， 代入①可得，fα（z1）﹣fα（z2）＝α•2βi+α•（﹣2βi）＝0，即fα（z1）＝fα（z2）， 综上所述，符合要求的α的值为{α|α∈C，|α|≥2}． 46．【答案】见试题解答内容 【分析】利用复数三角形式，化简复数，． 然后计算复数，z2ω3，计算二者的夹角和模，即可证得结论． 【解答】解法一：， 于是，，＝ 因为OP与OQ的夹角为，所以OP⊥OQ． 因为，所以|OP|＝|OQ| 由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角，故△OPQ为等腰直角三角形． 解法二： 因为，所以z3＝﹣i． 因为，所以ω4＝﹣1 于是 由此得OP⊥OQ，|OP|＝|OQ|． 由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角，故△OPQ为等腰直角三角形． 47．【答案】＝1±3i 或3±i． 【分析】根据题意，对于①从整体角度思考，可视z+为一个整体t，进行整体换元，得到 z2﹣tz+10＝0，对于②利用求根公式解出 z，再利用z的实部和虚部都是整数，求出t，即得满足条件的复数z． 【解答】解：设z+＝t，则 z2﹣tz+10＝0．∵1＜t≤6，∴Δ＝t2﹣40＜0， 解方程得 z＝± i． 又∵z的实部和虚部都是整数，∴t＝2或t＝6， 故满足条件的复数共4个：z＝1±3i 或 z＝3±i． 48．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）把复数的具体形式代入所给的z2+3﹣4，根据乘方和共轭复数，算出ω的值，提出复数的模长，把代数形式变化为三角形式． （2）先进行复数的乘除运算，把具体的复数的值代入，整理成最简形式，得到复数相等的条件，使得复数的实部和虚部分别相等，得到关于a和b的方程组，解方程组即可． 【解答】解：（1）由z＝1+i，有 ω＝z2+3﹣4 ＝（1+i）2+3﹣4 ＝2i+3（1﹣i）﹣4＝﹣1﹣i， ω的三角形式是． （2）由z＝1+i，有＝ ＝＝（a+2）﹣（a+b）i 由题设条件知（a+2）﹣（a+b）i＝1﹣i． 根据复数相等的定义，得 解得 49．【答案】见试题解答内容 【分析】设出复数z将其和它的共轭复数代入复数方程，利用复数相等，求出复数z即可． 【解答】解：设z＝x+yi（x，y∈R）． 将z＝x+yi代入原方程，得 （x+yi）（x﹣yi）﹣3i（x﹣yi）＝1+3i， 整理得x2+y2﹣3y﹣3xi＝1+3i． 根据复数相等的定义，得 由①得x＝﹣1． 将x＝﹣1代入②式解得y＝0，y＝3． ∴z1＝﹣1，z2＝﹣1+3i． 50．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）设复数z＝a+bi（a，b∈R），可得＝a﹣bi，利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出． （2）利用复数的运算法则、实部的定义即可得出． 【解答】解：（1）设复数z＝a+bi（a，b∈R），∴＝a﹣bi， ∴，∴a＝3． ∴⇒b＝±4，即复数z的虚部为±4． （2）当b＝4时，＝＝，其实部为． 当b＝﹣4时，＝＝，其实部为． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/5/17 15:23:07；用户：Damon；邮箱：13120434074；学号：24730468 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$