第六章 向量基本定理与向量的坐标-高中数学必修第二册精选易错题练习（人教B版2019)

精选易错题练习—【第六章】 向量基本定理与向量的坐标 一．选择题（共22小题） 1．已知向量，，且与平行，则m＝（　　） A． B． C． D． 2．如图，在平行四边形ABCD中，设，，若点E在CD上，且，则　　） A． B． C． D． 3．已知平行四边形ABCD中，，C（5，3），则点D的坐标为（　　） A．（2，﹣1） B．（﹣4，﹣1） C．（4，1） D．（6，5） 4．在下列各组向量中，可以作为基底的是（　　） A． B． C． D． 5．在△ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，若＝，＝，则等于（　　） A．（+） B．（﹣） C．（﹣） D．﹣（+） 6．已知平面向量满足．若，则k＝（　　） A．﹣2 B． C． D．2 7．如图，设Ox，Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对（x，y）叫做向量在坐标系xOy中的坐标．若＝（1，2），＝（3，4），则||＝（　　） A． B．2 C． D．4 8．下列向量中与共线的是（　　） A． B． C． D．（1，2） 9．在▱ABCD中，，，若，则实数λ+μ等于（　　） A． B． C． D． 10．点C在线段AB上，且，则下列选项正确的是（　　） A． B． C． D． 11．已知向量，，若，则m＝（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 12．在等腰梯形ABCD中，AB＝2CD，若＝，＝，则＝（　　） A． B． C． D． 13．若是平面内的一组基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（　　） A． B．2 C． D． 14．设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能构成基底的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 15．已知G为△ABC的重心，线段AB上一点N满足与AG相交于点M，则＝（　　） A． B． C． D． 16．已知点A，B，C，D为平面内不同的四点，若，且，则＝（　　） A．（4，﹣2） B．（﹣4，2） C．（6，﹣3） D．（﹣6，3） 17．已知A（﹣1，2），B（2，﹣1），若点C满足＝，则点C坐标为（　　） A．（，） B．（﹣3，3） C．（3，﹣3） D．（﹣4，5） 18．设平面向量＝（1，2），＝（2，y），若，则|2+|＝（　　） A． B．4 C． D．5 19．已知向量＝（2，1），＝（3，m），若（﹣）⊥，则•等于（　　） A．1 B．2 C．5 D．﹣1 20．已知向量，满足＝（2，0），．△ABC，＝2+2，﹣6，D为BC边的中点，则＝（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 21．已知向量＝（2，1），+＝（1，k），若∥，则实数k＝（　　） A． B．﹣2 C．﹣7 D．3 22．在△ABC中，，P为BD上一点，若，则实数λ的值为（　　） A． B． C． D． 二．多选题（共8小题） （多选）23．已知向量，，则（　　） A． B．∥ C． D．⟨⟩＝180° （多选）24．在△ABC中，AC＝3，AB＝5，∠A＝120°，点D是BC边上一点，且，则下列说法正确的是（　　） A．BC＝7 B．若x＝y＝0.5，则 C．若，则x＝y＝0.5 D．当AD取得最小值时， （多选）25．下列说法正确的是（　　） A．若点G是△ABC的重心，则 B．已知，，若，则x＝﹣1 C．已知A，B，C三点不共线，B，C，M三点共线，若，则 D．已知正方形ABCD的边长为1，点M满足，则 （多选）26．