第十章 复数的三角形式及其运算-高中数学必修第四册精选易错题练习（人教B版2019)

精选易错题练习—【第十章】 复数的三角形式及其运算 一．选择题（共21小题） 1．著名数学家欧拉发现了复数的三角形式：eix＝cosx+isinx（其中i为虚数单位，i2＝﹣1），根据这个公式可知，e3i表示的复数在复平面中所对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．在下列各数中，已表示成三角形式的复数是（　　） A． B． C． D． 3．复数的三角形式是（　　） A． B． C． D． 4．设函数z＝i2+，那么argz是（　　） A． B． C． D．﹣ 5．已知复数z＝，则arg是（　　） A． B． C． D． 6．复数z＝﹣3（sin﹣icos）的辐角的主值是（　　） A． B． C． D． 7．复数sin40°﹣icos40°的辐角为（　　） A．40° B．140° C．220° D．310° 8．复数z＝a+bi（a，b∈R，i是虚数单位）在复平面内对应点为Z，设r＝|OZ|，θ是以x轴的非负半轴为始边，以OZ所在的射线为终边的角，则z＝a+bi＝r（cosθ+isinθ），把r（cosθ+isinθ）叫做复数a+bi的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，[r（cosθ+isinθ）]n＝rn（cosθ+isinθ）（n∈N*），例如：2π+isin2π＝1，，复数z满足：z3＝1+i，则z可能取值为（　　） A． B． C． D． 9．若复数z＝（a+i）2的辐角是，则实数a的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．﹣ D．﹣ 10．已知复数，，则z1z2的代数形式是（　　） A． B． C． D． 11．若复数z＝a+bi（i为虚数单位，a，b∈R）在复平面内对应点为Z（a，b），O为坐标原点，将实轴非负半轴绕点O逆时针旋转到OZ，转过的最小角叫复数z的辐角主值，记作arg（z），则arg（）的值为（　　） A． B． C． D． 12．复数z＝﹣sin+icos的辐角主值是（　　） A． B． C． D． 13．下列为复数﹣2+2i的三角形式的是（　　） A． B． C． D． 14．已知θ是4+3i的一个辐角，则tanθ＝（　　） A． B． C．﹣ D．﹣ 15．设z1＝1﹣2i，z2＝1+i，z3＝﹣1+3i，则argz1+argz2+argz3＝（　　） A． B． C． D． 16．复数isin200°的辐角主值是（　　） A．200° B．90° C．﹣90° D．270° 17．复数的辐角主值为（　　） A． B． C． D． 18．复数，则复数z的虚部是（　　） A． B． C． D． 19．复数2+i和﹣3﹣i的辐角主值分别是α，β，则tg（α+β）等于（　　） A． B． C．﹣1 D．1 20．复数﹣i的三角形式为（　　） A．sin+icos B．cos+isin C．2（cos+isin） D．2（sin+icos） 21．如果θ∈（π/2，π）那么复数（1+i）（cosθ+isinθ）的辐角的主值是（　　） A．θ+9π/4 B．θ+π/4 C．θ﹣π/4 D．θ+7π/4 二．多选题（共7小题） （多选）22．关于复数的三角形式描述正确的是（　　） A．任意一个复数都有三角形式 B．非零复数的辐角是唯一的 C．两个复数相等就是它们的模与辐角主值分别相等 D．任意两复数的辐角相差2kπ（k∈Z） （多选）23．下列表示复数1+i的三角形式中，正确的是（　　） A． B． C． D． （多选）24．复数a+bi（a，b∈R）的三角形式是r（cosθ+isinθ），则﹣a+bi的三角形式是（　　） A．r[cos（π﹣θ）+i sin（π﹣θ）] B．r[cos（π+θ）+i sin（π+θ）] C．r[cos（3π﹣θ）+i sin（3π﹣θ）] D．r[cos（2π+θ）+i sin（2π+θ）] （多选）25．