第三章 函数的应用（一）-高中数学必修第一册精选易错题练习（人教B版2019)

精选易错题练习—【第三章】函数的应用（一） 一．选择题（共25小题） 1．已知函数f（x）＝，若存在x0∈（0，+∞），使得f（x）≥f（x0）恒成立，则实数a的取值范围是（　　） A．[2﹣2，+∞） B．（2﹣2，+∞） C．（0，2﹣2） D．（0，2﹣2] 2．已知函数f（x）＝，关于x的方程f2（x）+tf（x）+1＝0（t∈R）有8个不同的实数根，则t的取值范围是（　　） A．（﹣﹣e，+∞） B．（﹣，﹣）∪（﹣∞，﹣﹣e） C．（﹣∞，﹣） D．（2，+∞）∪（﹣∞，﹣） 3．已知函数，若存在x1，x2∈R，x1≠x2，使f（x1）＝f（x2）成立，则实数a的取值范围是（　　） A．[0，2） B．（﹣∞，0] C．（﹣∞，0]∪[2，+∞） D．（﹣∞，0]∪（2，+∞） 4．已知函数，若∀x1，x2∈R，，且g（x）＝f（x）﹣x﹣2仅有1个零点，则实数m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 5．已知函数f（x）＝，若x1＜x2，x1＜x3，且f（x1）＝f（x2），f（x1）+f（x3）＝4，则的取值范围是（　　） A．（﹣，0] B．（﹣，0） C．（﹣∞，0） D．（﹣，0] 6．已知函数若存在x1，x2∈R，且x1≠x2，使f（x1）＝f（x2），则实数a的取值范围为（　　） A．a＜2 B．3＜a＜5 C．a＜2或3＜a＜5 D．2≤a≤3或a≥5 7．已知函数的值域为R，则a的取值范围是（　　） A．[﹣1，2） B．（﹣1，2） C． D． 8．已知函数，若存在实数x1，x2，x3且x1＜x2＜x3，使得f（x1）＝f（x2）＝f（x3），则x1f（x1）+x2f（x2）+x3f（x3）的最大值为（　　） A．3e3﹣12 B．3e3﹣20 C．5e5﹣12 D．5e5﹣20 9．已知函数f（x）＝，若存在0＜a＜b＜c＜2使得f（a）＝f（b）＝f（c），则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 10．已知函数f（x）＝，若x1≠x2，且f（x1）+f（x2）＝2，则x1+x2的取值范围是（　　） A．[2，+∞） B．[e﹣1，+∞） C．[3﹣2ln2，+∞） D．[3﹣2ln3，+∞） 11．设[x]表示不大于实数x的最大整数，函数f（x）＝，若f（x）有且仅有4个零点，则实数a的取值范围为（　　） A．a＜0或a＝ B．0≤a＜ C．a＞ D．不存在实数a 12．若函数y＝f（x）的图象上存在两个点A，B关于原点对称，则对称点（A，B）为y＝f（x）的“孪生点对”，点对（A，B）与（B，A）可看作同一个“孪生点对”，若函数f（x）＝恰好有两个“孪生点对”，则实数a的值为（　　） A．4 B．2 C．1 D．0 13．如图是一个底面半径和高都是1的装满沙子的圆锥形沙漏，从计时开始，流出沙子的体积V是沙面下降高度x的函数V＝f（x），若正数a，b满足a+b＝1，则f（a）+f（b）的最大值为（　　） A． B． C． D． 14．已知函数f（x）＝，（a＞0，a≠1），若x1≠x2，则f（x1）＝f（x2）时，x1+x2与2的大小关系是（　　） A．恒小于2 B．恒大于2 C．恒等于2 D．与a相关 15．已知函数f（x）＝，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围为（　　） A．[﹣1，0] B．[﹣1，1] C．（﹣∞，﹣1] D．（﹣∞，1] 16．已知函数y＝g（x）满足g（x+2）＝﹣g（x），若y＝f（x）在（﹣2，0）∪（0，2）上为偶函数，且其解析式为，则g（﹣2017）的值为（　　） A．﹣1 B．0 C． D． 17．已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）＝f（b）＝f（c），则a+b+c的取值范围是（　　） A．（1，2020） B．（1，2019） C．（2，2020） D．（2，2019） 18．已知函数（lnx是以e为底的自然对数，e＝2.71828…），若存在实数m，n（m＜n），满足f（m）＝f（n），则n﹣m的取值范围为（　　） A．（0，e2+3） B．（4，e2﹣1] C．[5﹣2ln2，e2﹣1] D．[5﹣2ln2，4） 19．已知函数f（x）＝，g（x）＝x3﹣3ax2﹣2a（a≥1），若对于任意x1∈[0，1]总存在x2∈[0，1]，使得g（x2）＝f（x1）成立，则a的取值范围是（　　） A．（1，） B．（1，] C．[1，） D．[1，] 20．已知函数f（x）＝，若0＜a＜b＜c且满足f（a）＝f（b）＝f（c），则af（b）+bf（c）+cf（a）的取值范围是（　　） A．（1，+∞） B．（e，+∞） C．（1，e++1） D．（e，2e+） 21．历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪德国数学家狄利克雷（Dirichlet），当时数学家们处理的大部分数学对象都没有完全的严格的定义，数学家们习惯借助于直觉和想象来描述数学对象，狄利克雷在1829年给出了著名函数：（其中Q为有理数集，QC为无理数集），狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，数学的一些“人造”特征开始展现出来，这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念、性质、结构”．一般地，广义的狄利克雷函数可定义为：D（x）＝（其中a，b∈R且a≠b，以下对D（x）说法错误的是（　　） A．任意非零有理数均是D（x）的周期，但任何无理数均不是D（x）的周期 B．当a＞b时，D（x）的值域为[b，a]； 当a＜b时，D（x）的值域为[a，b] C．D（x）为偶函数 D．D（x）在实数集的任何区间上都不具有单调性 22．已知定义在R上的函数f（x）＝x2+|x﹣m|（m为实数）是偶函数，记a＝f（e），b＝f（log3π），c＝f（em）（e为自然对数的底数），则a，b，c的大小关系（　　） A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a 23．已知函数f（x）＝，则下列结论正确的是（　　） A．f（x）有极值 B．y＝f（x）+1有零点 C．f（x）在定义域上是减函数 D．f（0）＝0 24．