第六章 平面向量及其线性运算-高中数学必修第二册精选易错题练习（人教B版2019)

精选易错题练习—【第六章】 平面向量及其线性运算 一．选择题（共32小题） 1．已知直线x+y＝a与圆x2+y2＝4交于A、B两点，O为坐标原点，，则实数a的值为（　　） A．±2 B． C． D． 2．已知向量，线段BC的中点为M，且，则＝（　　） A． B． C． D． 3．已知＝＝（1，），且+＝，则||＝（　　） A．2 B．2 C．2 D．4 4．已知单位向量，满足•＝0，若向量＝+，则sin＜，＞＝（　　） A． B． C． D． 5．如图所示，△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则＝（　　） A． B． C． D． 6．已知非零向量，，则“”是“”成立的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，∠BAC＝135°，D为边BC的中点，且，则向量的模为（　　） A． B． C．或 D．或 8．已知向量，，D，E是线段BC上两点，且，，则向量与的关系是（　　） A． B． C． D．与成60°夹角 9．如图，在△ABC中，点Q为线段AC上靠近点A的三等分点，点P为线段BQ上靠近点B的三等分点，则＝（　　） A． B． C． D． 10．在四边形ABCD中，若，且|，则这个四边形是（　　） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．等腰梯形 11．如图，△ABC是边长为2的正三角形，点O是中心，D、E、F分别是各边的中点，则在＝++λ中，实数λ＝（　　） A．﹣ B． C．﹣ D． 12．已知在Rt△ABC中，A＝，AB＝3，AC＝4，P为BC上任意一点（含B，C），以P为圆心，1为半径作圆，Q为圆上任意一点，设＝a+b，则a+b的最大值为（　　） A． B． C． D． 13．已知向量||＝||＝||＝1，且＝，则|+2|＝（　　） A．1 B． C．2 D．3 14．已知向量，，若m+n＝1，则|的最小值为（　　） A． B． C． D． 15．如图，已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，P是边BD上任一点（包括点B、D），则|+|的最小值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．2 16．已知四边形ABCD是矩形，AB＝2AD，，，λ+μ＝1，AE⊥AF，则＝（　　） A． B． C． D． 17．如图，、、的终点A、B、C在一条直线上，且＝﹣3，则以下等式成立的是（　　） A．＝﹣+ B．＝﹣+2 C．＝﹣ D．＝﹣2 18．在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点，＝﹣3，则（　　） A．＝﹣+ B．＝﹣+ C．＝﹣ D．＝﹣ 19．已知△ABC的一内角，O为△ABC所在平面上一点，满足|OA|＝|OB|＝|OC|，设，则m+n的最大值为（　　） A． B．1 C． D．2 20．已知是单位向量，且夹角为60°，若向量满足，则的最大值为（　　） A． B．1 C． D．2 21．已知点A（1，1），B（2，1），C（1，2），若﹣1≤λ≤2，2≤μ≤3，则的取值范围是（　　） A．[1，10] B． C．[1，5] D． 22．设，是非零向量，则“存在实数λ，使得＝λ”是“|+|＝||+||”的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 23．向量＝（2，﹣9），向量＝（﹣3，3），则与﹣同向的单位向量为（　　） A．（，﹣） B．（﹣，） C．（，﹣） D．（﹣，） 24．如图，△ABC是边长为2的正三角形，点O是中心，D、E、F分别是各边的中点，则下列等式不成立的是（　　） A．＝﹣ B．＝+ C．＝﹣ D．＝+ 25．若，是两个不共线的向量，已知，，，若M，N，Q三点共线，则k＝（　　） A．﹣1 B．1 C． D．2 26．已知点O是平行四边形ABCD的对角线的交点，则（　　） A． B． C．∥ D． 27．已知向量，则向量的模为（　　） A． B．4 C．2 D． 28．