已知向量，则（　　） A． B． C．若，则α+β＝2kπ（k∈Z） D． （多选）27．下列两个向量，能作为基底向量的是（　　） A． B． C． D． （多选）28．已知向量，若，则x等于（　　） A．0 B．﹣1 C．1 D．﹣2 （多选）29．如图，在△ABC中，若点D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，设AD，BE，CF交于一点O，则下列结论中成立的是（　　） A． B． C． D． （多选）30．已知＝（﹣2，4），则下面说法正确的是（　　） A．A点的坐标是（﹣2，4） B．B点的坐标是（﹣2，4） C．当B是原点时，A点的坐标是（2，﹣4） D．当A是原点时，B点的坐标是（﹣2，4） 三．填空题（共8小题） 31．已知，若∥，则tanα＝　 　． 32．若平面向量与＝（1，﹣1）方向相同，且，则的坐标等于 　 　． 33．在梯形ABCD中，AB∥DC，DC＝2AB，E为AD中点，若，则λ+μ＝　 　． 34．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD边上，点F在CD边上，且AE＝ED，DF＝λFC，AF与BE相交于点G，若，则实数λ＝　 　． 35．已知向量，是一组基底，实数x，y满足（3x﹣4y）+（2x﹣3y）＝6+3，则x﹣y的值为 　 　． 36．在△ABC中，D为AC上一点且满足，若P为BD的中点，且满足，则λ+μ的值是 　 　． 37．已知向量．若非零实数m，n满足，则＝　 　． 38．已知向量，则＝　 　． 四．解答题（共12小题） 39．如图，在△OAB中，C是AB的中点，D是线段OB上靠近点O的四等分点，设，． （1）若OA长为2，OB长为8，，求CD的长； （2）若E是OC上一点，且，试判断A，D，E三点是否共线？并说明你的理由． 40．已知在△ABC中，N是边AB的中点，且，设AM与CN交于点P．记，． （1）用，表示向量，； （2）若，，求的余弦值． 41．已知向量，． （1）若，求； （2）若向量，，求与夹角的余弦值． 42．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E为AD的中点． （1）用表示； （2）用表示． 43．如图，在△ABC中，＝，＝．设＝，＝． （Ⅰ）用，表示，； （Ⅱ）若P为△ABC内部一点，且＝+．求证：M，P，N三点共线． 44．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量且∥． （1）求角A； （2）若，求△ABC内切圆的半径． 45．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），B（3，2），C（2，5），点P满足． （Ⅰ）当λ＝1，μ＝﹣1时，求点P的坐标； （Ⅱ）若AP⊥BC，求的值． 46．如图1所示，在△ABC中，点D在线段BC上，满足，G是线段AB上的点，且满足3＝2，线段CG与线段AD交于点O． （1）若＝t，求实数t； （2）如图2所示，过点O的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，； （i）求λμ的最大值； （ii）设△AEF的面积为S1，四边形BEFC的面积为S2，求的取值范围． （参考公式：△ABC的面积） 47．在△ABC中，＝，点M是BC边上靠近B的三等分点，点N满足3，AM与CN交于点P，用表示． 48．已知平面向量，，x∈R． （1）若，求； （2）若与的夹角为锐角，求x的取值范围． 49．如图1所示，在△ABC中，点D在线段BC上，满足，G是线段AB上的点，且满足，线段CG与线段AD交于点O． （1）若，求实数x，y的值； （2）若，求实数t的值； （3）如图2，过点O的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，； （ⅰ）求λμ的最大值； （ⅱ）设△AEF的面积为S1，四边形BEFC的面积为S2，求的取值范围． 