6.2.1 向量基本定理-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦向量基本定理核心知识点，系统梳理共线向量基本定理（含三点共线条件）和平面向量基本定理（含基底概念及应用）。从上节课向量共线判定引入，通过问题链深化对“a≠0”必要性的理解，再过渡到基底的不共线要求及向量唯一表示，构建从共线到平面的学习支架。 该资料以问题驱动数学抽象与逻辑推理，如共线向量中λ存在性的分类讨论培养数学抽象，例题（如用基底表示向量）与跟进训练的梯度设计提升逻辑推理能力。课中助力教师引导学生突破难点，课后分层作业帮助学生巩固知识、查漏补缺。

6.2　向量基本定理与向量的坐标 6.2.1　向量基本定理 学习任务 1．理解两向量共线的含义，并能用共线向量基本定理解决简单的几何问题．(数学抽象) 2．知道平面向量基本定理的含义和基底的含义．(数学抽象) 3．理解平面向量基本定理，会用基底表示向量．(逻辑推理) 通过上节课学习，我们知道可用结论“当存在实数λ，使得b＝λa时，b∥a”判定两向量平行．对这个结论，思考下面的问题． 问题：(1)若实数λ不存在，b∥a在什么条件下成立？ (2)若实数λ存在且唯一，a∥b在什么条件下成立？ (3)若实数λ存在且不唯一，a∥b在什么条件下成立？ [提示]　(1)a＝0，b≠0，或a≠0，b＝0． (2)a≠0． (3)a＝0且b＝0． 知识点1　共线向量基本定理 1．共线向量基本定理 如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa． 在共线向量基本定理中： (1)b＝λa时，通常称为b能用a表示． (2)其中的“唯一”指的是，如果还有b＝μa，则有λ＝μ． (1)对于任意两个向量a，b，若存在不全为0的实数对(λ，μ)使λa＋μb＝0，则a与b共线． (2)若两个向量a，b不共线，而λa＝μb，则说明λ＝μ＝0． 1．在共线向量基本定理中，为什么要求a≠0？ [提示]　若a＝0，则0∥b，但是λ0＝0，从而b＝λa中的实数λ具有不确定性，进而不能说存在唯一一个实数λ，使得b＝λa． 2．三点共线 如果A，B，C是三个不同的点，则它们共线的充要条件是：存在实数λ，使得＝λ． 知识点2　平面向量基本定理 1．平面向量基本定理 如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得c＝xa＋yb． 2．基底 平面内不共线的两个向量a与b组成该平面上向量的一组基底，记为{a，b}，如果c＝xa＋yb，则称xa＋yb为c在基底{a，b}下的分解式． 基底给定时，分解形式唯一．x，y是被c，a，b唯一确定的数值．零向量的分解式是唯一的，即0＝λ1a＋λ2b，且λ1＝λ2＝0． 2．设e1，e2是平面向量的一组基底，则e1，e2中可能有零向量吗？平面向量的基底唯一吗？ [提示]　平面向量基本定理的前提条件是e1，e2不共线，若e1，e2中有零向量，而零向量和任意向量共线，这与定理的前提矛盾，故e1，e2中不可能有零向量；同一平面的基底可以不同，只要它们不共线． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底． (　　) (2)若a，b是同一平面内两个不共线的向量，则xa＋yb(x，y为实数)可以表示该平面内所有向量． (　　) (3)若ae1＋be2＝ce1＋de2(a，b，c，d∈R)，则a＝c，b＝d． (　　) (4)基底向量可以是零向量． (　　) [提示]　(1)根据基底的概念可知，平面内不共线的向量都可以作为该平面内向量的基底． (2)根据平面向量基本定理知，平面内任意向量都可以由不共线向量a，b线性表示． (3)当e1与e2共线时，结论不一定成立． (4)基底向量是不共线的，一定是非零向量． [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．如图，向量e1，e2，a的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a用基底{e1，e2}表示为(　　) A．e1＋e2 B．－2e1＋e2 C．2e1－e2 D．2e1＋e2 B　[建立平面直角坐标系，以水平方向为x轴，竖直方向为y轴(图略)，取小正方形的边长为单位长度，x轴方向的单位向量为i，y轴方向的单位向量为j，则e1＝i，e2＝－i＋j， a＝－3i＋j，设a＝xe1＋ye2， 故－3i＋j＝xi＋y(－i＋j)＝(x－y)i＋yj， 所以解得 所以a＝－2e1＋e2．] 