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为线段A1B，A1C上的点，则“且”是“M，N，D1三点共线”的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 29．如图，四边形ABCD是平行四边形，那么等于（　　） A． B． C． D． 30．设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（　　） A．k＝0 B．k＝±2 C．k＝2 D．k＝﹣2 31．＝是四边形ABCD构成平行四边形的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 32．已知空间中两条不同的直线m，n，其方向向量分别为，，则“，共线”是“直线m，n平行”的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 二．多选题（共1小题） （多选）33．下列结果为零向量的是 （　　） A． B． C． D． 三．填空题（共16小题） 34．已知向量，且满足，则t＝　 　． 35．已知＝+2，且以AB、AD为邻边的平行四边形的面积为8cm2，那么，四边形ABCD面积为　 　cm2． 36．已知向量＝（2，5），＝（λ，4），若∥，则λ＝　 　． 37．若，是两个不共线的向量，已知＝﹣2，＝2+k，＝3﹣，若M，N，Q三点共线，则k＝　 　． 38．△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数m＝　 　． 39．已知＝（1，0），＝（1，1），（x，y）＝，若0≤λ≤1≤μ≤2时，z＝+（m＞0，n＞0）的最大值为2，则m+n的最小值为　 　． 40．设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ＝　 　． 41．已知向量＝（sinθ，1），＝（﹣sinθ，0），＝（cosθ，﹣1），且（2﹣）∥，则tanθ等于　 　． 42．在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC．已知点A（﹣2，0），B（6，8），C（8，6），则D点的坐标为 　 　． 43．在平行四边形ABCD中，A（1，2），B（﹣2，0），，则点D的坐标为　 　． 44．已知向量＝（﹣1，﹣3），＝（2，t），且∥，则﹣＝　 　． 45．已知向量＝（﹣3，4），＝2，点A的坐标为（3，﹣4），则点B的坐标为 　 　． 46．向量，且，则的坐标为　 　． 47．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，若，则m+n＝　 　． 48．设是不共线的两个向量，．若A，B，D三点共线，则k的值为 　 　． 49．给出下列命题： ①若，则； ②若k∈R，则； ③若非零向量、满足，则； ④已知非零向量、、，若，则． ⑤设，是不共线向量，与共线，则实数k＝﹣4 其中真命题的序号是 　 　． 四．解答题（共2小题） 50．已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与＝（3，﹣1）共线． （Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且＝λ+μ（λ，μ∈R），证明λ2+μ2为定值． 51．在△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，且＝+，求△DBE与△ABC的面积比． 精选易错题练习—【第六章】 平面向量及其线性运算 参考答案与试题解析 一．选择题（共32小题） 1．【答案】D 【分析】根据已知条件得到△AOB为等边三角形，进而求得O到直线AB的距离，即可求解结论． 【解答】解：∵直线x+y＝a与圆x2+y2＝4交于A、B两点，O为坐标原点，， ∴||＝||＝2， ∴+2＝3（﹣2）⇒＝2⇒cos∠AOB＝⇒∠AOB＝60°⇒△AOB为等边三角形， 故O到直线AB的距离为：|OA|＝＝⇒a＝±， 故选：D． 2．【答案】A 【分析】根据条件得出，然后两边平方即可求出的值，然后根据求出即可． 【解答】解：∵线段BC的中点为M， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴＝132﹣12＝120， ∴． 故选：A． 3．【答案】A 【分析】结合向量的概念求出△ABC是等边三角形，从而求出||的值． 