欧拉在1748年发现了三角函数与复指数函数可以巧妙地关联起来：eiθ＝cosθ+isinθ（把z＝r（cosθ+isinθ）称为复数的三角形式，其中从OX轴的正半轴到向量的角θ叫做复数z＝a+bi（a，b∈R）的辐角，把向量的长度r叫做复数的模），之后法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理： 若复数z1＝＝r1（cosθ1+isinθ1），z2＝＝r2（cosθ2+isinθ2），则我们可以简化复数乘法：z1z2＝＝r1r2（cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2））．根据以上信息，下列说法正确的是（　　） A．若z＝cosθ+isinθ，则有eπi+1＝0 B．若r＝1，θ＝，则z3＝1 C．若z＝r（cosθ+isinθ），则zn＝rn（cosnθ+isinnθ） D．设，则z在复平面上对应的点在第一象限 （多选）26．设m＜0，则m的三角形式是（　　） A．m（cosπ+isinπ） B．﹣m（cosπ+isinπ） C．m[cos（﹣π）+isin（﹣π）] D．﹣m[cos（﹣π）+isin（﹣π）] （多选）27．下列各式不是复数三角形式的是（　　） A．﹣2（cosθ+isinθ） B．cosθ﹣isinθ C．sinθ+icosθ D．cos135°+isin45° （多选）28．已知两个复数﹣1+i，+i的辐角主值分别为α，β，则（　　） A．α+β＝ B．α+β＝ C．α﹣β＝ D．α﹣β＝﹣ 三．填空题（共8小题） 29．复数z＝的辐角主值为　 　． 30．若z＝1﹣i，则z12＝　 　． 31．（sin15°+icos15°）3（cos345°﹣isin345°）＝　 　． 32．复数z＝+i的辐角主值为 　 　． 33．若复数，，则z1z2的辐角的主值为 　 　． 34．复数z＝的三角形式为 　 　． 35．复数﹣2i的实部是　 　，虚部是　 　，三角形式是　 　． 36．设z1，z2都是复数，且|z1|＝3，|z2|＝5|z1+z2|＝7，则arg（）3的值是　 　． 四．解答题（共22小题） 37．设复数z＝cosθ+isinθ，θ∈（π，2π），求复数z2+z的模和辐角． 38．设复数z＝cosθ+isinθ（0＜θ＜π），，并且，，求θ． 39．求满足方程的辐角主值最小的复数Z． 40．已知复数z1＝i（1﹣i）3． （1）求argz1及|z1|； （2）当复数z满足|z|＝1，求|z﹣z1|的最大值． 41．已知复数z＝1+i，求复数的模和辐角的主值． 42．（1）求复数的模和辐角的主值． （2）解方程9﹣x﹣2•31﹣x＝27． （3）已知，求的值． （4）一个直角三角形的两条直角边的长分别为3cm和4cm，将这个直角三角形以斜边为轴旋转一周，求所得旋转体的体积． （5）求． 43．当实数t取什么值时，复数的辐角主值θ适合？ 44．设O为复平面的原点，Z1和Z2为复平面内的两动点，并且满足： （1）Z1和Z2所对应的复数的辐角分别为定值θ和﹣θ； （2）△OZ1Z2的面积为定值S求△OZ1Z2的重心Z所对应的复数的模的最小值． 45．设复数z＝3cosθ+isinθ．求函数y＝tan（θ﹣argz）（0＜θ＜）的最大值以及对应的θ值． 46．已知复数． （1）求它的模及辐角； （2）作出图，把这图反时针方向转150°，求这时的复数． 47．如图所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上，∠BDC＝45°． （Ⅰ）求BD的长； （Ⅱ）已知复数z的模为10，且以∠ABD为辐角，求z2． 48．把下列复数表示成三角形式，并求出它们的模与辐角主值： （1）2（cos+isin）； （2）﹣3（cos+isin）； （3）2（cos15°+isin165°）； （4）﹣cos+isin． 49．将下列复数化为三角形式： （1）； （2）； （3）； （4）． 50．计算： （1）； （2）． 