已知定义在R上的函数f（x）的周期为6．且，则f（﹣7）+f（8）＝（　　） A．11 B． C．7 D． 25．已知函数f（x）＝，若a＝60.01，b＝log62，c＝log60.9，则有（　　） A．f（b）＞f（a）＞f（c） B．f（c）＞f（a）＞f（b） C．f（a）＞f（c）＞f（b） D．f（a）＞f（b）＞f（c） 二．填空题（共15小题） 26．已知函数，则f（﹣2023）＝　 　． 27．已知f（x）＝．若f（a）＝5，则实数a的值是 　 　；若f（f（a））≤5，则实数a的取值范围是 　 　． 28．已知函数，则满足不等式f（x）+3＞0的实数x的取值范围为　 　． 29．已知函数f（x）＝有四个零点，则实数a的取值范围是　 　． 30．函数f（x）＝，则f（f（﹣e））＝　 　． 31．已知函数f（x）＝，则f（f（﹣1））＝　 　． 32．设函数f（x）＝，则函数y＝f（x）与y＝1的交点个数为　 　个． 33．函数f（x）＝的值域为　 　． 34．已知，若存在x2＞x1＞0，使得f（x2）＝ef（x1），则x1•f（x2）的取值范围为 　 　． 35．设函数f（x）＝是一个奇函数，则满足f（2﹣x2）+f（x）＜0的x的取值范围是　 　． 36．已知函数，当n分别取1，2，3，…，k，（k∈N*）时，方程对应的整数解分别为x1，x2，x3，…，xk，则＝　 　． 37．已知函数f（x）＝，若f（f（3））＞f（a），则实数a的取值范围为　 　． 38．已知函数，则不等式f（x+1）≤f（0）的解集为　 　． 39．若函数f（x）＝a|2x﹣6|（a＞0，a≠1）满足f（1）＝，则f（x）的单调递减区间是　 　． 40．已知函数f（x）＝2x﹣kxα﹣2（k，α∈R）的图象经过点（1，0），设g（x）＝，若g（t）＝2，则实数t＝　 　． 三．解答题（共10小题） 41．已知不等式﹣2sin2θ＜3a+6对于恒成立，求a的取值范围． 42．某地空气中出现污染，须喷洒一定量的去污剂进行处理．据测算，每喷洒1个单位的去污剂，空气中释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：天）变化的函数关系式近似为y＝，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中去污剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到去污作用． （Ⅰ）若一次喷洒4个单位的去污剂，则去污时间可达几天？ （Ⅱ）若第一次喷洒2个单位的去污剂，6天后再喷洒a（1≤a≤4）个单位的去污剂，要使接下来的4天中能够持续有效去污，试求a的最小值． 43．设函数f（x）＝|2x+1|+|x﹣1|． （1）画出y＝f（x）的图象； （2）当x∈[0，+∞）时，f（x）≤ax+b，求a+b的最小值． 44．已知函数． （1）判断f（x）在（﹣∞，+∞）上的奇偶性，并证明； （2）求不等式﹣1＜f（log4x）≤3的解集． 45．（1）解不等式：|2x﹣3|+|x+1|＜4； （2）求函数f（x）＝|x﹣1|+|x﹣2|+x2﹣2x的值域 46．某地空气中出现污染，须喷洒一定量的去污剂进行处理．据测算，每喷洒1个单位的去污剂，空气中释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：天）变化的函数关系式近似为y＝，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中去污剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到去污作用． （Ⅰ）若一次喷洒1个单位的去污剂，则去污时间可达几天？ （Ⅱ）若第一次喷洒1个单位的去污剂，6天后再喷洒a个单位的去污剂，要使接下来的4天中能够持续有效去污，试求a的最小值？（精确到0.1） 47．某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图： 记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数． （Ⅰ）若n＝19，求y与x的函数解析式； （Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值； （Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？ 48．已知定义在R+上的函数f（x）＝，设a，b，c是三个互不相同的实数，且满足f（a）＝f（b）＝f（c），求abc的取值范围． 49．某企业购买2台仪器，在该仪器使用期间可能出现故障，需要请销售仪器的企业派工程师进行维修，因为考虑到人力、成本等多方面的原因，销售仪器的企业提供以下购买仪器维修服务的条件：在购买仪器时，可以直接购买仪器维修服务，维修一次1000元；在仪器使用期间，如果维修服务次数不够再次购买，则维修一次需要1500元．现需决策在购买仪器的同时购买几次仪器维修服务，为此搜集并整理了500台这种机器在使用期内需要维修的次数，得到表格如下： 维修次数 5 6 7 8 频数（台） 100 150 150 100 记x表示一台仪器使用期内维修的次数，y表示一台仪器使用期内维修所需要的费用，n表示购买仪器的同时购买的维修服务的次数． （1）若n＝6，求y与x的函数关系式； （2）以这500台仪器使用期内维修次数的频率代替一台仪器维修次数发生的概率，求6≤x≤8的概率； （3）假设购买这500台仪器的同时每台都购买7次维修服务，或每台都购买8次维修服务，请分别计算这500台仪器在购买维修服务所需要费用的平均数．以此为决策依据，判断购买7次还是8次维修服务？ 50．已知函数f（x）＝，x∈[0，2]． （1）求使方程f（x）﹣k＝0（k∈R）存在两个不同实数解时k的取值范围； （2）设函数g（x）＝lnx+x2﹣2x﹣m（x∈[1，3]），若对任意x1∈[0，2]，总存在x0∈[1，3]，使f（x1）﹣g（x0）＝0，求实数m的取值范围． 精选易错题练习—【第三章】函数的应用（一） 参考答案与试题解析 一．选择题（共25小题） 1．【答案】A 【分析】由存在x0∈（0，+∞），使得f（x）≥f（x0）恒成立，可得x0是函数f（x）的最小值点，然后对a分类分析即可求得实数a的取值范围． 