3．设a，b是不共线的两个非零向量，已知＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b．若A，B，D三点共线，则p的值为(　　) A．1 B．2 C．－2 D．－1 D　[＝＝2a－b，＝2a＋pb，由A，B，D三点共线，知存在实数λ，使2a＋pb＝2λa－λb．因为a，b不共线， 所以所以p＝－1．故选D．] 4．已知a＝xe1＋2e2与b＝3e1＋ye2共线，且e1，e2不共线，则xy的值为________． 6　[∵a∥b，∴a＝λb，即xe1＋2e2＝3λe1＋λye2， ∴x＝3λ，2＝λy，故xy＝3λ·＝6．] 类型1　共线向量基本定理的应用 【例1】　【链接教材P160例3】 已知向量m，n是不共线向量，a＝3m＋2n，b＝6m－4n，c＝m＋xn． (1)判断a，b是否平行； (2)若a∥c，求x的值． [解]　(1)显然a为非零向量，若a∥b，则存在实数λ，使得b＝λa，即6m－4n＝λ(3m＋2n)， ∴∴∴λ不存在． ∴a与b不平行． (2)∵a∥c，∴存在实数r，使得c＝ra． ∴m＋xn＝r(3m＋2n)． ∴∴∴x＝． 【教材原题·P160例3】 例3　已知a与b不共线，而且a－xb与3a＋2b共线，求x的值． [解]　因为a与b不共线，所以3a＋2b≠0，因此由已知可得存在实数t，使得 a－xb＝t(3a＋2b)， 即a－xb＝3ta＋2tb，从而 解得x＝－． 　1．判断向量共线问题的两种方法 一是直接法，分别将要判断的向量表示出来，并观察能否找到实数λ，使b＝λa，若能找到，则共线；若不能找到，则不共线． 二是“假设—检验”法，先假设向量共线，转化为向量和为0的形式，利用结论“对于λa＋μb＝0，若a，b不共线，则必有λ＝μ＝0”判断实数是否存在． 2．由向量共线求参数的方法 一般地，解决向量a，b共线问题，可用两个不共线向量(如e1，e2)表示向量a，b，设b＝λa(a≠0)，化成关于e1，e2的方程φ1(λ)e1＋φ2(λ)e2＝0，由于e1，e2不共线，因此 解方程即可． [跟进训练] 1．已知非零向量e1，e2不共线． (1)如果＝e1－e2，＝2e1－8e2，＝3(e1＋e2)，求证：A，B，D三点共线； (2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值． (1)证明：因为＝e1－e2， ＝＝2e1－8e2＋3e1＋3e2＝5(e1－e2)＝5，所以共线，又有公共点B， 所以A，B，D三点共线． (2)解：要使ke1＋e2与e1＋ke2共线， 则存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)， 即(k－λ)e1＝(λk－1)e2． 由于e1与e2不共线，故 所以k＝±1． 类型2　平面向量基本定理的理解 【例2】　【链接教材P160例4】 (1)若e1，e2是平面α内两个不共线的向量，则下列说法中正确的是(　　) A．λe1＋μe2(λ，μ∈R)不可以表示平面α内的所有向量 B．对于平面α中的任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数λ，μ有无数多对 C．若λ1，μ1，λ2，μ2均为实数，且向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2) D．若存在实数λ，μ使λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0 (2)设e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量不能作为基底的是(　　) A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－2e2和4e2－6e1 C．e1＋2e2和e2＋2e1 D．