50．如图，在△ABC的边上做匀速运动的点D，E，F，当t＝0时分别从点A，B，C出发，各以定速度向点B，C，A前进，当t＝1时分别到达点B，C，A． （1）记，点G为三角形ABC的重心，试用向量线性表示．（注：三角形的重心为三角形三边中线的公共点） （2）若△ABC的面积为S，求△DEF的面积的最小值． （3）试探求在运动过程中，△DEF的重心如何变化？并说明理由． 精选易错题练习—【第六章】 向量基本定理与向量的坐标 参考答案与试题解析 一．选择题（共22小题） 1．【答案】A 【分析】结合向量共线的性质，即可求解． 【解答】解：，， 则，， 则4（3﹣m）＝3+2m，解得． 故选：A． 2．【答案】B 【分析】根据平面向量基本定理，即可解出． 【解答】解：由， ∴， ＝﹣， 故选：B． 3．【答案】C 【分析】利用向量的相等，再结合平面向量的坐标表示，列出方程组求解即可． 【解答】解：设D（x，y）， ∵四边形ABCD为平行四边形，∴＝， ∴（1，2）＝（5﹣x，3﹣y）， ∴，∴， 则点D的坐标为（4，1）， 故选：C． 4．【答案】B 【分析】由已知结合向量共线的坐标表示检验各选项即可判断． 【解答】解：因为为零向量，不能作为基底，A错误； 因为﹣1×1﹣2×2≠0，即与为不共线的非零向量，可以作为基底，B正确； 因为＝2，即，不能作为一组基，C错误； ，即，不能作为一组基，D错误． 故选：B． 5．【答案】C 【分析】由向量的线性运算即可求解． 【解答】解：由题意可得＝﹣＝﹣＝（﹣）． 故选：C． 6．【答案】D 【分析】根据已知条件，结合向量共线的性质，即可求解． 【解答】解：， 则，， ， 则，解得k＝2． 故选：D． 7．【答案】C 【分析】由平面向量的基本定理，可得＝2（+），再由||＝2，求解即可． 【解答】解：由题意知，＝+2，＝3+4， 所以＝﹣＝2+2＝2（+）， 所以||＝2＝2＝2＝2． 故选：C． 8．【答案】B 【分析】结合向量共线的性质，即可求解． 【解答】解：对于A，，二者不共线，故A错误； 对于B，，二者共线，故B正确； 对于C，，二者不共线，故C错误； 对于D，2×2≠（﹣3）×1，二者不共线，故D错误． 故选：B． 9．【答案】C 【分析】直接利用向量的线性运算求出结果． 【解答】解：如图所示：由于，， 故，＝， 故， 所以． 故选：C． 10．【答案】A 【分析】根据向量的数乘运算即可得到结论． 【解答】解：由点C在线段AB上，且， 可得， 由向量数乘运算的定义可知， ，，，故BCD均不正确． 故选：A． 11．【答案】D 【分析】根据已知条件，结合向量共线的性质，即可求解． 【解答】解：向量，， 则＝（m+2，2m﹣5），， ， 则（m+2）（3﹣2m）＝（2m﹣5）（﹣m），解得m＝1． 故选：D． 12．【答案】A 【分析】由题意得，，然后根据向量的线性表示即可求解． 【解答】解：等腰梯形ABCD中，AB＝2CD， 则， 若＝，＝， 则＝＝﹣+＝． 故选：A． 13．【答案】D 【分析】结合向量的共线定理及平面向量基本定理检验各选项即可判断． 【解答】解：因为与共线，A不符合题意； 假设2+＝2（），则与共线，B不符合题意； ＝﹣2（），即与共线，C不符合题意； 不存在实数λ，使得＝λ（），即与不共线，D符合题意． 故选：D． 14．【答案】B 【分析】当两向量不共线时，可作为基底，据此判断即可． 【解答】解：对于A，可设+＝λ（），可知λ＝2且λ＝﹣1，显然不成立，所以这两个向量可作为基底， 同理可知，C，D选项中的两个向量都可构成基底； 对于B，﹣6＝﹣2（﹣），所以这两个向量不构成基底． 故选：B． 15．【答案】B 【分析】根据题意，设，以为基底，将、表示为的线性组合，利用向量平行的条件建立关于λ的等式，解之即可得到本题的答案． 