51．计算4（cos+isin）÷[2（cos+isin）]，并把结果化为代数形式． 52．计算下列各式，并将结果化成代数形式． （1）（cos+isin）×2（cos+isin； （2）2（cos15°+isin15°）×（﹣+i）； （3）4（cos+isin）÷[2（cos+isin）]； （4）． 53．把复数z1与z2对应的向量，分别按逆时针方向旋转和后，与向量重合且模相等，已知，求复数z1的代数式和它的辐角主值． 54．把下列复数化为代数形式． （1）3（cos+isin）； （2）8（cos+isin）； （3）9（cosπ+isinπ）； （4）6（cos+isin）． 55．化简下列各式． （1）； （2）． 56．计算： （1）（cos+isin）×（cos+isin）； （2）（cos+isin）×（cos+isin）； （3）[12（cos+isin）]÷[6（cos+isin）]； （4）[（cos+isin）]÷[（cos+isin）]． 57．已知复数z1，z2满足|z1|＝1，|z2|＝r，arg（z1﹣）＝，arg（）＝，求z1，z2． 58．已知m∈C，关于x的一元二次方程x2﹣mx+4+3i＝0恒有非零实根，且当x＝a（a∈R，a≠0）时，|m|取得最小值，记z＝5﹣|a|i，求复数•（1﹣bi）（b≥1）的辐角主值的取值范围． 精选易错题练习—【第十章】 复数的三角形式及其运算 参考答案与试题解析 一．选择题（共21小题） 1．【答案】B 【分析】利用已知条件通过x＝3代入，判断三角函数的符号，推出e3i表示的复数在复平面中所对应的点所在象限． 【解答】解：eix＝cosx+isinx（其中i为虚数单位，i2＝﹣1），根据这个公式可知，e3i＝cos3+isin3， 3弧度的角终边在第二象限． 故选：B． 2．【答案】B 【分析】复数的三角形式是r（cosθ+isinθ），观察所给的四种形式，只有一种形式符合要求，注意式子中各个位置的符号，可得结果． 【解答】解：∵Z＝r（cosθ+isinθ）， ∴Z＝2（cos+isin）， 故选：B． 3．【答案】A 【分析】复数由代数形式化为三角形式，注意实部是，虚部是，思考找一个角是它的余弦是，正弦是，这个角是﹣ 【解答】解：∵， ， ∴， 故选：A． 4．【答案】C 【分析】利用特殊角的三角函数值和辐角主值的意义即可得出． 【解答】解：z＝﹣1+i＝2＝2，∴． 故选：C． 5．【答案】B 【分析】首先要根据复数求复数的倒数，得到代数形式的复数，提出实部和虚部的平方和，把余下的部分变为一个角的余弦和正弦形式，看出对应的角的弧度，得到结论． 【解答】解：∵， ∴， ＝ ∴， 故选：B． 6．【答案】C 【分析】利用诱导公式即可得出． 【解答】解：＝＝＝． ∴argZ＝． 故选：C． 7．【答案】D 【分析】化简成复数的三角形式即可 【解答】解：原复数可化成sin140°+icos140°＝cos310°+isin310°，故辐角为310°； 故选：D． 8．【答案】D 【分析】结合已知运算法则检验各选项即可判断． 【解答】解：因为z3＝1+i＝（）， 结合选项可知，A，B显然错误； 若z＝（cos），则z3＝（cos+isini）＝（﹣i），C错误； 若z＝（cos+isin），则z3＝（cos+isin）＝（），D正确． 故选：D． 9．【答案】B 【分析】先将复数z的代数形式求出，然后利用辐角的含义列式求解即可． 【解答】解：因为复数z＝（a+i）2＝a2﹣1+2ai的辐角是， 所以a2﹣1＝0且2a＜0，解得a＝﹣1． 故选：B． 10．【答案】D 【分析】直接利用复数三角形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：∵，， ∴ ＝ ＝ ＝ ＝， 故选：D． 11．【答案】A 【分析】由复数代数形式的乘除运算化简，求出在复平面内点的坐标得答案． 【解答】解：由＝， ∴复数在复平面内对应点的坐标为（1，1）， 则arg（）的值为． 故选：A． 12．【答案】D 【分析】利用诱导公式即可得出． 