e2和e2＋e1 (1)D　(2)B　[(1)对于A：由平面向量基本定理可知，A错误，D正确；对于B：由平面向量基本定理可知，若一个平面的基底确定，则该平面内的任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，故B错误；对于C：当两个向量均为零向量，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个，或当λ1e1＋μ1e2为非零向量，而λ2e1＋μ2e2为零向量(λ2＝μ2＝0)时，λ不存在，故C错误． (2)因为4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)， 所以3e1－2e2与4e2－6e1共线，不能作为平面向量的一组基底，其它三组都不共线，可作为基底．] 【教材原题·P160例4】 例4　如图6-2-6所示，已知平面上点O是直线l外一点，A，B是直线l上给定的两点，求证：平面内任意一点P在直线l上的充要条件是，存在实数t，使得 ＝(1－t)＋t． [证明]　先证必要性．设点P在直线l上，则由共线向量基本定理知，存在实数t，使 ＝t， 因此＝t()，所以＝＋t－t＝(1－t)＋t． 再证充分性．如果＝(1－t)＋t，则 ＝－t＋t， 从而＝t－t，即＝t，因此P，A，B三点共线， 即P在直线l上． 　对基底的理解 (1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底． (2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来．设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则x1＝x2且y1＝y2． 提醒：一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，其线性表示是不同的． [跟进训练] 2．(1)如图所示，点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的一对向量是(　　) A． B． C． D． (2)设{e1，e2}是平面内的一组基底，若向量a＝－e2与b＝e1－λe2共线，则λ＝(　　) A． B．－ C．－3 D．3 (1)B　(2)B　[(1)由题图可知与与与共线，不能作为基底；与不共线，可作为基底．故选B． (2)因为a与b共线，所以存在μ∈R，使得a＝μb，即－3e1－e2＝μ(e1－λe2)．故μ＝－3，－λμ＝－1，解得λ＝－．] 类型3　用基底表示平面向量 【例3】　【链接教材P161例5】 如图所示，已知点M，N，P分别是△ABC三边BC，CA，AB上的点，且＝＝，＝．设＝a，＝b，选择基底{a，b}，试写出向量在此基底下的分解式． [解]　根据题意，得＝＝)＝(b－a)，＝－＝－b， 所以＝＝(b－a)－b＝－a＋b． 同理＝＝a＋(b－a)＝a＋b，＝＝a－b． 【教材原题·P161例5】 例5　在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F．若＝a，＝b，试用基底{a，b}分别表示下列向量： (1)； (2)． [解]　(1)如图6-2-7所示，由已知有＝， 从而＝＋＝ ＝) ＝＝a＋b． (2)因为△DEF∽△BEA，而且 ＝＝， 所以DF＝AB，于是 ＝＝＝b＋a． 　1．用基底表示向量的两种方法 (1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止． (2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解． 2．用基底表示向量的三个依据 (1)向量加法的三角形法则和平行四边形法则． (2)向量减法的几何意义． (3)数乘向量的几何意义． [跟进训练] 3．(1)在△ABC中，M是边AC上靠近点A的三等分点，N是BC的中点，若＝x＋y，则x＋y＝(　　) A．1 B． C．－ D．－1 (2)已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c． (1)B　[M是边AC上靠近点A的三等分点，N是BC的中点，如图所示， ＝＝＝)＝， 所以x＝，y＝，x＋y＝，故选B．] (2)[解]　因为a，b不共线，所以可设c＝xa＋yb，则xa＋yb＝x(3e1－2e2)＋y(－2e1＋e2)＝(3x－2y)e1＋(－2x＋y)e2＝7e1－4e2． 又因为e1，e2不共线，所以 解得所以c＝a－2b． 1．设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组： ①与；②与；③与；④与．