【解答】解：因为G为△ABC的重心，所以点G在中线AD上，且满足， 结合，可得， 设，0＜λ＜1，则，可得＝（﹣1）+， 因为，所以＝， 由，得，解得，即，可得＝． 故选：B． 16．【答案】A 【分析】由已知结合向量线性运算的坐标表示即可求解． 【解答】解：若，则+＝， 即＝ 因为，则＝（﹣2，1）， ＝＝（2，﹣1）+（2，﹣1）＝（4，﹣2）． 故选：A． 17．【答案】D 【分析】设点C（x，y），由平面向量的坐标表示与运算性质，列方程组求出点C的坐标． 【解答】解：设C（x，y），由A（﹣1，2），B（2，﹣1），得＝（x+1，y﹣2），＝（3，﹣3）； 又＝，∴＝﹣， 即，解得； ∴点C坐标为（﹣4，5）． 故选：D． 18．【答案】B 【分析】根据即可求出y＝4，从而得出，进而得出的坐标，从而可求出的值． 【解答】解：∵； ∴y﹣4＝0； ∴y＝4； ∴； ∴； ∴． 故选：B． 19．【答案】C 【分析】根据条件得出＝5． 【解答】解：∵（﹣）⊥，∴（﹣）•＝0， ∴＝22+12＝5． 故选：C． 20．【答案】A 【分析】表示出，代入向量，，然后求出，即可． 【解答】解：因为向量，满足＝（2，0），． △ABC，＝2+2，﹣6，D为BC边的中点， 所以＝（）＝2﹣2＝（1，﹣）， ＝ 故选：A． 21．【答案】A 【分析】用向量的加减法运算求出，再用向量共线的充要条件得方程解． 【解答】解：∵＝（2，1），＝（1，k） ∴＝（﹣1，k﹣1） ∵ ∴2（k﹣1）﹣（﹣1）×1＝0 ∴ 故选：A． 22．【答案】D 【分析】利用三点共线的等价条件进行求解即可． 【解答】解：∵， ∴由，得＝+2λ， ∵B，P，D三点共线， ∴+2λ＝1，得λ＝， 故选：D． 二．多选题（共8小题） 23．【答案】BD 【分析】由已知，求得，，再根据向量的坐标运算对各选项进行判定即可． 【解答】解：由，，可得，， 选项A，＝﹣6≠0，故A错误； 选项B，由3×（﹣1）﹣（﹣1）×3＝0，可知，故B正确； 选项C，，，故，故C错误； 选项D，由，可知与方向相反，故D正确． 故选：BD． 24．【答案】AB 【分析】在△ABC中，根据余弦定理即可求出BC＝7，从而判断A正确；x＝y＝0.5时，可进行数量积的运算求出，从而判断B正确；可知当AD⊥BC时，AD最小，并可求出AD的值，进而可求出CD的值，从而得出，从而可求出x的值，从而可判断D的正误；时，AD＞AC，从而判断点D只能有一个，是BC的中点，此时x＝y＝0.5，从而判断出C的正误． 【解答】解：在△ABC中，AC＝3，AB＝5，∠A＝120°， ∴根据余弦定理，BC2＝AC2+AB2﹣2AC•AB•cos120°＝，∴BC＝7，A正确； x＝y＝0.5时，，∴＝，∴，B正确； 如图，AD⊥BC时，AD最小，BC•AD＝AB•AC•sin120°，即，解得，， ∴，，且， ∴，D错误； AD⊥BC时，，且，∴若AD＝，点D位于BC的高线的左边或右边各一点，x，y有两组值，x＝y＝0.5只是其中一组，C错误． 故选：AB． 25．【答案】AD 【分析】A，设D为BC中点，即可得＝，即可判定； B，利用向量共线的坐标运算求解； C，利用x+2x﹣1＝1，求解即可； D，利用＝（）•（）＝＝，即可判定． 【解答】解：对于A，设D为BC中点，若点G是△ABC的重心，则＝，∴，故正确； 对于B，因为，，则＝（x+2，x﹣5）， 又，则有2（x+2）＝﹣（x﹣5），则x＝，故错； 对于C，已知A，B，C三点不共线，B，C，M三点共线，若，可得x+2x﹣1＝1则x＝，故错； 对于D，因为，则＝（）•（）＝＝，故正确． 故选：AD． 26．【答案】ABD 【分析】根据平面向量的数量积的坐标表示、模长公式、共线的坐标表示及三角恒等变换公式判断各选项即可． 【解答】解：因为， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，若，则cosαsinβ+sinαcosβ＝0，即sin（α+β）＝0， 所以α+β＝kπ（k∈Z），故C错误； 对于D，，所以，故D正确． 