【解答】解：如图示： ， ∵＝＝（1，）， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又+＝， ∴∠DAB＝120°，且四边形ABCD是菱形， ∴△ABC是等边三角形， ∴||＝||＝＝2， 故选：A． 4．【答案】B 【分析】由已知结合向量数量积的定义及向量数量积性质可求cos＜＞，然后结合同角平方关系即可求解． 【解答】解：＝•（）＝+＝， ||＝＝＝＝3， 所以cos＜＞＝＝＝， 所以sin＜＞＝． 故选：B． 5．【答案】B 【分析】根据点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点即可得出：＝，然后进行向量的数乘运算即可． 【解答】解：据题意，＝＝． 故选：B． 6．【答案】B 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合向量的模的定义，数量积的性质和运算律判断． 【解答】解：若非零向量，满足，则，， 故“”是“”成立的必要条件， 若，两边同时平方可得，，， 令，时，满足非零向量，且，成立，但． 故“”不是“”成立的充分条件， 综上所述，“”是“”成立的必要不充分条件． 故选：B． 7．【答案】B 【分析】由已知利用平面向量数量积的运算可求＝﹣8，由题意利用平面向量的运算可得＝﹣+，由向量模的运算即可得解． 【解答】解：因为AB＝4，AC＝2，∠BAC＝135°， 所以＝﹣8， 因为＝﹣＝（）﹣＝﹣+， 所以||＝＝＝． 故选：B． 8．【答案】A 【分析】利用向量的加法求出与，根据坐标关系求出即可． 【解答】解：＝， ＝（3，4）， 所以， 故选：A． 9．【答案】B 【分析】根据条件可得出，，然后根据向量加法和减法的几何意义，以及向量的数乘运算即可用表示出． 【解答】解：根据题意，＝＝＝＝＝． 故选：B． 10．【答案】D 【分析】利用向量的共线、等腰梯形的定义即可判断出结论． 【解答】解：∵，且||＝， ∴DC∥AB，DC≠AB，AD＝BC． 则这个四边形是等腰梯形． 故选：D． 11．【答案】D 【分析】过O作OM∥BC，交AC于M，过O作ON∥AC，交BC于N，则+＝＝，从而＝＝＝，由此能求出λ． 【解答】解：过O作OM∥BC，交AC于M，过O作ON∥AC，交BC于N， ∵△ABC是边长为2的正三角形，点O是中心，D、E、F分别是各边的中点， ∴+＝＝， ∵＝++λ， 又＝， ∴＝＝＝， ∴λ＝． 故选：D． 12．【答案】C 【分析】直接利用向量的坐标运算和平面向量的基本定理的应用求出结果． 【解答】解：利用平面向量基本定理，向量的坐标量的应用等和定理的应用， 过圆上离BC最远点作切线MN与BC平行，过点A作AK⊥BC交MN于K， 交BC于Q， 则AQ＝． 如图所示： 所以：a+b的最大值为：． 故选：C． 13．【答案】B 【分析】结合图形以及向量的运算求出向量的模即可． 【解答】解：∵向量||＝||＝||＝1，且＝， ∴分别以，，的模为边构成等边三角形， 如图示： ， ∴＝+4•+4＝1+4•1•1•cos120°+4＝3， ∴|+2|＝， 故选：B． 14．【答案】C 【分析】根据题意，由向量的坐标计算公式可得的坐标，由向量模的公式可得||＝，由基本不等式的性质可得≥（）2＝，即m2+n2≥；即可得答案． 【解答】解：根据题意，向量， 则＝m﹣n＝（3m+n，m﹣3n）， ||＝＝， 又由m+n＝1， 则有≥（）2＝，即m2+n2≥； 故||＝≥， 即||的最小值为； 故选：C． 15．【答案】C 【分析】根据题意，将|+|写成，其中x＝且x∈[0，5]，再由二次函数的性质即可得结论． 【解答】解：根据题意，可得|+|＝ ＝ ＝ 又矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3， 设＝x，则x∈[0，5]， 从而上式为 ＝， 显然当x＝5时，|+|取最小值为＝5， 故选：C． 16．【答案】C 【分析】根据已知条件，先求出，，再结合向量数乘，即可求解． 【解答】解：∵＝＝， ＝， 又∵， ∴＝•＝， ∵AE⊥AF， ∴1+3λ＝0，解得，， 又∵四边形ABCD是矩形，AB＝2AD， ∴＝＝+＝， ∴＝． 故选：C． 17．【答案】A 【分析】利用向量的三角形法则即可得出． 【解答】解：如图所示 ∵＝﹣3， ∴＝﹣3， 可得：＝﹣+． 故选：A． 18．【答案】A 【分析】由题意知＝﹣，＝（+），从而求． 