【解答】解：∵存在x0∈（0，+∞），使得f（x）≥f（x0）恒成立， ∴x0是函数f（x）的最小值点， 若a＝0，当x≥0时，f（x）≥1；当x＜0时，f（x）＝0，此时不存在x0∈（0，+∞），使得f（x0）＝0，不合题意； 若a＜0，f（x）的对称轴为x＝＜0，函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，f（x）≥f（0）＝1； f（x）在（﹣∞，0）上，f（x）＜a＜0，则f（x）没有最小值，不符合题意； 若a＞0，f（x）的对称轴为x＝＞0，函数f（x）在[0，+∞）上； 函数f（x）在（﹣∞，0）上，f（x）＞f（0）＝a，要使存在x0∈（0，+∞），使得f（x）≥f（x0）恒成立， 则，即a2+4a﹣4≥0，解得a或a， 又a＞0，∴，即实数a的取值范围是[2﹣2，+∞）． 故选：A． 2．【答案】C 【分析】利用导数及二次函数分析原函数的单调性，画出图象，令m＝f（x），则已知方程可化为m2+tm+1＝0，由m的不同范围可得y＝m与y＝f（x）的交点情况，得到符合题意的m的范围，转化为关于m的不等式组求解． 【解答】解：当x＞0时，f（x）＝|xlnx|，令F（x）＝xlnx，F′（x）＝lnx+1， 令F′（x）＝lnx+1＝0，解得x＝，F（）＝﹣，f（）＝， 故当x＞0时，函数f（x）在（0，）上单调递增，在（，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增； 当x＜0时，可得函数f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，﹣）上单调递增，在（，0）上单调递减． 又f（）＝，f（）＝，故刻画出函数f（x）的大致图象如图： 令m＝f（x），则已知方程可化为m2+tm+1＝0． 观察图象可知，当m＞时，只有2个交点；当m＝时，有3个交点；当＜m＜时，有4个交点； 当0＜m＜时，有6个交点． 要想满足题意，则只需使得方程m2+tm+1＝0在（，）上存在两个不同实数根，或在（，+∞）和（0，）上 各有1个根，方程m2+tm+1＝0的两根之积为1， 令g（m）＝m2+tm+1， 由题意，，解得t＜，即t的取值范围是（﹣∞，﹣）． 故选：C． 3．【答案】D 【分析】由题意可得，在定义域内，函数f（x）不是单调的，考虑x≥1时，讨论函数的单调性，即可求得结论． 【解答】解：依题意，在定义域内，函数f（x）不是单调函数，分情况讨论： ①当x≥1时，若f（x）＝x2﹣ax 不是单调的，它的对称轴为x＝，则有＞1，即a＞2； ②当x≥1时，若f（x）＝x2﹣ax 是单调的，则f（x）单调递增，此时≤1，可得a≤2． 当x＜1时，由题意可得，f（x）＝ax+1﹣2a应该不单调递增，故有a≤0． 综合得：a的取值范围是（2，+∞）∪（﹣∞，0]． 故选：D． 4．【答案】C 【分析】根据增函数的定义可知函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，利用分段函数的单调性求出m的取值范围；根据函数零点个数与函数图象交点个数之间的关系，利用导数的几何意义和数形结合的数学思想即可求得结果． 【解答】解：因为∀x1、x2∈R，有，即（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0， 即x1﹣x2与f（x1）﹣f（x2）同号，所以f（x）在R上单调递增， 即f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增， 则，故； 因为y＝ex+4m在x＝0处的切线方程为y﹣（4m+1）＝x， 即y＝x+4m+1， 又4m+1≥2，所以y＝x+2与y＝ex+4m（x＞0）没有公共点， 若函数g（x）＝f（x）﹣x﹣2仅有一个零点， 所以函数y＝f（x）与y＝x+2图象仅有一个交点， 则y＝x+2与y＝2﹣logm（x+1）有且仅有1个公共点，且为（0，2）， 所以y＝2﹣logm（x+1）在x＝0处的切线的斜率k大于等于1， 而，得， 即，解得， 综上，m的取值范围为， 故选：C． 5．【答案】B 【分析】先由f（x）＝||的图象关于x＝﹣3对称，得x1+x2＝﹣6，再分析得到f（x1）+f（x3）＝﹣x1﹣+2+lnx3＝4，得lnx3＝+即可得解． 【解答】解：由﹣7≤x≤1时，f（x）＝||且＝﹣3， 可得x∈[﹣7，1]时，f（x）＝||的图象关于x＝﹣3对称， 当x∈[﹣7，﹣3]时，f（x）≤2，x＞1时，f（x）＝2+lnx＞2，且x＞1，f（x）单调递增， ∴x1+x2＝﹣6，﹣7≤x1＜﹣3，﹣3＜x2≤1，x3＞1， ∴f（x1）+f（x3）＝﹣x1﹣+2+lnx3＝4，∴lnx3＝+， 由﹣7≤x1＜﹣3，得0≤+＜2，又x3＞1，lnx3＞0，∴0＜lnx3＜2， ∴＝∈（﹣，0）． 故选：B． 6．【答案】C 【分析】分类讨论，利用二次函数的单调性，结合∃x1，x2∈R，且x1≠x2，使得f（x1）＝f（x2），即可求得实数a的取值范围 【解答】解：当a＝0时，当x≤1时，f（x）＝﹣x2，当x＞1时，f（x）＝14，此时存在当x∈[﹣1，1]时，满足条件． 若a＞0，则当x＞1时，f（x）为增函数，且f（x）＞a2﹣7a+14， 当x≤1时，f（x）＝﹣x2+ax＝﹣（x﹣）2+，对称轴为x＝， 若＜1即a＜2时，则满足条件， 若≥1，即a≥2时，函数在（﹣∞，1]上单调递增， 要使条件成立则f（x）在（﹣∞，1]上的最大值f（1）＝﹣1+a＞a2﹣7a+14， 即a2﹣8a+15＜0， 即3＜a＜5， ∵a≥2， ∴3＜a＜5， 综上3＜a＜5或a＜2， 故选：C． 7．【答案】C 【分析】求出函数的函数值集合，再由分段函数值域的意义求出a的范围作答． 【解答】解：当x≥1时，，而函数t＝x2+2x﹣2在[1，+∞）上单调递增，又y＝2t是增函数， 因此函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，f（x）≥f（1）＝1，即函数f（x）在[1，+∞）上的值域为[1，+∞）， 当x＜1时，函数f（x）的值域为A，而函数f（x）的值域为R，因此（﹣∞，1）⊆A， 而当x＜1时，f（x）＝（2﹣a）x+3a，必有，解得， 所以a的取值范围是． 故选：C． 8．【答案】D 【分析】利用二次函数对称性化简目标式，然后构造函数g（x）＝（x﹣4）lnx，利用导数求最值可得． 【解答】解：作出f（x）的函数图象如图所示： 若存在实数x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，使得f（x1）＝f（x2）＝f（x3）， 因为y＝x2+4x+5的图象关于直线x＝﹣2对称， 所以x1+x2＝﹣4， 所以x1f（x1）+x2f（x2）+x3f（x3）＝（x1+x2+x3）f（x3）＝（x3﹣4）f（x3）＝（x3﹣4）lnx3， 由图可知，1＜f（x3）≤5，所以． 