故选：ABD． 27．【答案】BD 【分析】根据共线向量基本定理判断两向量是否共线即可． 【解答】解：A，∵零向量与任一向量共线，∴与共线，不能作为基底， B，∵2×2≠﹣1×1，∴与不共线，能作为基底， C，∵﹣1×8＝﹣2×4，∴与共线，不能作为基底， D，∵2×4≠1×3，∴与不共线，能作为基底． 故选：BD． 28．【答案】CD 【分析】据题意，求出及的坐标，利用模的坐标公式，列方程即可求解． 【解答】解：由， 可得，， ∴，， 又∵， ∴x2+x﹣2＝0，解得x＝1或﹣2． 故选：CD． 29．【答案】AB 【分析】利用向量的加减法则进行判断． 【解答】解；由题意可得，A正确； 因为点D，E，F分别是BC，AC，AB的中点， 所以，B正确； 由题意知O是△ABC的重心，则AO＝， 所以＝＝，C错误； 由题意得， 所以＝（）＝﹣﹣＝﹣（）﹣＝，D错误． 故选：AB． 30．【答案】CD 【分析】利用向量坐标运算性质即可得出． 【解答】解：由＝（﹣2，4），可知：点A，B的坐标无法得出，因此A，B不对； 当B是原点时，＝（﹣2，4），可得：＝（2，﹣4），因此A点的坐标是（2，﹣4），C正确． 当A是原点时，＝（﹣2，4），因此B点的坐标是（﹣2，4），D正确． 故选：CD． 三．填空题（共8小题） 31．【答案】2． 【分析】直接利用平面向量共线的坐标运算列式求解． 【解答】解：已知， 若∥，则sinα﹣2cosα＝0，即tanα＝2． 故答案为：2． 32．【答案】． 【分析】由向量共线定理，设出＝（x，y），再根据平面向量与＝（1，﹣1）方向相同，且，能求出的坐标． 【解答】解：∵平面向量与＝（1，﹣1）方向相同，且， ∴设，（λ＞0）． ∴，解得：，即． 故答案为：． 33．【答案】． 【分析】由已知结合向量的线性运算及平面向量基本定理即可求解． 【解答】解：因为AB∥DC，DC＝2AB，E为AD中点， 所以＝＝（+）＝﹣＝ 若， 则λ＝﹣，μ＝﹣2， 所以λ+μ＝﹣． 故答案为：． 34．【答案】． 【分析】以，为基底，分别表示出、，再根据求解即可． 【解答】解：在平行四边形ABCD中，点E在AD边上，点F在CD边上，且AE＝ED，DF＝λFC，AF与BE相交于点G， 所以＝，＝•＝•， ＝＝+•＝+•， 又因为B、E、G三点共线， 所以＝m+（1﹣m）＝+（1﹣m）， 又因为， 所以+•＝+[（1﹣m）]， 所以，解得λ＝． 故答案为：． 35．【答案】见试题解答内容 【分析】由相等向量可得关于x，y的方程组，解之即可求解． 【解答】解析：因为，是一组基底，所以a与b不共线， 因为（3x﹣4y）+（2x﹣3y）＝6+3， 所以，解得， 所以x﹣y＝3． 故答案为：3． 36．【答案】． 【分析】根据平面向量的线性运算计算即可． 【解答】解：因为，所以， 因为P为BD的中点， 则， 所以，，． 故答案为：． 37．【答案】3． 【分析】利用平面向量的坐标运算、向量共线的充要条件列式计算即可． 【解答】解：依题意，， ， 由（n+）∥（﹣m），得（n﹣1）（2﹣3m）＝（﹣n+2）（﹣1+3m），整理得n＝3m， 因为m，n不为0，所以． 故答案为：3． 38．【答案】（7，11）． 【分析】根据向量线性运算的坐标表示求解即可． 【解答】解：∵， ∴． 故答案为：（7，11）． 四．解答题（共12小题） 39．【答案】（1）；（2）不三点共线，答案见解析． 【分析】（1）先将用表示，再根据向量的模的求法及数量积的运算律即可得解； （2）先将分别用，再根据平面向量共线定理即可得出结论． 【解答】解：（1）由于，且点C是AB的中点， ∴， ＝； （2）A，D，E三点不共线，理由如下： ∵， 则， ∵，∴， ∴， 假设，则存在唯一实数λ，使得， 即， 所以，无解， ∴与不平行， ∴A，D，E三点不共线． 40．【答案】（1），； （2）． 【分析】（1）根据平面向量基本定理，结合平面向量的线性运算定义进行求解即可； （2）根据平面向量垂直的性质，结合平面向量数量积的运算性质和定义进行求解即可． 