【解答】解：z＝﹣sin+icos＝cos（）+isin（）＝cos+isin ∴argz＝． 故选：D． 13．【答案】A 【分析】根据已知条件，结合复数模公式，并求出辐角，即可求解． 【解答】解：模长|z|＝， 设辐角为θ，tanθ＝﹣1且点（﹣2，2）在第二象限， 所以， 故三角形式为． 故选：A． 14．【答案】B 【分析】利用复数的三角形式的定义判断即可． 【解答】解：∵θ是4+3i的一个辐角， ∴tanθ＝， 故选：B． 15．【答案】C 【分析】结合复数的基本运算及复数的辐角主值的概念可求． 【解答】解：z1＝1﹣2i，z2＝1+i，z3＝﹣1+3i， 所以z1•z2•z3＝（1﹣2i）（1+i）（﹣1+3i）＝10i， 则argz1+argz2+argz3＝，k∈Z， 因为argz1，，argz2∈（0），argz3∈（）， 所以argz1+argz2+argz3＝． 故选：C． 16．【答案】D 【分析】化简复数为三角形式，即可得到结果． 【解答】解：复数isin200°＝﹣sin20°i＝sin20°（cos270°+isin270°）． 故选：D． 17．【答案】C 【分析】根据已知条件，结合辐角主值的定义，即可求解． 【解答】解：＝＝， 则复数z的辐角主值为． 故选：C． 18．【答案】C 【分析】对z化简，再结合虚部的定义，即可求解． 【解答】解：＝，其虚部为． 故选：C． 19．【答案】D 【分析】复数2+i和﹣3﹣i的辐角主值分别是α，β，求得tanα＝，tan，利用两个角和的正切公式求出tg（α+β）． 【解答】解：复数2+i和﹣3﹣i的辐角主值分别是α，β， 所以tanα＝，tan， 所以tg（α+β）＝＝1 故选：D． 20．【答案】C 【分析】复数由代数形式化为三角形式，注意实部是，虚部是1，思考找一个角使它的余弦是，正弦是﹣，这个角是． 【解答】解：∵﹣i＝2[+（﹣）i] cos＝， sin＝﹣， ∴z＝2（cos+isin）， 故选：C． 21．【答案】B 【分析】化复数1+i为三角形式，利用三角形式乘法运算法则求解，再求其辐角主值． 【解答】解：复数（1+i）（cosθ+isinθ）＝（cos）（cosθ+isinθ） ＝[cos（）+isin（）]， ∵θ∈（π/2，π） 复数（1+i）（cosθ+isinθ）的辐角的主值是： 故选：B． 二．多选题（共7小题） 22．【答案】AC 【分析】结合复数三角形式的定义对各选项判断即可． 【解答】解：由复数的三角表示可得A正确， 由辐角有无限多个，辐角的主值是唯一的，可得B错误， 两个复数相等当且仅当它们的模与辐角主值分别相等，C正确， 0的辐角是任意的，它与复数的辐角相差不一定是2kπ（k∈Z），D错． 故选：AC． 23．【答案】BD 【分析】利用复数、三角函数的性质、运算法则直接求解． 【解答】解：对于A，＝1+i，但是不满足复数的三角形式，故A不正确； 对于B，＝1+i，故B正确； 对于C，＝1+i，不满足复数的三角形式，故C不正确； 对于D，＝1+i，故D正确． 故选：BD． 24．【答案】AC 【分析】由已知结合三角函数的诱导公式即可求得﹣a+bi的三角形式． 【解答】解：由题意可得，a+bi＝（）＝r（cosθ+isinθ）， 则﹣a+bi＝（﹣）＝r（﹣cosθ+isinθ）＝r[cos（π﹣θ）+isin（π﹣θ）] ＝r[cos（3π﹣θ）+i sin（3π﹣θ）]． ∴﹣a+bi的三角形式是r[cos（π﹣θ）+i sin（π﹣θ）]或r[cos（3π﹣θ）+i sin（3π﹣θ）]． 故选：AC． 25．【答案】AC 【分析】根据题干所给出的新定义判断各个选项即可． 【解答】解：对于A， eπi+1＝（cosπ+isinπ）+1＝﹣1+1＝0，故A正确； 对于 C， 由棣莫弗定理可知，两个复数z1，z2相乘，所得到的复数的辐角是复数z1，z2的辐角之和，模是复数z1，z2的模之积， 所以zn的辐角是复数z的辐角的n倍，模是|z|n，故C正确； 对于B， ，所以z3＝13•（cosπ+isinπ）＝﹣1，故B错误； 对于D， 设，故， 故复数 z 在复平面上所对应的点为，不在第一象限，故D错误． 