设g（x）＝（x﹣4）lnx，x∈（e，e5]，所以， 易知g′（x）在（e，e5]上单调递增， 又，所以当x∈（e，e5]时，g′（x）＞0， 所以g（x）在（e，e5]上单调递增， 所以． 故选：D． 9．【答案】A 【分析】ln（2﹣x）+ln2＝ln2（2﹣x），易得y＝ln2x与y＝ln（2﹣x）+ln2的图象关于直线x＝1对称，由a，b，c大小关系易判断，再将全部代换为含a的式子得，令t＝8a﹣1，利用换元法和对勾函数性质进而得解． 【解答】解：∵ln（2﹣x）+ln2＝ln[2（2﹣x）]，∴y＝ln2x与y＝ln（2﹣x）+ln2的图象关于直线x＝1对称， 作出f（x）的大致图象如图所示， 易知b+c＝2，由|ln2a|＝|ln2b|，即﹣ln2a＝ln2b，ln4ab＝0，得， ∵，∴，得， ∴． 设t＝8a﹣1，则t∈（1，3），.，当且仅当取到等号， 故当t∈（1，3）时，令，h（t）单减，， 故． 故选：A． 10．【答案】C 【分析】本题可现根据题意及画出的分段函数的图象确定出x1＜1＜x2，然后可将f（x1）和f（x2）代入到确定的表达式，得到x1和x2的关系式，再用x2表示x1，则可用x2表达x1+x2，再构造函数g（x）与x1+x2的表达式一致，通过求导方法判断出g（x）的值域即可得到x1+x2的取值范围． 【解答】解：根据题意，画出分段函数f（x）图象如下： 由两个函数图象及题意，可知：x1，x2不可能同时＞1． 因为当x1和x2都＞1时，f（x1）+f（x2）＞2，不满足题意， ∴x1，x2不可能同时＞1． 而x1≠x2， ∴x1＜1＜x2， ∴f（x1）+f（x2）＝， ∵f（x1）+f（x2）＝2， ∴， ∴x1＝1﹣2lnx2， ∴x1+x2＝1+x2﹣2lnx2，（x2＞1）． 构造函数g（x）＝1+x﹣2lnx，（x＞1） 则． ①令g′（x）＝0，即，解得x＝2； ②令g′（x）＜0，即，解得x＜2； ③令g′（x）＞0，即，解得x＞2． ∴g（x）在（1，2）上单调递减，在x＝2处取得极小值，在（2，+∞）上单调递增． ∴g（x）min＝g（2）＝3﹣2ln2． ∴g（x）≥3﹣2ln2． ∴x1+x2≥3﹣2ln2． 故选：C． 11．【答案】A 【分析】根据分段函数的表达式，先讨论当x＞0时，函数零点的个数为3个，则条件等价为当x≤0时，函数f（x）的零点只有一个，利用函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点个数，利用数形结合进行求解即可． 【解答】解：当x＞0时，由f（x）＝（lnx）2﹣[lnx]﹣2＝0得（lnx）2＝[lnx]+2≥0， 则[lnx]≥﹣2， 若[lnx]＝﹣2，则﹣2≤lnx＜﹣1，此时方程等价为（lnx）2＝[lnx]+2＝﹣2+2＝0，此时lnx＝0，方程无解，不满足条件． 若[lnx]＝﹣1，则﹣1≤lnx＜0，此时方程等价为（lnx）2＝[lnx]+2＝﹣1+2＝1，此时lnx＝﹣1，此时x＝，有一个解． 若[lnx]＝0，则0≤lnx＜1，此时方程等价为（lnx）2＝[lnx]+2＝0+2＝2，此时lnx＝，方程无解，不满足条件． 若[lnx]＝1，则1≤lnx＜2，此时方程等价为（lnx）2＝[lnx]+2＝1+2＝3，此时lnx＝，x＝，有一个解． 若[lnx]＝2，则2≤lnx＜3，此时方程等价为（lnx）2＝[lnx]+2＝2+2＝4，此时lnx＝2，x＝e2，有一个解． 若[lnx]＝3，则3≤lnx＜4，此时方程等价为（lnx）2＝[lnx]+2＝3+2＝5，此时lnx＝±，方程无解，不满足条件 ．若[lnx]＝4，则4≤lnx＜5，此时方程等价为（lnx）2＝[lnx]+2＝4+2＝6，此时lnx＝±，方程无解，不满足条件， 即当[lnx]≥4时，方程lnx）2＝[lnx]+2无解，即当x＞0时，f（x）只有3个零点， 若f（x）有且仅有4个零点， 则等价为当x＜0时，若f（x）有且仅有1个零点 当x＜0时，f（x）＝+x﹣a＝0得＝﹣x+a， 作出函数y＝和y＝﹣x+a的图象如图： 当y＝和y＝﹣x+a相切时，两个函数只有一个交点，此时平方得﹣x＝x2﹣ax+a2， 即x2+（1﹣a）x+a2＝0， 由判别式Δ＝（1﹣a）2﹣4×a2＝0得1﹣2a＝0得a＝， 当直线经过原点时，函数y＝和y＝﹣x+a的图象有2个交点此时a＝0， 当a＜0时，函数y＝和y＝﹣x+a的图象有1个交点， 综上实数a的取值范围是a＜0或a＝， 故选：A． 12．【答案】D 【分析】求出函数关于原点对称的函数，函数f（x）＝恰好有两个“孪生点对”，转化为x＜0时，函数的极大值为2，即可得出结论． 【解答】解：由题意，x≥0，f（x）＝﹣x3+6x2﹣9x+2﹣a， 关于原点对称的函数为f（x）＝﹣x3﹣6x2﹣9x﹣2+a（x＜0）， ∵函数f（x）＝恰好有两个“孪生点对”， ∴x＜0时，函数的极大值为2， f′（x）＝﹣3（x+3）（x+1），函数在（﹣∞，﹣3），（﹣1，0）单调递减，（﹣3，﹣1）单调递增， ∴x＝﹣1时取得极大值，即1﹣6+9﹣2+a＝2，∴a＝0， 故选：D． 13．【答案】C 【分析】分别求出V锥总和V沙，再求出V＝f（x）的解析式，结合二次函数的性质，求出函数的最大值即可． 【解答】解：由题意得：0＜x≤1， V锥总＝πr2•h＝π•12•1＝π， 剩余沙子仍成圆锥，高为1﹣x， 半径与母线构成的三角形与底面半径和母线构成的三角形相似， 有：＝，∴r沙＝1﹣x， ∴V沙＝π•（1﹣x）2•（1﹣x）＝π（1﹣x）3， V＝V锥总﹣V沙＝π﹣π（1﹣x）3＝x（x2﹣3x+3）， ∴f（x）＝x（x2﹣3x+3），∴f（1﹣x）＝（1﹣x）（1+x+x2）， F（x）＝f（x）+f（1﹣x）＝（﹣3x2+3x+1）， ∴F（a）+F（b）＝F（a）+F（1﹣a）＝（﹣3a2+3a+1）， 对称轴是a＝﹣＝， 故F（a）+F（b）的最大值是F（）＝， 故选：C． 14．【答案】B 【分析】根据变量关系，不妨设﹣1＜x1＜1＜x2＜3，则﹣1＜2﹣x2＜1，设f（x1）＝f（x2）＝t，用t分别表示出x1和x2的关系，求出x1+x2的值，结合指数函数的单调性进行判断即可． 