【解答】解：（1）， ； （2）因为，所以＝0， 所以＝0， 即2＝， 因为，， 所以（）•（）＝0，即﹣﹣＝0（1）， 把代入（1），得﹣﹣＝0， 整理得，||＝||， 设＝θ， 由向量的夹角公式可得，cosθ＝． 41．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据（）求得m＝﹣3，从而可得，于是||＝； （2）由，可得，再由夹角公式计算即可． 【解答】解：（1）由题干得到：，． 故得到：，． 已知，所以可得，即2（m+1）+4＝0． 解得m＝﹣3． 所以． 故． （2）因为向量，，所以m﹣2＝0，所以m＝2． 则，． 所以＝， 所以与夹角的余弦值为． 42．【答案】（1）＝+；（2）＝﹣． 【分析】平面向量的线性运算法则依次求解即可． 【解答】解：（1）＝+＝+； （2）＝+＝﹣+＝﹣×（+）+＝﹣． 43．【答案】（Ⅰ）＝，＝； （Ⅱ）详见解答过程． 【分析】（I）由已知结合向量的线性表示即可求解； （Ⅱ）由已知只要证明与共线，结合向量的线性表示及向量共线定理即可证明． 【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，＝，＝．设＝，＝． ＝＝； ＝＝﹣＝+＝； 证明：（Ⅱ）因为P为△ABC内部一点，且＝+． 则＝＝﹣+＝＝， 所以与共线且有公共点M， 所以M，P，N三点共线． 44．【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）根据向量平行的坐标表示，结合正弦定理边角互化，求得tanA，即可求得A； （2）利用余弦定理求得b，利用等面积法，结合三角形面积公式，即可求得内切圆半径． 【解答】解：（1）因为向量与平行， 所以， 由正弦定理得， 又sinB≠0，所以， 所以， 又A∈（0，π），所以． （2）由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2cbcosA， 所以7＝b2+22﹣2b，解得b＝3或b＝﹣1（舍）， 所以△ABC的面积， 设△ABC内切圆的半径为r， 所以，解得． 45．【答案】（Ⅰ）（2，﹣3）；（Ⅱ）﹣． 【分析】（Ⅰ）直接将坐标代入向量关系求解； （Ⅱ）由线段垂直，得到数量积为0，再由向量关系得到λ与μ的关系式，整理即得． 【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y），由A（1，0），B（3，2），C（2，5）， 可得，，， 由题意，，即（x﹣1，y）＝（2，2）﹣（1，5）＝（1，﹣3）， ∴，解得点p的坐标为（2，﹣3）； （Ⅱ）＝（﹣1，3），由AP⊥BC可得：＝0， 即﹣（x﹣1）+3y＝0，即x＝3y+1， 又（x﹣1，y）＝λ（2，2）+μ（1，5）， ∴， ∴4λ＝﹣14μ，即＝﹣． 46．【答案】（1）； （2）（i）；（ii）． 【分析】（1）由题意可得，，列出方程组求解即可； （2）（i）由题意可得，，列出方程组，从而可得2λ+μ＝3，利用基本不等式求解即可； （ii）根据三形的面积公式可得＝（1+λ）（1+μ）﹣1，再结合2λ+μ＝3，可得，，利用二次函数的性质求解即可． 【解答】解：（1）依题意，因为， 所以＝（）， 所以， 因为G、O、C三点共线，所以存在实数m使得， 所以， 所以， 因为， 所以， 又因为， 所以， 解得：，， 综上所述，． （2）（i）根据题意． 同理可得：， 由（1）可知，， 所以， 因为E，O，F三点共线，所以存在实数n，使得， 所以， 所以1﹣n＝，n＝， 化简得2λ+μ＝3， 所以， 当且仅当且2λ+μ＝3，即，时等号成立． （ii）根据题意，，， 所以＝（1+λ）（1+μ）﹣1， 由（i）可知μ＝3﹣2λ＞0， 所以， 所以， 根据二次函数的性质可知，当时，有最大值， 且﹣2（）2+＞， 则． 