故选：AC． 26．【答案】BD 【分析】利用复数三角形式的意义即可得出． 【解答】解：∵m＜0，则m＝﹣m（cosπ+isinπ）＝﹣m[cos（﹣π）+isin（﹣π）]， 故选：BD． 27．【答案】ABCD 【分析】复数的三角形式是r（cosθ+isinθ），判断复数的三角形式遵循：模非负，角相同，余弦实，加号连，观察所给的四种形式可得结果． 【解答】解：由“模非负”，知A错， 由“加号连”，知B错， 由“余弦实、正弦虚”，知C错， 由“辐角同”，知D错． 故选：ABCD． 28．【答案】AC 【分析】化复数的代数形式为三角形式，求得α与β的值，则答案可求． 【解答】解：∵﹣1+i＝＝，∴； ∵+i＝＝，∴β＝， ∴； ． 故选：AC． 三．填空题（共8小题） 29．【答案】见试题解答内容 【分析】运用复数的三角形式和运算性质，以及辐角主值的定义，即可得到所求值． 【解答】解：复数z＝ ＝ ＝cos（﹣）+isin（﹣） ＝cos+isin＝cos+isin 可得复数z的幅角主值为， 故答案为：． 30．【答案】4096． 【分析】由题意，利用复数三角形式的乘法法则，棣莫弗定理，计算求得结果． 【解答】解：∵z＝1﹣i＝2（cos+isin）， ∴z12＝212•（cos+isin）＝4096（1+0i）＝4096， 31．【答案】． 【分析】利用复数三角形式的乘法运算变形，化为代数形式即可． 【解答】解：（sin15°+icos15°）3（cos345°﹣isin345°） ＝（cos75°+isin75°）3（cos345°﹣isin345°） ＝（cos225°+isin225°）[cos（﹣15°）+isin（﹣15°）] ＝cos（225°﹣15°）+isin（225°﹣15°） ＝cos210°+isin210° ＝﹣cos30°﹣isin30° ＝． 故答案为：． 32．【答案】． 【分析】复数z＝+i得出所对应的点坐标为（，），|z|＝1，即可得出答案． 【解答】解：复数z＝+i，其对应的点坐标为（，），|z|＝＝1， 即z＝cos+sini， ∴复数z＝+i的辐角主值为， 故答案为：． 33．【答案】． 【分析】根据已知条件，结合复数辐角的主值的概念，以及复数代数形式的乘法运算，即可求解． 【解答】解：由题意可得， ＝+ ＝＝， ∵∈[0，2π）， ∴z1z2的辐角的主值为． 故答案为：． 34．【答案】2（cos+isin）． 【分析】根据特殊角的三角函数值cos（﹣）＝，sin（﹣）＝﹣，化简复数z＝得出复数z＝＝2（+i），即可得出答案． 【解答】解：∵cos（﹣）＝，sin（﹣）＝﹣， ∴复数z＝＝＝2（+i）＝2（cos+isin）， 故答案为：2（cos+isin）． 35．【答案】见试题解答内容 【分析】据复数的定义，模的公式求出复数模，由代数式化为三角形式． 【解答】解：复数﹣2i＝0﹣2i，所以它的实部是 0，虚部是﹣2，三角形式是三角形式为2（cos+isin）； 故答案为：0，﹣2，2（cos+isin）． 36．【答案】见试题解答内容 【分析】在三角形AOB中，由|z1|＝3，|z2|＝5，|z1+z2|＝7，利用余弦定理求出cos∠OAB的值，利用特殊角的三角函数值求出∠OAB的度数，进而确定出arg（）的度数，即可求出arg（）3的值． 【解答】解：∵|z1|＝3，|z2|＝5，|z1+z2|＝7， ∴cos∠OAB＝＝﹣， ∴∠OAB＝， ∴arg（）＝， 则arg（）3＝3×＝π． 故答案为：π 四．解答题（共22小题） 37．【答案】见试题解答内容 【分析】直接把复数z代入复数z2+z，利用和差化积化简，求出它的模和辐角． 【解答】解：z2+z＝（cosθ+isinθ）2+（cosθ+isinθ） ＝cos2θ+isin2θ+cosθ+isinθ ＝2coscos+i（2sincos） ＝2cos（cos+isin） ＝﹣2cos[cos（﹣π+）+isin（﹣π+）] ∵θ∈（π，2π） ∴∈（，π） ∴﹣2cos（）＞0 所以复数z2+z的模为﹣2cos，辐角（2k﹣1）π+（k∈z）． 