【解答】解：若x1≠x2，设f（x1）＝f（x2）＝t， 不妨令﹣1＜x1＜1＜x2＜3，则﹣1＜2﹣x2＜1 则f（x1）＝﹣loga（x1+1）＝t，则1+x1＝a﹣t，则x1＝a﹣t﹣1， f（x2）＝f（2﹣x2）﹣a+1＝﹣loga（3﹣x2）﹣a+1＝t， loga（3﹣x2）＝1﹣a﹣t 则3﹣x2＝a1﹣a﹣t，x2＝3﹣a1﹣a﹣t， 则x1+x2＝a﹣t﹣1+3﹣a1﹣a﹣t＝2+（a﹣t﹣a1﹣a﹣t） 当0＜a＜1时，y＝ax为减函数，且﹣t＜﹣t+1﹣a，则a﹣t＞a1﹣a﹣t，此时x1+x2＞2； 当a＞1时，y＝ax为增函数，且﹣t＞﹣t+1﹣a，则a﹣t＞a1﹣a﹣t，此时x1+x2＞2； 故x1+x2的值恒大于2， 故选：B． 15．【答案】A 【分析】根据分段函数的解析式，作出函数y＝|f（x）|的图象，利用直线l与y＝|tanx|相切于点（0，0），结合函数图象，即可得到a的取值范围． 【解答】解：函数f（x）＝， 作出函数y＝|f（x）|的图象如图所示， 当时，﹣x≤|tanx|， 即直线l与y＝|tanx|相切于点（0，0）， 若|f（x）|≥ax， 则直线y＝ax必须在直线l与x轴之间， 因为直线l的斜率为a＝﹣1， 所以a的取值范围为[﹣1，0]． 故选：A． 16．【答案】B 【分析】利用函数y＝g（x）满足g（x+2）＝﹣g（x），得到函数y＝g（x）的周期为4，可得g（﹣2017）＝g（﹣1）＝f（﹣1），利用y＝f（x）在（﹣2，0）∪（0，2）上为偶函数，即可得出结论． 【解答】解：∵函数y＝g（x）满足g（x+2）＝﹣g（x）， ∴g（x+4）＝﹣g（x+2）＝g（x）， ∴函数y＝g（x）的周期为4， ∴g（﹣2017）＝g（﹣1）＝f（﹣1）， ∵y＝f（x）在（﹣2，0）∪（0，2）上为偶函数， ∴f（﹣1）＝f（1）＝0， ∴g（﹣2017）＝0， 故选：B． 17．【答案】C 【分析】当0≤x＜1时，f（x）＝﹣4（x﹣）2+1，可得f（x）∈[0，1]．当x＞1时，f（x）＝log2019x＞0．在同一坐标系内画出函数的图象．利用二次函数的单调性和对数函数的单调性即可得出 【解答】解：当0≤x＜1时，f（x）＝4x（1﹣x），可得f（x）∈[0，1]． 当x＞1时，f（x）＝log2019x＞0． 在同一坐标系内画出函数的图象： 不妨假设a＜b＜c， 由二次函数的对称性可得a+b＝1． 由0＜log2019c＜1，解得1＜c＜2019， ∴2＜a+b+c＜2020． ∴a+b+c的取值范围是（2，2020）． 故选：C． 18．【答案】C 【分析】画出函数f（x）的图象，由题意可得m+＝lnn，可得m＝2lnn﹣3，即有n﹣m＝n﹣2lnn+3，1＜n≤e2，由g（n）＝n﹣2lnn+3，求得导数和单调性，可得最值，即可得到所求范围． 【解答】解：函数， 若存在实数m，n（m＜n），满足f（m）＝f（n）， 可得m+＝lnn， 可得m＝2lnn﹣3， 即有n﹣m＝n﹣2lnn+3，1＜n≤e2， 由g（n）＝n﹣2lnn+3的导数为g′（n）＝1﹣， 可得1＜n＜2时，g（n）递减； 2＜n≤e2时，g（n）递增， 可得n＝2时，取得最小值，且为5﹣2ln2； 由n＝1，可得g（1）＝4；n＝e2，可得g（n）＝e2﹣1， 可得g（n）的最大值为e2﹣1， 则n﹣m的范围是[5﹣2ln2，e2﹣1]． 故选：C． 19．【答案】D 【分析】根据分式函数和对数函数的单调性的性质求出函数f（x）的取值范围，求函数g（x）的导数g′（x），判断函数g（x）在[0，1]上的单调性，根据条件对于任意x1∈[0，1]总存在x2∈[0，1]，使得g（x2）＝f（x1）成立，进行转化求解即可． 【解答】解：当0≤x≤时，f（x）＝＝＝﹣2+∈[﹣4，﹣3]， 当＜x≤1时，f（x）＝log2x﹣3∈（﹣4，﹣3]， 综上当x∈[0，1]时f（x）∈[﹣4，﹣3]， g（x）的导数g′（x）＝3x2﹣6ax＝3x（x﹣2a）， 由g′（x）＝0得x＝0或x＝2a， ∵a≥1，∴2a≥2， 则当0≤x≤1时，]，g′（x）≤0； 故g（x）＝x3﹣3a2x﹣2a在[0，1]上是减函数， 则g（0）＝﹣2a，g（1）＝1﹣3a2﹣2a， 即﹣3a2﹣2a+1≤g（x）≤﹣2a 又∵f（x）的值域为[﹣4，﹣3]； 若对于任意x1∈[0，1]总存在x2∈[0，1]，使得g（x2）＝f（x1）成立， ∴g（1）≤﹣4且g（0）≥﹣3； 即，即， 得，得1≤a≤， 即实数a的取值范围是[1，]， 故选：D． 20．【答案】D 【分析】画出f（x）的图象，由题意可得0＜a＜1，1＜b＜e，c＞e，求得ab＝1，clnb＝e，转化为b的函数，运用导数求得单调性和最值，可得所求范围． 【解答】解：画出f（x）的图象， 由0＜a＜b＜c且f（a）＝f（b）＝f（c），得：0＜a＜1，1＜b＜e，c＞e， 且﹣lna＝lnb，lnb＝，可得ab＝1，clnb＝e． af（b）+bf（c）+cf（a）＝（a+b+c）lnb＝（b+）lnb+e， 令g（b）＝（b+）lnb+e，（1＜b＜e）， 则g′（b）＝（1﹣）lnb+（b+）• ＝1+lnb+（1﹣lnb），由1＜b＜e，可得1﹣lnb＞0，lnb＞0， 即g′（b）＞0， 则函数g（b）在区间（1，e）上单调递增，可得g（1）＜g（b）＜g（e）， 即e＜（b+）lnb+e＜2e+，af（b）+bf（c）+cf（a）的取值范围是（e，2e+） （以a为变量时，注意a的取值范围为＜a＜1）． 故选：D． 21．【答案】B 【分析】由周期函数的定义判断A；由分段函数解析式求得函数值域判断B；由偶函数的定义判断C；由函数解析式及实数的稠密性判断D． 【解答】解：对于A，设T为非零有理数，若x为有理数，则x+T为有理数，若x为无理数，则x+T为无理数， 故f（x+T）＝f（x），设T为无理数，若x为有理数，则x+T为无理数，若x为无理数，则x+T可能为有理数， 也可能为无理数，不满足f（x+T）＝f（x）， 故任意非零有理数均是D（x）的周期，但任何无理数均不是D（x）的周期，故A正确； 对于B，当x∈Q时，f（x）＝a，当x∈QC时，f（x）＝b，f（x）的值域为{a，b}，故B错误； 对于C，若x为有理数，则﹣x为有理数，有f（﹣x）＝f（x）＝a； 若x为无理数，则﹣x为无理数，有f（﹣x）＝f（x）＝b，函数为偶函数，故C正确； 对于D，由实数的稠密性，任意两个有理数之间都有无理数，任意两个无理数之间也都有有理数， 则函数值在a与b之间转换，函数没有单调性，故D正确． 故选：B． 22．【答案】B 【分析】利用f（x）是定义在R上的偶函数，可得m＝0，化简a，c，利用函数在（0，+∞）上是增函数，可得a，b，c的大小关系． 