47．【答案】＝． 【分析】画出图形，利用向量的线性运算表示出，再由向量共线的充要条件表示出，解方程组可得结果． 【解答】解：因为 ，设， 则， 又N，P，C三点共线，令m+n＝1， 设， 所以，解得， 所以＝． 48．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据垂直关系可构造方程求得x，由向量模长的坐标运算可求得结果； （2）根据向量共线的坐标表示可求得x的值，根据夹角为锐角可构造不等式组求得结果． 【解答】解：（1）∵， ∴，解得：x＝﹣1或x＝3， 当x＝﹣1时，， ∴； 当x＝3时，， ∴； 综上所述：或10 （2）若共线，则﹣x＝x（2x+3），解得：x＝0或x＝﹣2， 当x＝0时，，，此时同向； 当x＝﹣2时，，，此时反向； ∴若与的夹角为锐角， 则，解得：﹣1＜x＜3且x≠0， 故x的取值范围为（﹣1，0）∪（0，3）． 49．【答案】（1）x＝，y＝；（2）；（3）（i）；（ii）（，]． 【分析】（1）根据平面向量的线性运算法则可得＝，从而知x和y的值； （2）用基底表示出，再结合G，O，C三点共线，即可求得t的值； （3）（i）易得＝（1+λ），＝（1+μ），结合（2）中所得与E，O，F三点共线，推出λ+2μ＝，再利用基本不等式求解即可； （ii）利用三角形的面积公式可得＝（1+λ）（1+μ）﹣1，再结合λ+2μ＝与二次函数的性质，求解即可． 【解答】解：（1）由知，点D是线段BC的靠近点C的三等分点， 所以＝＝＝＝， 因为， 所以x＝，y＝． （2）由（1）知，＝， 因为，＝， 所以＝+， 即， 因为G，O，C三点共线，所以所以，解得t＝， 故实数t的值为． （3）（ⅰ）因为，， 所以＝（1+λ），＝（1+μ）， 由（2）知，＝＝（）＝+， 所以＝（1+λ）+（1+μ）， 又E，O，F三点共线， 所以（1+λ）+（1+μ）＝1，化简得2λ+4μ＝3，即λ+2μ＝， 所以λμ＝λ•（2μ）≤•＝，当且仅当λ＝2μ＝，即，μ＝时等号成立， 故λμ的最大值为． （ⅱ）由题意知，， ＝•[（1+λ）（1+μ）﹣1]， 所以＝（1+λ）（1+μ）﹣1， 由（i）知，λ＝﹣2μ＞0， 所以0＜μ＜， 所以＝（1+λ）（1+μ）﹣1＝（1+﹣2μ）（1+μ）﹣1＝﹣2μ2+μ+＝﹣2（μ﹣）2+， 所以当μ＝时，有最大值；当μ＝时，有最小值（取不到）， 所以＜≤， 即的取值范围为（，]． 50．【答案】（1）；（2）当时，S△DEF的面积取得最小值．（3）证明规程见解析． 【分析】（1）直接利用向量的线性运算求出结果； （2）利用作差法和二次函数的性质求出最小值； （3）利用分点的坐标公式的应用证明出结果 【解答】解：（1）由于点G为△ABC的重心， 所以， 故． 解：（2）∵， ∴S△DFA：SABC＝（AD•AF）：（AB•AC）＝t（1﹣t），即S△DFA＝t（1﹣t）S， 同理，S△EFC＝S△DEB＝t（1﹣t）S， ∴＝， ∴当时，S△DEF的面积取得最小值． 证明：（3）设A（xA，yA），B（xB，yB），C（xC，yC），△DEF的重心O（x0，y0）， 由题意，在同一时刻t，D、E、F分所成的比相同，设为λ，则， 由定比分点坐标公式可得，D（txB+（1﹣t）xA，tyB+（1﹣t）yA），E（txC+（1﹣t）xB，tyC+（1﹣t）yB），F（txA+（1﹣t）xC，tyA+（1﹣t）yC）， 由三角形重心坐标公式有，，， 把D、E、F的坐标代入x0，y0中，求得△DEF的重心坐标为，它与t无关，即在运动过程中，△DEF的重心保持不变． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/5/17 14:51:23；用户：Damon；邮箱：13120434074；学号：24730468 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$