其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是 (　　) A．①② B．①③ C．①④ D．③④ B　[①与不共线；②＝－，则与共线；③与不共线；④＝－，则与共线．由平面内向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故①③满足题意．] 2．(多选)已知向量a，b不共线，若＝λ1a＋b，＝a＋λ2b，且A，B，C三点共线，则关于实数λ1，λ2的值可以是(　　) A．2， B．－3，－ C．2，－ D．－3， AB　[因为A，B，C三点共线，则存在实数λ，使得＝λ，即λ1a＋b＝λ(a＋λ2b)，即λ1a＋b＝λa＋λλ2b，所以(λ1－λ)a＋(1－λλ2)b＝0，又因为向量a，b不共线，所以解得λ1λ2＝1，所以实数λ1，λ2的值互为倒数即可．] 3．(教材P161练习AT2改编)已知向量a，b是一组基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y的值为________． 3　[∵a，b是一组基底， ∴a与b不共线， ∵(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b， ∴解得∴x－y＝3．] 4．在△ABC中，D是AB边上一点，＝2，且＝λ，则λ的值为________． －　[法一：由题意知，＝＝＝)＝－，即λ＝－． 法二：由题意可得，A，B，D三点共线，C为A，B，D所在直线外一点，且＝λ＝－λ，则－λ＋＝1，所以λ＝－．] 回顾本节内容，自主完成以下问题： 1．共线向量基本定理的内容是什么？ [提示]　如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa． 2．平面向量基本定理中的“不共线”能否去掉？ [提示]　不能．两个共线向量不能表示平面内的任意向量，不能做基底． 3．理解平面向量基本定理应关注哪三点？ [提示]　(1)a，b是同一平面内的两个不共线向量； (2)该平面内任意向量c都可以用a，b线性表示，且这种表示是唯一的； (3)基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可作为基底． 课时分层作业(二十六)　向量基本定理 一、选择题 1．在△ABC中，点P满足＝2，则(　　) A．点P在CB延长线上 B．P不在直线BC上 C．点P在BC延长线上 D．点P在线段BC上 A　[由＝2，知＝＝)， 可知B，C，P三点共线且B是CP的中点，所以P在CB延长线上．故选A．] 2．下列叙述不正确的是(　　) A．若a，b共线，则存在唯一的实数λ，使a＝λb B．b＝3a(a为非零向量)，则a，b共线 C．若m＝3a＋4b，n＝a＋2b，则m∥n D．若a＋b＋c＝0，则a＋b＝－c A　[选项A：当b＝0时，满足a，b共线，但不满足存在唯一的实数λ，使a＝λb成立，所以选项A错误； 选项B：若b＝3a(a为非零向量)，则a，b方向相同，所以a，b共线，所以选项B正确； 选项C：因为m＝3a＋4b＝2＝2n，所以m∥n，所以选项C正确； 选项D：若a＋b＋c＝0，则a＋b＝－c，选项D正确，故选A．] 3．(多选)设向量e1，e2不共线，＝3(e1＋e2)，＝e2－e1，＝2e1＋e2，下列结论中错误的是(　　) A．A，B，C共线 B．A，B，D共线 C．B，C，D共线 D．A，C，D共线 ABC　[＝＝4e1＋2e2＝2＝＝3e1，由向量共线的条件b＝λa(a≠0)可得A，C，D共线，而其他λ无解．故只有D正确．] 4．设△ABC中BC边上的中线为AD，点O满足＝－2，则＝(　　) A．－ B． C． D．－ A　[因为△ABC中BC边上的中线为AD，所以＝)．因为＝－2，所以＝2，所以＝＝)＝)，所以＝＝＝－．故选A．] 5．如图，在△OAB中，若点C满足＝2＝x＋y(x，y∈R)，则＝(　　) A． C． C　[由＝2得＝2()， 即＝， 又＝x＋y(x，y∈R)， 所以因此＝3＋＝．] 二、填空题 6．已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a，b能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为________． (－∞，4)∪(4，＋∞)　[若能作为平面内的一组基底，则a与b不共线．