【解答】解：∵＝﹣3， ∴＝＝﹣， ∴＝＝（+）， ∴＝+＝（+）﹣＝+， 故选：A． 19．【答案】A 【分析】由条件知O为△ABC外接圆的圆心，设，利用B，C，D三点共线，建立方程关系进行转化求解即可． 【解答】解：由题意可知，O为△ABC外接圆的圆心，如图所示，在圆O中，弧CAB所对的圆心角为，点A，B为定点，点C为优弧上的动点， 则点A，B，C，O满足题中的已知条件，延长AO交BC于点D 设，由题意可知：＝＝+， 由于B，C，D三点共线，据此可得：，则m+n＝λ， 则m+n的最大值即的最大值， 由于为定值，故最小时，m+n取得最大值， 由几何关系易知当AB＝AC是，取得最小值，此时． 故选：A． 20．【答案】C 【分析】设＝（x，y），不妨设＝（1，0），＝．可得，利用向量满足，可得＝．可得圆心C，半径r．可得的最大值为+r． 【解答】解：设＝（x，y），不妨设＝（1，0），＝． 则＝． ∵向量满足， ∴＝． 可得圆心C． ＝1， ∴的最大值为1+＝． 故选：C． 21．【答案】D 【分析】用坐标表示出λ+μ以及模长，根据λ、μ的取值范围，转化为不等式组表示的平面区域内的点到原点的距离最值问题，即可求出答案． 【解答】解：∵＝（1，0），＝（0，1）， ∴λ+μ＝（λ，μ）， ∴|λ+μ|＝； 又∵﹣1≤λ≤2，2≤μ≤3， ∴λ、μ满足不等式组， 作出不等式组对应的平面区域，得到如图所示的矩形CDEF及其内部区域， 其中C（2，2），D（2，3），E（﹣1，3），F（﹣1，2）， 则区域内的点到原点的距离最小值为|OP|＝2， 最大值为|OD|＝＝； ∴的取值范围是[2，]． 故选：D． 22．【答案】B 【分析】根据向量数量积的应用，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【解答】解：若“|+|＝||+||”， 则平方得||2+2•+||2＝||2+||2+2||•||， 即•＝||•||， 即•＝||||cos＜，＞＝||•||， 则cos＜，＞＝1， 即＜，＞＝0，即，同向共线，则存在实数λ，使得＝λ， 反之当＜，＞＝π时，存在λ＜0，满足＝λ，但“|+|＝||+||”不成立， 即“存在实数λ，使得＝λ”是“|+|＝||+||”的必要不充分条件， 故选：B． 23．【答案】A 【分析】先用坐标运算求﹣的坐标，用待定系数法，据共线向量的充要条件和模的坐标公式列方程解． 【解答】解：∵向量＝（2，﹣9），向量＝（﹣3，3）， ∴﹣＝（5，﹣12）， 设与﹣平行的单位向量＝（x，y）， 则﹣＝λ，＝1 ∴x＝5λ，y＝﹣9λ，x2+y2＝1， 解得λ＝13，x＝，y＝， 故选：A． 24．【答案】C 【分析】利用向量加法定理直接求解． 【解答】解：如图，△ABC是边长为2的正三角形，点O是中心，D、E、F分别是各边的中点， 在A中，＝＝＝﹣，故A正确； 在B中，＝＝+，故B正确； 在C中，＝﹣＝﹣（﹣），故C错误； 在D中，过点O作OM∥BD，交AB于M，过O作ON∥AB，交BC于N， 由题意得BM＝BA，BM＝， ∴＝，故D正确． 故选：C． 25．【答案】B 【分析】用向量、表示，根据M、N、Q三点共线得出，利用共线定理列方程组求出λ、k的值． 【解答】解：由题意知，， 因为M，N，Q三点共线， 所以， 即， 所以， 解得λ＝1，k＝1． 故选：B． 26．【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质以及向量共线即可求解结论． 【解答】解：∵四边形ABCD为▱， 如图： 故＝﹣，＝，∥，故AB错，C对， 又因为平行四边形对角线不一定相等，故D错． 故选：C． 27．【答案】C 【分析】首先求得向量的坐标，再利用坐标进行计算． 【解答】解：由， 可得， 则． 故选：C． 28．【答案】B 【分析】由题意，分别判断充分性和必要性是否成立即可． 【解答】解：设＝，＝，＝，则＝﹣＝﹣， 又，所以＝＝（﹣）， ＝+＝﹣+（﹣）＝（﹣3﹣）． 因为＝+＝﹣+＝﹣+，， 所以＝＝（﹣+）， 所以＝+＝﹣+（﹣+）＝（﹣3﹣）， 所以＝， 又D1是直线D1M和D1N的公共点， 所以D1M和D1N 共线，即M，N，D三点在一条直线上，充分性成立． 又知M，N，D共线无法确定＝，且＝，必要性不成立． 所以是充分不必要条件． 故选：B． 29．【答案】A 【分析】由已知结合向量减法的三角形法则即可求解． 