38．【答案】见试题解答内容 【分析】化简ω，利用，求出θ的三角函数值，再用，来验证ω，从而求出θ的值． 【解答】解法一＝＝＝tg2θ（sin4θ+icos4θ）．，． 因0＜θ＜π，故有 （ⅰ）当时，得或，这时都有， 得，适合题意． （ⅱ）当时，得或，这时都有， 得，不适合题意，舍去． 综合（ⅰ）、（ⅱ）知或． 解法二z4＝cos4θ+isin4θ． 记φ＝4θ，得．① ．② ＝＝．③ ∵，， ∴ 当①成立时，②恒成立，所以θ应满足 （ⅰ），或（ⅱ）， 解（ⅰ）得或．（ⅱ）无解． 综合（ⅰ）、（ⅱ）或． 39．【答案】见试题解答内容 【分析】首先明确z对应点的轨迹，再进一步求解． 【解答】解：满足方程的复数在复平面上所对应的点的全体组成了如图所示的一个圆， 其圆心A对应的复数为，半径为，因而圆与x轴相切于点Q，点Q对应的复数是﹣3 从点O作圆的另一条切线OP，P为切点， 则点P所对应的复数为所求的复数 ∵， 设点B对应的复数为1， ∴∠BOA＝150°，|OA|＝，∠QOA＝180°﹣∠BOA＝30° ∵OP、OQ是同一点引出的圆的两条切线，A是圆心， ∴∠AOP＝∠QOA＝30°，∠QOP＝2∠QOA＝60°， ∠BOP＝180°﹣∠QOP＝120°， |OP|＝|OA|cos∠AOP＝． ∴所求的复数Z＝． 40．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）化简复数为代数形式后，再化为三角形式，即可求解． （2）z 设为三角形式，和复数z1的代数形式，共同代入|z﹣z1|，化简后可求最大值． 【解答】解：（1）z1＝i（1﹣i）3＝2﹣2i， 将z1化为三角形式，得， ∴，． （2）设z＝cosα+isinα， 则z﹣z1＝（cosα﹣2）+（sinα+2）i，|z﹣z1|2＝（cosα﹣2）2+（sinα+2）2＝（）， 当sin（）＝1时，|z﹣z1|2取得最大值． 从而得到|z﹣z1|的最大值为． 41．【答案】见试题解答内容 【分析】利用复数的运算法则化简复数，据复数模的公式求出复数模，判断复数所在象限及辐角的正切值，求出辐角的主值． 【解答】解：＝ ＝ ＝1﹣i． 1﹣i的模r＝＝． 因为1﹣i对应的点在第四象限且辐角的正切tanθ＝﹣1， 所以辐角的主值θ＝π． 42．【答案】见试题解答内容 【分析】本题分别涉及到复数，指数方程，三角函数，立体几何，极限等知识体系． 【解答】解：（1）由题意，|﹣i|＝2， 又＝ ∴arg（）＝ （2）设3﹣x＝t，（t＞0）则原方程化为 t2﹣6t﹣27＝0 ∴t＝9或t＝﹣3（舍去） 即3﹣x＝9 ∴x＝﹣2． （3）∵sinθ＝， ∴tanθ＝ ∴ ∴tan＝﹣3或 又 ∴． （4）如图，由题意，旋转而形成的是以为半径的圆为底形成的同底的两个圆锥． ∴． （5）原式＝＝3． 43．【答案】见试题解答内容 【分析】复数的辐角主值θ适合，说明复数的实部、虚部都大于零，虚部小于实部，化简求解． 【解答】解：因为复数的实部与虚部都是非负数， 所以z的辐角主值θ一定适合 从而． 显然r＝|z|≠0因为，所以0≤tgθ≤1⇔0≤|tgθ|≤1⇔﹣1≤tgt≤1． 由于 内是增函数，并且它的周期是π， 因此﹣1≤tgt≤1的解是． 这就是所求的实数t的取值范围 44．【答案】见试题解答内容 【分析】设出Z1，Z2和Z对应的复数分别为z1，z2和z，由于Z是△OZ1Z2的重心，表示其关系，求解即可． 【解答】解：设Z1，Z2和Z对应的复数分别为z1，z2和z，其中 z1＝r1（coθ+isinθ）， z2＝r2（coθ﹣isinθ）． 由于Z是△OZ1Z2的重心，根据复数加法的几何意义， 则有3z＝z1+z2＝（r1+r2）cosθ+（r1﹣r2）isinθ． 于是|3z|2＝（r1+r2）2cos2θ+（r1﹣r2）2sin2θ ＝（r1﹣r2）2cos2θ+4r1r2cos2θ+（r1﹣r2）2sin2θ ＝（r1﹣r2）2+4r1r2cos2θ 又知△OZ1Z2的面积为定值S及， 所以，即 由此， 故当r1＝r2＝时，|z|最小，且|z|最小值＝． 