【解答】解：由f（x）为R上的偶函数，可得 f（﹣x）＝f（x），即为x2+|x﹣m|＝x2+|﹣x﹣m|， 求得m＝0， 即f（x）＝x2+|x|， 当x＞0时，f（x）＝x2+x递增， 由a＝f（e）＝f（log3e） b＝f（log3π），c＝f（em）＝f（e0）＝f（1）， 又log3π＞1＞log3e， 可得f（log3π）＞f（1）＞f（log3e）， 即有b＞c＞a． 故选：B． 23．【答案】C 【分析】求得f（x）的导数，判断单调性，可判断A，C；计算f（0），可判断D；讨论x＞0，x≤0，解方程即可判断B． 【解答】解：函数f（x）＝， 则f′（x）＝， 所以f′（x）≤0，故f（x）在R上单调递减， 可得f（x）无极值；f（0）＝1； 由f（x）＝﹣1，当x＞0时，＝﹣1无实数解； 当x≤0时，cosx﹣x＝﹣1， 由cosx∈[﹣1，1]，可得x﹣1∈[﹣1，1]，即x∈[0，2]， x＝0显然不成立． 故选：C． 24．【答案】A 【分析】由函数的周期可得f（﹣7）＝f（﹣1），f（8）＝f（2），再由分段函数的解析式，计算可得所求值． 【解答】解：定义在R上的函数f（x）的周期为6． 且， 则f（﹣7）+f（8）＝f（﹣1）+f（2）＝f（﹣1）+f（﹣2）＝2+1+1+4+2+1＝11． 故选：A． 25．【答案】D 【分析】根据f（x）的解析式即可判断f（x）在（0，+∞）上是增函数，并且x＞0时，f（x）＞0，x＜0时，f（x）＜0，利用有理指数幂与对数的运算性质判断a＞1＞b＞0＞c，从而可得出f（a），f（b）和f（c）的大小关系． 【解答】解：f（x）在（0，+∞）上是增函数，且x＞0时，f（x）＞0，x＜0时，f（x）＜0， 0＜b＝log62＝＜log66＝1，a＝60.01＞60＝1，c＝log60.9＜log61＝0， ∴0＜b＜1，a＞1，c＜0， ∴f（a）＞f（b）＞0＞f（c）， ∴f（a）＞f（b）＞f（c）． 故选：D． 二．填空题（共15小题） 26．【答案】4． 【分析】根据题意，利用周期性将f（﹣2023）转化为f（1），然后利用解析式求解可得． 【解答】解：根据题意，函数， 则f（﹣2023）＝f（﹣2019）＝…＝f（﹣3）＝f（1）＝log3（1+2）+3＝4． 故答案为：4 27．【答案】1或﹣3，[﹣，﹣1]． 【分析】第一空：分a＞0与a≤0两种情况讨论，求出a的值，综合可得答案； 第二空：设t＝f（a），则f（t）≤5，由解析先求出t的取值范围，进而分析可得答案． 【解答】解：根据题意，f（x）＝． 若a＞0，则有f（a）＝2a+3＝5，解可得a＝1； 若a≤0，则有f（a）＝a2﹣4＝5，解可得a＝﹣3， 故a＝1或﹣3； 设t＝f（a），则f（t）≤5， 则有或，解可得：﹣3≤t≤1，即﹣3≤f（a）≤1， 当a＞0时，f（a）＝2a+3＞3，无解， 当a≤0时，有﹣3≤a2﹣4≤1，解可得：﹣≤a≤﹣1， 即a的取值范围为：[﹣，﹣1]； 故答案为：1或﹣3，[﹣，﹣1]． 28．【答案】见试题解答内容 【分析】根据分段函数的解析式，结合不等式，构造函数，利用函数的单调性进行求解即可． 【解答】解：由f（x）+3＞0， 当x≥0时，由﹣ex﹣1﹣2x+3＞0， 即ex﹣1+2x﹣3＜0， 设g（x）＝ex﹣1+2x﹣3，则函数g（x）为增函数，且g（1）＝1+2﹣3＝0， 由g（x）＜0，得0≤x＜1， 当x＜0时，由f（x）+3＞0得﹣e﹣x﹣1+2x+3＞0， 设h（x）＝﹣e﹣x﹣1+2x+3，则函数h（x）为增函数，且g（﹣1）＝﹣1﹣2+3＝0， 由h（x）＞0，得﹣1＜x＜0， 综上﹣1＜x＜1， 故答案为：（﹣1，1）． 29．【答案】见试题解答内容 【分析】根据条件判断函数f（x）是偶函数，则函数f（x）有四个零点，等价为当x＞0时，f（x）有两个零点，利用参数分离法进行求解即可． 【解答】解：由条件可得f（x）是偶函数， 根据对称性得x4﹣3x2﹣ax＝0在（0，+∞）上有两个不同的实根， 即a＝x3﹣3x在（0，+∞）上有两个不同的实根， 等价为直线y＝a与曲线y＝x3﹣3x，（x＞0）有两个交点． 函数的导数y′＝3x2﹣3＝3（x+1）（x﹣1）， 则当0＜x＜1时，y′＜0此时函数；当x＞1时，y′＞0． 即当x＝1时，函数取得极小值，此时极小值为y＝1﹣3＝﹣2． 要使y＝a与曲线y＝x3﹣3x，（x＞0）有两个交点， 则﹣2＜a＜0， 故实数a的取值范围是（﹣2，0）， 故答案为：（﹣2，0） 30．【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意，由函数的界迅速求出f（﹣e）的值，进而又由f（f（﹣e））＝f（1），计算可得答案． 【解答】解：根据题意，f（x）＝， 则f（﹣e）＝lne＝1， 则f（f（﹣e））＝f（1）＝e1＝e； 故答案为：e． 31．【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意，由函数的解析式求出f（﹣1）的值，即可得f（f（﹣1））＝f（3），进而可得答案． 【解答】解：根据题意，f（x）＝，则f（﹣1）＝（﹣1）2﹣2×（﹣1）＝3， 则f（f（﹣1））＝f（3）＝log（3+1）＝2； 故答案为：2． 32．【答案】见试题解答内容 【分析】直接利用分段函数列出方程求解函数的零点即可． 【解答】解：函数f（x）＝， 则函数y＝f（x）与y＝1的交点个数就是：|x﹣2|＝1，解得x＝1或x＝3； 4﹣|x﹣2|＝1，解得x＝5或x＝﹣1， 所以函数的零点为：4个． 故答案为：4． 33．【答案】见试题解答内容 【分析】利用分段函数，求解函数的最值，推出结果． 【解答】解：函数f（x）＝，可得x∈（﹣∞，1），时，f（x）＜2， x≥1时，f（x）≥3， 所以函数是值域为：（﹣∞，2）∪[3，+∞）． 故答案为：（﹣∞，2）∪[3，+∞）． 34．【答案】． 【分析】先讨论x1、x2与1的大小关系确定f（x1）f（x2），进而确定x1的取值范围，再结合函数的单调性进行求解． 【解答】解：（1）当0＜x1＜x2＜1时，则f（x1）＝x1，f（x2）＝x2， 又由f（x2）＝ef（x1），得x2＝ex1∈（0，1）， 所以，则； （2）当0＜x1＜1≤x2时，因为， 所以不存在0＜x1＜1≤x2，使得f（x2）＝ef（x1）； （3）当1≤x1＜x2时，则， 又由f（x2）＝ef（x1），得， 则， 令g（x）＝xex+1，则g（x）在[1，+∞）上单调递增， 所以g（x）≥g（1）＝e2，则； 综上所述，x1•f（x2）的取值范围为． 