【解答】解：因为四边形ABCD是平行四边形， 那么＝． 故选：A． 30．【答案】B 【分析】根据向量共线定理即可求解结论． 【解答】解：∵，是两个不共线的向量，向量与向量共线， ∴存在实数x，使得＝x， 即﹣+k＝kx﹣4x， 可得，解得k＝±2． 故选：B． 31．【答案】C 【分析】利用平行四边形的判定定理、向量相等的性质即可判断出结论． 【解答】解：四边形ABCD构成平行四边形⇒＝， ＝且有四边形ABCD，∴四边形ABCD是平行四边形 ∴＝是构成四边形ABCD为平行四边形的充要条件． 故选：C． 32．【答案】C 【分析】根据已知条件，结合向量共线的性质，以及充分条件、必要条件的定义，即可求解． 【解答】解：“，共线”能互推“直线m，n平行”， 故“，共线”是“直线m，n平行”的充分必要条件． 故选：C． 二．多选题（共1小题） 33．【答案】BCD 【分析】利用向量的线性运算法则逐个判断各个选项即可． 【解答】解：对于选项A，﹣（+）＝﹣＝2，故选项A错误， 对于选项B，﹣+＝+＝，故选项B正确， 对于选项C，﹣+＝+＝，故选项C正确， 对于选项D，++﹣＝+＝，故选项D正确， 故选：BCD． 三．填空题（共16小题） 34．【答案】﹣1． 【分析】先求出向量，再利用向量模的坐标公式即可求解． 【解答】解：根据向量坐标运算得， 故（3t+3）2+（t﹣4）2＝25， 解得t＝0或t＝﹣1． 又因为t≠0， 所以t＝﹣1． 故答案为：﹣1． 35．【答案】见试题解答内容 【分析】由＝+2，且以AB、AD为邻边的平行四边形ABED的面积为8cm2，得到四边形ABCD中，AD∥BC，且BC＝2AD，从而＝4，由此能求出四边形ABCD面积． 【解答】解：如图，∵＝+2，且以AB、AD为邻边的平行四边形ABED的面积为8cm2， ∴四边形ABCD中，AD∥BC，且BC＝2AD， ∴＝4， ∴四边形ABCD面积为： S四边形ABCD＝S平行四边形ABED+S△DEC＝8+4＝12（cm2）． 故答案为：12． 36．【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意，由∥，可得关于λ的方程，再求出λ即可． 【解答】解：因为＝（2，5），＝（λ，4），∥， 所以8﹣5λ＝0，解得λ＝． 故答案为：． 37．【答案】1． 【分析】利用向量共线定理即可得出． 【解答】解：由题意知，， 因为M，N，Q三点共线， 故， 即， 解得λ＝1，k＝1． 故答案为：1． 38．【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意作出图形，由外心和垂心的性质证明四边形AHCD是平行四边形，由向量加法的三角形法则得＝+，由向量相等和向量的减法运算进行转化，直到用、和表示出来为止． 【解答】解：如图：作直径BD，连接DA、DC， 由图得，＝﹣， ∵H为△ABC的垂心，∴CH⊥AB，AH⊥BC， ∵BD为直径，∴DA⊥AB，DC⊥BC ∴CH∥AD，AH∥CD，故四边形AHCD是平行四边形，∴＝ 又∵＝﹣＝+， ∴＝+＝+＝++，对比系数得到m＝1． 故答案为：1． 39．【答案】见试题解答内容 【分析】化简可得（x，y）＝λ（1，0）+μ（1，1），从而可得x＝λ+μ，y＝μ；从而可得+＝1；再化简（m+n）（+）＝+1++，从而利用基本不等式求最小值． 【解答】解：∵＝（1，0），＝（1，1）， ∴（x，y）＝λ（1，0）+μ（1，1）， ∴x＝λ+μ，y＝μ； z＝+＝+， ∵0≤λ≤1≤μ≤2，z＝+（m＞0，n＞0）的最大值为2， ∴+＝2，即+＝1； 故（m+n）（+）＝+1++≥+2＝+； （当且仅当＝时，等号成立）． 故答案为：+． 40．【答案】见试题解答内容 【分析】利用向量平行的条件直接求解． 【解答】解：∵向量，不平行，向量λ+与+2平行， ∴λ+＝t（+2）＝， ∴，解得实数λ＝． 故答案为：． 41．【答案】见试题解答内容 【分析】2﹣＝（3sinθ，2），利用向量共线定理即可得出． 【解答】解：2﹣＝（3sinθ，2）， ∵（2﹣）∥，∴﹣3sinθ﹣2cosθ＝0， 解得tanθ＝﹣． 故答案为：﹣． 42．【答案】见试题解答内容 【分析】由四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC，和三个点的坐标，可以先设出点的坐标，根据两条对角线交于一点，用中点坐标公式得到结果． 【解答】解：设D（x，y）， ∵AC与BD中点相同 ∴﹣2+8＝6+x， ∴x＝0 又0+6＝8+y，y＝﹣2 ∴D＝（0，﹣2）， 故答案为：（0，﹣2）． 43．【答案】见试题解答内容 【分析】可设C（x，y），D（s，t），从而根据条件得出（x﹣1，y﹣2）＝（2，﹣3），从而可求出，即C（3，﹣1），并可求出，根据即可求出点D的坐标． 【解答】解：设C（x，y），D（s，t），则： ； ∴； ∴； ∴C（3，﹣1）； 又，； ∴（3﹣s，﹣1﹣t）＝（﹣3，﹣2）； ∴； ∴； ∴点D的坐标为（6，1）． 故答案为：（6，1）． 44．【答案】见试题解答内容 【分析】利用向量共线的充要条件列出方程求出t，然后求解即可． 【解答】解：向量＝（﹣1，﹣3），＝（2，t），且∥， 可得﹣t＝﹣6，解得t＝6． 则﹣＝（﹣3，﹣9）． 故答案为：（﹣3，﹣9）； 45．【答案】（﹣3，4） 【分析】直接利用向量的线性运算的应用求出结果． 【解答】解：设， 由于向量＝（﹣3，4），＝2＝（﹣6，8）， 故＝（x，y）﹣（3，﹣4）＝（﹣6，8）， 整理得x＝﹣3，y＝4． 故答案为：（﹣3，4）． 46．【答案】见试题解答内容 【分析】根据向量共线求出向量，再根据向量的运算即可求出． 【解答】解：向量， 设＝λ＝（λ，2λ）， ∵， ∴＝2， 解得λ＝±2， 则＝（2，4），或＝（﹣2，﹣4）， ∴＝﹣＝（3，6）或（﹣1，﹣2） 故答案为：（3，6）或（﹣1，﹣2）． 47．【答案】． 【分析】把，作为基底，直接表示出，得到＝，再利用向量相等得到m，n的值即可求出m+n． 【解答】解：由题意，＝ ＝＝， ∴，，∴． 故答案为：． 48．【答案】见试题解答内容 【分析】根据向量减法的几何意义及向量的数乘运算得出，且得出，根据A，B，D三点共线得出共线，从而得出，然后根据平面向量基本定理即可求出k的值． 【解答】解：，∵不共线，∴， ∵A，B，D三点共线，∴与共线， ∴存在实数λ，使， ∴， ∴，解得k＝﹣4． 故答案为：﹣4． 49．【答案】①③④． 【分析】对于①，可得出，从而判断①正确；对于②，，从而判断②错误；对于③，对两边平方即可判断③正确；对于④，可得出，，然后根据向量数量积的计算公式可判断④正确；对于⑤，可得出，从而得出﹣4k＝1，然后判断⑤错误． 【解答】解：∵，∴，∴，①正确； ，②错误； ∵，∴，∴，∴，③正确； ∵，∴，∴，，∴＝，④正确； ∵与共线，且，与不共线，∴﹣4k＝1，，⑤错误． 故答案为：①③④． 四．解答题（共2小题） 50．【答案】见试题解答内容 【分析】（Ⅰ）直线与椭圆方程联立用韦达定理的A、B两点坐标的关系，据向量共线的条件得椭圆中a，b，c的关系，从而求得椭圆的离心率 （Ⅱ）用向量运算将λμ用坐标表示，再用坐标的关系求出λ2+μ2的值． 【解答】解：（1）设椭圆方程为 则直线AB的方程为y＝x﹣c，代入， 化简得（a2+b2）x2﹣2a2cx+a2c2﹣a2b2＝0． 令A（x1，y1），B（x2，y2）， 则． ∵与共线， ∴3（y1+y2）+（x1+x2）＝0，又y1＝x1﹣c，y2＝x2﹣c， ∴3（x1+x2﹣2c）+（x1+x2）＝0， ∴． 即， 所以a2＝3b2． ∴， 故离心率． （II）证明：由（1）知a2＝3b2， 所以椭圆可化为x2+3y2＝3b2． 设M（x，y）， 由已知得（x，y）＝λ（x1，y1）+μ（x2，y2）， ∴ ∵M（x，y）在椭圆上， ∴（λx1+μx2）2+3（λy1+μy2）2＝3b2． 即λ2（x12+3y12）+μ2（x22+3y22）+2λμ（x1x2+3y1y2）＝3b2．① 由（1）知． ∴， ∴x1x2+3y1y2＝x1x2+3（x1﹣c）（x2﹣c）＝4x1x2﹣3（x1+x2）c+3c2＝＝0． 又x12+3y12＝3b2，x22+3y22＝3b2， 代入①得λ2+μ2＝1． 故λ2+μ2为定值，定值为1． 51．【答案】见试题解答内容 【分析】先用、结合条件表示向量，于是能得到和的值，然后利用三角形的面积公式可求出△DBE与△ABC的面积的比值． 【解答】解：如下图所示， ＝，∴，， 因此，＝． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/5/17 14:50:29；用户：Damon；邮箱：13120434074；学号：24730468 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$