45．【答案】见试题解答内容 【分析】由题意可得，tan（argz）＝，再结合正切函数的两角差公式，以及基本不等式的公式，即可求解． 【解答】解：由得tanθ＞0， 由z＝3cosθ+isinθ得tan（argz）＝， 故y＝tan（θ﹣argz）＝＝， ∵， ∴≤， 当且仅当（）时，即tanθ＝时，上式取等号， 所以当θ＝时，函数y取得最大值． 46．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）把复数的代数形式化为三角形式，得到复数的模和夹角，注意三角形式的写法． （2）本题可以采用作图法来解决，这样思路清晰，也可以通过旋转来解决，会用到特殊角的三角函数值，不要出错． 【解答】解：（1）1+＝2（cos+isin）， ∴复数z的模r＝|z|＝2，∴复数z的辐角+2kπ（k∈Z）； （2）由图可知，复数沿反时针方向转150°后，得到的复数为． 47．【答案】（Ⅰ）BD＝； （Ⅱ）z2＝96+28i． 【分析】（Ⅰ）先由题设求得AC，进而求得sin∠ACB，再在△BCD中利用正弦定理求得BD的长； （Ⅱ）先由（Ⅰ）求得∠ABD的正弦、余弦值，进而求得复数z，再利用复数的乘法运算求得z2． 【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3， ∴AC＝＝5，sin∠ACB＝，cos∠ACB＝， 又在△BCD中，∠BDC＝45°， ∴由正弦定理可得：，即＝，解得：BD＝； （Ⅱ）由（Ⅰ）可得：cos∠ABD＝sin∠DBC＝sin（45°+∠ACB）＝（+）＝， sin∠ABD＝＝， 又复数z的模为10， ∴z＝10（+i）＝7+i， ∴z2＝（7+i）2＝2（7+i）2＝96+28i． 48．【答案】（1）2（cos+isin），复数的模为2，辐角主值为． （2）3（cos+isin），复数的模为3，辐角主值为． （3）2（cos15°+isin15°），复数的模为2，辐角主值为． （4）cos+isin，复数的模为1，辐角主值为． 【分析】根据复数的三角形式运算法则化简，求解复数的模与辐角主值． 【解答】解：（1）2（cos+isin），复数的模为2，辐角主值为． （2）﹣3（cos+isin）＝3（cos+isin），复数的模为3，辐角主值为． （3）2（cos15°+isin165°）＝2（cos15°+isin15°），复数的模为2，辐角主值为． （4）﹣cos+isin＝＝cos+isin，复数的模为1，辐角主值为． 49．【答案】（1）2（cos+isin）； （2）2（cos+isin）； （3）2（cos+isin）； （4）2（cos+isin）． 【分析】根据复数的三角形式为r（cosθ+isinθ），r≥0，化简即可． 【解答】解：（1）＝2（﹣+i）＝2（cos+isin）； （2）＝2（﹣﹣i）＝2（cos+isin）； （3）＝2（cos+isin）； （4）＝2（cos+isin）． 50．【答案】（1））4（）+4（+）i； （2））+ 【分析】由已知结合复数的三角表示即可分别求解． 【解答】解：（1）＝16（cos+isin）＝4（）+4（+）i； （2）＝（cos120°+isin120°）÷（cos60°+isin60°）＝（cos60°+isin60°）＝+ 51．【答案】2i． 【分析】根据复数除法运算的三角表示，即可得解． 【解答】解：原式＝2[cos（﹣）+isin（﹣）]＝2（cos+isin）＝2（0+i）＝2i． 52．【答案】（1）﹣6． （2）﹣+i． （3）2i． （4）2+2i． 【分析】由三角函数的诱导公式和特殊角的三角函数值，即可得出答案． 【解答】解：（1）（cos+isin）×2（cos+isin） ＝6[cos（+）+isin（+）] ＝6（cosπ+sinπ） ＝﹣6． （2）2（cos15°+isin15°）×（﹣+i） ＝2（cos+isin）×（cos+isin） ＝[cos（+）+isin（+）] ＝（cos+isin） ＝×（﹣+i） ＝﹣+i． （3）4（cos+isin）÷[2（cos+isin）] ＝2[cos（﹣）+isin（﹣）] ＝2cos+2isin＝2i． （4）因为1+i＝（cos+isin）， ﹣i＝2[cos（﹣）+isin（﹣）]， 1+i＝2（cos+isin）， 所以原式＝[cos（×3﹣﹣）+isin（×3﹣﹣）]＝2（cos+isin）＝2+2i． 53．【答案】z1＝；． 【分析】利用复数乘法的几何意义得到z1和z2的关系，再利用＝，求解即可得到答案． 【解答】解：由复数乘法的几何意义可得z1•＝z2•， 又＝， 所以z1＝ ＝ ＝ ＝， 所以复数z1的辐角主值为． 54．【答案】（1）3+3i； （2）4﹣4i； （3）﹣9； （4）﹣3+3i． 【分析】直接利用复数的三角形式化代数形式． 【解答】解：（1）3（cos+isin）＝3（+i）＝3+3i； （2）8（cos+isin）＝8（）＝4﹣4i； （3）9（cosπ+isinπ）＝9（﹣1+0）＝﹣9； （4）6（cos+isin）＝6（）＝﹣3+3i． 55．【答案】（1）cos2φ﹣isin2φ； （2）1． 【分析】由已知结合复数的几何表示即可分别化简（1）（2）． 【解答】解：（1）＝＝＝cos2φ﹣isin2φ； （2）＝＝＝1． 56．【答案】（1）i； （2）﹣； （3）﹣2i； （4）． 【分析】利用复数三角形式的运算法则，化简求解即可． 【解答】解：（1）（cos+isin）×（cos+isin） ＝（cos+isin）＝i； （2）（cos+isin）×（cos+isin） ＝（cosπ+isinπ）＝﹣； （3）[12（cos+isin）]÷[6（cos+isin）] ＝2[cos（﹣）+isin（﹣）]＝﹣2i； （4）[（cos+isin）]÷[（cos+isin）] ＝[cos（﹣）+isin（﹣）]＝． 57．【答案】z1＝+i，z2＝[（﹣）+i（+）]或z1＝i，z2＝r（﹣1+i）． 【分析】设z1＝cosθ+isinθ（0≤θ＜2π），由arg（z1﹣）＝可得＝tan＝﹣，从而求角θ；再由arg（）＝求arg（z2），从而写出z1，z2． 【解答】解：设z1＝cosθ+isinθ（0≤θ＜2π）， 则z1﹣＝（cosθ﹣）+isinθ， ∵arg（z1﹣）＝， ∴＝tan＝﹣， 即3sinθ+cosθ＝3， 即sin（θ+）＝， 又∵0≤θ＜2π， ∴θ+＝或θ+＝， 故θ＝或θ＝； 故z1＝+i或z1＝i， ∵arg（）＝， ∴arg（z2）＝+＝或arg（z2）＝+＝， 故z2＝r（cos+isin）＝[（﹣）+i（+）]， 或z2＝r（cos+isin）＝r（﹣1+i）； 综上所述，z1＝+i，z2＝[（﹣）+i（+）]或z1＝i，z2＝r（﹣1+i）． 58．【答案】见试题解答内容 【分析】首先写出m的表示形式，表示出模长，根据均值不等式得到m的最小值，做出其对应的a的值，写出复数的表示式，对于b的取值进行讨论，根据实部和虚部的范围，写出辐角的范围，表示出辐角． 【解答】解：设x0为非零实数，由已知可得： |m|＝|x0+i|＝≥＝3． 当且仅当x0＝±时，|m|取最小值，|a|＝． ∴z＝5﹣5i， ∴（1﹣bi）＝（5+5b）+（5﹣5b）i ①当b＝1时，（1﹣bi）＝10，辐角主值为0． ②当b＞1时，（1﹣bi）的实部大于0，虚部小于0．其辐角主值在（，2π）内， 此时，arg[（1﹣bi）]＝2π+arctg（﹣1） ∵b＞1， ∴﹣1＜﹣1＜0， ∴﹣＜arctg（﹣1）＜0， ∴＜arg[（1﹣bi）]＜2π． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/5/17 15:24:07；用户：Damon；邮箱：13120434074；学号：24730468 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$