故答案为：． 35．【答案】见试题解答内容 【分析】由条件根据奇函数的性质求得a的值，从而得到f（x）的解析式；由所给的不等式结合f（x）的图象可得x的不等式，解此二次不等式，求得x的范围． 【解答】解：函数f（x）＝是一个奇函数， 设x＜0，则﹣x＞0， 且f（﹣x）＝﹣f（x），即﹣a（﹣x）（﹣x+2）＝﹣x（x﹣2）， 化简可得ax（2﹣x）＝x（2﹣x），∴a＝1． 即f（x）＝，故函数f（x）为R上的减函数，它的图象如图． 由f（2﹣x2）+f（x）＜0，可得2﹣x2＞﹣x，即x2﹣x﹣2＜0， 求得x∈（﹣1，2）． 故答案为：（﹣1，2）． 36．【答案】400． 【分析】分别研究分段函数的两段范围内的函数，从而作出分段函数的图象，由图象进行分析，可得以时，整数解唯一且为2n﹣1，然后利用等差数列求和公式求解即可． 【解答】解：当﹣2≤x≤0时，f（x）＝﹣x2﹣2x＝﹣x（x+2）， 所以f（x）的对称轴为x＝﹣1在该区间内，且f（﹣1）＝1，f（﹣2）＝f（0）＝0， 当x＞0时，，即将前一个区间内的图象向右平移2个单位，并且函数值变为原来的， 作出f（x）的图象如图所示， 当﹣2≤x≤0时，方程无整数解， 又f（1）＝，f（2k﹣1）＝f（2k﹣3）＝…＝，k∈Z， f（2k）＝f（2k﹣2）＝…＝f（0）＝0，k∈Z， 所以时，整数解唯一且为2n﹣1， 所以f（2n﹣1）＝，即xn＝2n﹣1， 所以＝1+3+5+7+…+（2×20﹣1）＝． 故答案为：400． 37．【答案】见试题解答内容 【分析】求出f（f（3））的值，根据分段函数的表达式，解不等式即可得到结论． 【解答】解：f（3）＝4，f（4）＝（4﹣1）2＝32＝9， 则不等式f（f（3））＞f（a）等价为f（a）＜9， 若a＜0，由2a＜9，解得a＜log29，所以a＜0； 若a≥0，由（a﹣1）2＜9，解得﹣2＜a＜4，此时0≤a＜4， 综上：a＜4， 故答案为：（﹣∞，4）． 38．【答案】见试题解答内容 【分析】根据分段函数的特殊点直接分段讨论求解即可． 【解答】解：因为函数， 故f（0）＝0； ∴f（x+1）≤f（0）⇒f（x+1）≤0； 当x+1≥0即x≥﹣1时，（x+1）3﹣3（x+1）≤0⇒（x+1）[（x+1）2﹣3]≤0⇒（x+1）2﹣3≤0⇒﹣≤x+1⇒﹣﹣1≤x； 故﹣1≤x≤； 当x+1＜0即x＜﹣1时，ln（﹣（x+1））≤0＝ln1⇒﹣（x+1）≤1⇒﹣2≤x＜﹣1； 综上可得：﹣2≤x≤﹣1； 故答案为：[﹣2，﹣1]． 39．【答案】见试题解答内容 【分析】根据函数f（x）＝a|2x﹣6|（a＞0，a≠1）满足f（1）＝，求出a值，进而结合指数函数的单调性和复合函数的单调性，可得答案． 【解答】解：∵函数f（x）＝a|2x﹣6|（a＞0，a≠1）， ∴f（1）＝a4＝， ∴a＝， ∴函数f（x）＝（）|2x﹣6|＝， 故f（x）的单调递减区间是[3，+∞）， 故答案为：[3，+∞） 40．【答案】见试题解答内容 【分析】利用已知条件求出函数的解析式，通过g（t）＝2，利用分段函数列出方程，分别求出t的值即可． 【解答】解：函数f（x）＝2x﹣kxα﹣2（k，α∈R）的图象经过点（1，0），所以2﹣k﹣2＝0，解得k＝0， 所以g（x）＝， ∵g（t）＝2， ∴当t≤0时，g（t）＝2t﹣2＝2，解得t＝2（舍去）； 当t＞0时，g（t）＝log2（t+1）＝2，解得t＝3． 综上，t＝3． 故答案为：3． 三．解答题（共10小题） 41．【答案】见试题解答内容 【分析】设sinθ+cosθ＝x，则原不等式可化为：，然后转化成恒成立，将a分离出来，从而只要，根据函数的单调性求出即可求出a的范围． 【解答】解：设sinθ+cosθ＝x，则 从而原不等式可化为： 即， ∴原不等式等价于不等式（1）∵，∴2x﹣3＜0 （1）不等式恒成立等价于恒成立． 从而只要． 又容易知道在上递减，∴． 所以a＞3． 42．【答案】见试题解答内容 【分析】（Ⅰ）讨论0＜x≤4时，4＜x≤10时，空气中释放的浓度f（x），结合条件，解不等式可得x的最大值； （Ⅱ）设从第一次喷洒起，经x（6＜x≤10）天，求得浓度g（x）的解析式，运用基本不等式可得所求最小值． 【解答】解：（Ⅰ）因为一次喷洒4个单位的去污剂， 所以空气中释放的浓度为f（x）＝， 当0＜x≤4时，4（1+）≥4，解得x≥0，即0＜x≤4， 当4＜x≤10时，≥4，解得x≤7，即4＜x≤7，综上得0＜x≤7． 即一次投放4个单位的去污剂，有效去污时间可达7天； （Ⅱ）设从第一次喷洒起，经x（6＜x≤10）天， 浓度g（x）＝2﹣+a（1+）＝+≥2＝2＝3≥4， 即a≥，a∈[1，4]，可得≤a≤4； 当a＝时，＝，即x+2＝9，可得x＝7足题意， 所以a的最小值为． 43．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）利用分段函数的性质将函数表示为分段函数形式进行作图即可． （2）将不等式恒成立转化为图象关系进行求解即可． 【解答】解：（1）当x≤﹣时，f（x）＝﹣（2x+1）﹣（x﹣1）＝﹣3x， 当﹣＜x＜1，f（x）＝（2x+1）﹣（x﹣1）＝x+2， 当x≥1时，f（x）＝（2x+1）+（x﹣1）＝3x， 则f（x）＝对应的图象为： 画出y＝f（x）的图象； （2）当x∈[0，+∞）时，f（x）≤ax+b， 当x＝0时，f（0）＝2≤0•a+b，∴b≥2， 当x＞0时，要使f（x）≤ax+b恒成立， 则函数f（x）的图象都在直线y＝ax+b的下方或在直线上， ∵f（x）的图象与y轴的交点的纵坐标为2， 且各部分直线的斜率的最大值为3， 故当且仅当a≥3且b≥2时，不等式f（x）≤ax+b在[0，+∞）上成立， 即a+b的最小值为5． 44．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）分别取x＞0，x＝0，x＜0，利用已知函数解析式及定义证明函数为（﹣∞，+∞）上的奇函数； （2）分析函数的单调性，结合f（）＝﹣1，f（1）＝3，把﹣1＜f（log4x）≤3转化为对数不等式求解． 【解答】解：（1）函数f（x）在（﹣∞，+∞）上为奇函数． 证明如下：任取x＞0，则﹣x＜0， ∴f（﹣x）＝1﹣4x＝﹣（4x﹣1）＝﹣f（x）； 再任取x＜0，则﹣x＞0， ∴f（﹣x）＝4﹣x﹣1＝﹣（1﹣4﹣x）＝﹣f（x）； 又当x＝0时，﹣x＝0， ∴f（﹣x）＝0＝﹣0＝﹣f（x）． 故f（x）在（﹣∞，+∞）上为奇函数． （2）当x＞0时，f（x）＝4x﹣1是增函数， ∴f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数， 又f（）＝﹣1，f（1）＝3， ∴由﹣1＜f（log4x）≤3，得＜log4x≤1， ∴＜x≤4． 故不等式﹣1＜f（log4x）≤3的解集为（，4]． 45．【答案】（1）（0，2）． （2）[0，+∞）． 【分析】（1）利用绝对值的定义，分x≥，﹣1＜x＜，x≤﹣1三种情况，分别求解不等式，即可得到答案； （2）利用绝对值不等式的结论求出|x﹣1|+|x﹣2|的最小值为1，由二次函数的性质求出x2﹣2x的最小值为﹣1，且同时取到等号，从而得到f（x）的最小值，由此得到函数的值域． 【解答】解：（1）当x≥时，不等式变形为2x﹣3+x+1＜4，解得x＜2，所以≤x＜2； 当﹣1＜x＜时，不等式变形为3﹣2x+x+1＜4，解得x＞0，所以0＜x＜； 当x≤﹣1时，不等式变形为3﹣2x﹣x﹣1＜4，解得x＞﹣，所以x无解． 综上所述，原不等式的解集为（0，2）． （2）函数f（x）＝|x﹣1|+|x﹣2|+x2﹣2x， 因为|x﹣1|+|x﹣2|≥|（x﹣1）﹣（x﹣2）|＝1， 当且仅当（x﹣1）（x﹣2）≤0，即1≤x≤2时取等号， 又x2﹣2x≥﹣1，当且仅当x＝1时取等号， 所以f（x）的最小值为1﹣1＝0， 另一方面，当x→+∞时，f（x）→+∞， 所以f（x）的值域为[0，+∞）． 46．【答案】见试题解答内容 【分析】（Ⅰ）根据条件建立不等式关系进行求解即可 （Ⅱ）设从第一次喷洒起，经x（6＜x≤10）天空气中的去污剂浓度为f（x），求出f（x）的解析式，结合条件转化为f（x）≥4对一切6＜x≤10恒成立，然后，求出函数的最值即可． 【解答】解：（Ⅰ）依题意 令y≥4，则或 解得0＜x≤4或4＜x≤7，∴0＜x≤7 ∴一次喷洒1个单位的去污剂，去污时间可达7天 ………………………（6分） （Ⅱ）设从第一次喷洒起，经x（6＜x≤10）天空气中的去污剂浓度为f（x） 则 依题意f（x）≥4对一切6＜x≤10恒成立， ∴f（x）min≥4 又f（x）在（6，10]上单调递减， ∴fmin（x）＝f（10）＝3+6a ∴3+6a≥4，即a≥≈0.2， 故a的最小值为0.2 ………………（12分） 47．【答案】见试题解答内容 【分析】（Ⅰ）若n＝19，结合题意，可得y与x的分段函数解析式； （Ⅱ）由柱状图分别求出各组的频率，结合“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，可得n的最小值； （Ⅲ）分别求出每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件时的平均费用，比较后，可得答案． 【解答】解：（Ⅰ）当n＝19时， y＝＝ （Ⅱ）由柱状图知，更换的易损零件数为16个频率为0.06， 更换的易损零件数为17个频率为0.16， 更换的易损零件数为18个频率为0.24， 更换的易损零件数为19个频率为0.24 又∵更换易损零件不大于n的频率为不小于0.5． 则n≥19 ∴n的最小值为19件； （Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件， 所须费用平均数为：（70×19×200+4300×20+4800×10）＝4000（元） 假设这100台机器在购机的同时每台都购买20个易损零件， 所须费用平均数为（90×4000+10×4500）＝4050（元） ∵4000＜4050 ∴购买1台机器的同时应购买19台易损零件． 48．【答案】（81，144）． 【分析】先判断函数的性质以及图象的特点，设a＜b＜c，由图象得ab是个定值，利用数形结合思想去解决即可． 【解答】解：不妨设a＜b＜c， 由于f（x）在（0，3]上严格单调递减，在[3，9]上严格单调递增，在[9，+∞）上严格打电脑递减， 又f（3）＝0，f（9）＝1， 结合图象可知a∈（0，3），b∈（3，9），c∈（9，+∞）， 所以f（a）＝f（b）＝f（c）∈（0，1）， 由f（a）＝f（b）得，1﹣log3a＝log3b﹣1， 取log3a+log3b＝2， 所以ab＝32＝9， 所以abc＝9c， 又0＜f（x）＝4﹣＜1， 所以c∈（9，16）， 所以abc＝9c∈（81，144）， 所以abc的取值范围为（81，144）． 49．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）用分段函数表示； （2）直接求出满足条件的与总数的比值即可． （3）分别求出每台购买7次和8次维修服务所需费用的平均值，比较它们的大小可得 【解答】解（1）当x≤6时，y＝6×1000＝6000； 当x＞6时，y＝6000+1500（x﹣6）＝1500x﹣3000， 故y与x的函数关系式为：y＝ （x∈N）； （2）6≤x≤8的概率为：＝0.7； （3）购买7次维修服务所需要费用的平均数为（300×7000+100×8500+100×10000）＝7900； 购买8次维修服务所需要费用的平均数为（400×8000+100×9500）＝8300； 因为7900＜8300； 故应该购买7此维修服务． 50．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）求导函数，可得f（x）在区间[0，1]上递增，在[1，2]递减，求出f（0）＝0，f（1）＝，f（2）＝，即可求出k的取值范围； （2）确定f（x1）∈[0，]，要使f（x1）﹣g（x0）＝0成立，则g（x0）的值必须包含[0，]．确定g（x）在[1，3]上单调性，即可求实数m的取值范围． 【解答】解：（1）f'（x）＝，所以f（x）在区间[0，1]上递增，在[1，2]递减． 因为f（0）＝0，f（1）＝，f（2）＝， 所以≤k＜．（4分） （2）由（1）可知f（x1）∈[0，]，要使f（x1）﹣g（x0）＝0成立，则g（x0）的值必须包含[0，]． 又g'（x）＝+x﹣2＝＝≥0， 所以函数g（x）＝lnx+x2﹣2x﹣m在[1，3]上单调递增，g（1）＝﹣﹣m，g（3）＝ln3﹣﹣m， 由g（1）＝﹣﹣m≤0，g（3）＝ln3﹣﹣m≥，得﹣≤m≤ln3﹣．（12分） 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/5/15 12:09:47；用户：Damon；邮箱：13120434074；学号：24730468 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$