又a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，故由a≠kb，得λ≠4．] 7．设e1，e2是平面内一组基底，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基底a，b的线性组合，即e1＋e2＝________． a－b　[因为a＝e1＋2e2，　　 ① b＝－e1＋e2， ② 显然a与b不共线，①＋②得a＋b＝3e2， 所以e2＝，代入②得 e1＝e2－b＝－b＝a－b， 故有e1＋e2＝a－b＋a＋b＝a－b．] 8．古代典籍《周易》中的“八卦”思想对我国的建筑有一定影响．图(1)是受“八卦”启示设计的正八边形的八角窗．在正八边形ABCDEFGH中，如图(2)，若＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y＝________． ＋2　[如图，连接CH，则AB∥CH，不妨设AB＝2，则CH＝2＋2，即＝(＋1)，∴＝＝(＋1)，则x＝＋1，y＝1，故x＋y＝＋2． ] 三、解答题 9．如图，▱ABCD的对角线AC和BD交于点M，＝a，＝b，试用基底{a，b}表示和． [解]　＝＝a＋b． 因为平行四边形的对角线互相平分，所以 ＝＝a＋b． 从而＝－＝－a－b， ＝＝)＝a－b， ＝－＝b－a． 10．(多选)在△ABC中，AD，BE，CF分别是BC，CA，AB的中线且交于点O，则下列结论正确的是(　　) A．＝ B．＝) C．＝0 D．＝0 BCD　[依题意，如图所示，因为AD，BE，CF分别是BC，CA，AB的中线且交于点O，所以O是△ABC的重心．对于A，若＝，则＝， 因为＝，所以＝，显然不成立，故A错误； 对于B，＝＝×() ＝)，故B正确； 对于C，＝)＋)＋)＝)＋)＋)＝0，故C正确； 对于D，＝－＝－)＝－×0＝0，故D正确．故选BCD．] 11．已知点P是△ABC所在平面内的一点，边AB的中点为D，若2＝(1－λ)，其中λ∈R，则点P一定在(　　) A．AB边所在的直线上 B．BC边所在的直线上 C．AC边所在的直线上 D．△ABC的内部 C　[由2＝(1－λ)得 2()＝－λ， 2＋2＝－λ， ＋2＝－λ． ∵边AB的中点为D， ∴＝－λ，∴P在直线AC上．] 12．在△AOB中，＝，D为OB的中点，若＝λ＋μ，则λμ的值为________． －　[因为＝，所以＝)， 因为D为OB的中点，所以＝， 所以＝＝－＋() ＝－) ＝， 所以λ＝，μ＝－，则λμ的值为－．] 13．在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________． 　[(法一)　由题意画出图形，如图所示，由题意可得＝λ＋μ＝λ()＋μ()＝λ＋μ＝λ＋μ＝， 又＝，所以从而(λ＋μ)＝2，即λ＋μ＝． (法二)　因为M，N分别是正方形ABCD的边BC，CD的中点， 则2＝，2＝， 所以2()＝2， 在正方形ABCD中，＝， 所以2()＝3， 所以＝)＝． 又＝λ＋μ， 所以λ＝，μ＝．故λ＋μ＝．] 14．已知△OAB中，延长BA到C，使AB＝AC，D是将分成2∶1的一个分点，DC和OA交于点E，设＝a，＝b． (1)用a，b表示向量； (2)若＝λ，求实数λ的值． [解]　(1)∵A为BC的中点， ∴＝)，∴＝2a－b． ＝＝＝2a－b－b＝2a－b． (2)∵＝λ， ∴＝＝λ ＝λa－2a＋b＝(λ－2)a＋b． ∵与共线， ∴存在实数m，使得＝m， 即(λ－2)a＋b＝m， 即(λ＋2m－2)a＋b＝0． ∵a，b不共线， ∴ 解得λ＝． 15．在△ABC中，＝． (1)求△ABM与△ABC的面积之比； (2)若N为AB的中点，与交于点P，且＝x＋y(x，y∈R)，求x＋y的值． [解]　(1)在△ABC中，＝， 4＝3，3()＝， 即3＝，即点M是线段BC靠近B点的四等分点． 故△ABM与△ABC的面积之比为． (2)因为＝∥， ＝x＋y(x，y∈R)，所以x＝3y， 因为N为AB的中点， 所以＝＝x＋y ＝＋y， ＝＝x＋y ＝x＋(y－1)， 因为∥， 所以＝λ，即＋y＝λx＋λ(y－1)， 所以 解得2x＋y＝1，又x＝3y， 所以x＝，y＝，所以x＋y＝． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $