第二章 不等式-高中数学必修第一册精选易错题练习（人教B版2019)

精选易错题练习—【第二章】不等式 一．选择题（共25小题） 1．已知a＞0，b＞0，则的最小值为（　　） A． B．1 C．2 D．4 2．若，，则的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．设x＞0，y＞0，+＝4，z＝2log4x+log2y．则使z取最小值的实数对（x，y）的值为（　　） A．（1，） B．（，） C．（，） D．（，） 4．设0＜m＜，若+≥k2﹣2k恒成立，则k的取值范围为（　　） A．[﹣2，0）∪（0，4] B．[﹣4，0）∪（0，2] C．[﹣4，2] D．[﹣2，4] 5．已知正数m，n满足4m×8n＝2，则的最小值为（　　） A．24 B．18 C．16 D．12 6．若实数x＞0，y＞0，且x+2y＝1，则（　　） A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最小值为2 D．无最小值 7．已知实数x，y满足2x＞y＞0，且＝1，则x+y的最小值为（　　） A． B． C． D． 8．已知首项与公比相等的等比数列{an}中，若m，n∈N*，满足am＝，则的最小值为（　　） A．1 B． C．2 D． 9．下列函数中最小值为4的是（　　） A．y＝x2+2x+4 B．y＝|sinx|+ C．y＝2x+22﹣x D．y＝lnx+ 10．设a＞0，b＞0，若2a+b＝2，则的最小值为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 11．已知x2+y2＝1，x∈R，y∈R，且xy≠0，则（　　） A．|x+y|≥ B． C．log2|x|+log2|y|≤﹣1 D． 12．已知实数x，y满足﹣1≤x+y≤3，4≤2x﹣y≤9，则（　　） A．1≤x≤3 B．﹣2≤y≤1 C．2≤4x+y≤15 D．＜x﹣y＜ 13．已知函数f（x）＝log2（﹣x），若对任意的正数a，b，满足f（a）+f（3b﹣1）＝0，则的最小值为（　　） A．6 B．8 C．12 D．24 14．若a+b+c＝4，3a+2b﹣c＝0，则ab的最大值为（　　） A． B． C． D． 15．若0＜a＜b＜1，x＝ab，y＝ba，z＝logba，则x，y，z大小关系正确的是（　　） A．x＜y＜z B．y＜x＜z C．z＜x＜y D．z＜y＜x 16．已知x2+ax+b≤0的解集是{x|x＝c}，若x2+ax+b＜d的解集为（x1，x2），|x1﹣x2|＝，则d＝（　　） A．24 B．12 C．6 D． 17．设集合A＝{x|﹣2＜x＜﹣1或x＞1}，集合B＝{x|x2+ax+b≤0}，已知A∪B＝{x|x＞﹣2}，A∩B＝{1＜x≤3}，则a+b＝（　　） A．﹣5 B．﹣3 C．﹣1 D．3 18．设实数a，b满足1001a+1010b＝2023a，1014a+1016b＝2024b，则a，b的大小关系为（　　） A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．无法比较 19．若a＞0，b＞0，且ab＝a+b，则4a+9b的最小值为（　　） A．25 B．5 C．26 D．13 20．已知曲线y＝ax﹣1+1（a＞0且a≠1）过定点（k，b），若m+n＝b且m＞0，n＞0，则的最小值为（　　） A． B．9 C．5 D． 21．已知关于x的不等式ax2﹣2x+3a＜0在（0，2]上有解，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 22．若x＞0，y＞0，x+2y＝1，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 23．已知正实数a，b满足a+b＝1，则（3+）（1+）的最小值为（　　） A．14+4 B．25 C．24 D．12 24．已知二次不等式ax2+2x+b＞0（a，b∈R）的解集为，则y＝a2+b2﹣2（a+b）的最小值为（　　） A．2﹣4 B．2+4 C．4﹣4 D．4+4 25．已知，则的取值范围是（　　） A．[2，3] B． C． D．[1，3] 二．填空题（共15小题） 26．函数的最小值为　 　． 27．若函数f（x）＝mx2+（n﹣1）x+2（m＞0，n＞0）的单调递增区间为，则的最小值为 　 　． 28．a，b为正数，，（a﹣b）2＝4（ab）3，则a+b＝　 　． 29．不等式x2﹣3x﹣4＜0的解集为　 　． 30．函数y＝x+（x＞1）的最小值为　 　． 31．已知，y＞0，且，则y的最大值为 　 　． 32．比较与的大小　 　（填＜或＞）． 33．若不等式x2﹣ax+5＜0与1＜x＜b同解，则a+b的值为　 　． 34．若关于x的不等式x2﹣5x+a2+a＜0的解集是（2，3），则a＝　 　． 35．已知圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝2关于直线ax+by＝1（a＞0，b＞0）对称，则的最小值为 　 　． 36．已知a，b为正数，满足+＝1，则ab的最小值为 　 　． 37．函数y＝x2+的最小值为　 　． 38．已知a＞0，b＞0，满足+2b＝4，则+的最小值为 　 　． 39．设集合中的最大元素与最小元素分别为M，m，则M﹣m的值为　 　． 40．若正数a，b满足ab＝a+b+3，则ab的取值范围是 　 　． 三．解答题（共10小题） 41．a为何值时，方程组的解是正数？ 42．设a∈R，二次函数f（x）＝ax2﹣2x﹣2a．若f（x）＞0的解集为A，B＝{x|1＜x＜3}，A∩B≠∅，求实数a的取值范围． 43．设a≠b，解关于x的不等式a2x+b2（1﹣x）≥[ax+b（1﹣x）]2． 44．如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出．设箱体的长度为a米，高度为b米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比．现有制箱材料60平方米．问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）． 45．已知函数f（x）＝logax（a＞0且a≠1，x∈R+），若x1，x2∈R+，判断与的大小，并加以证明． 46．某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同．为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？ 47．两题任选一题： （1）k是什么实数时，方程x2﹣（2k+3）x+3k2+1＝0有实数根？ （2）设方程8x2﹣（8sinα）x+2+cos2α＝0的两个根相等，求α． 48．某市垃圾处理站每月的垃圾处理成本y（元）与月垃圾处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为y＝﹣200x+80000，求该站每月垃圾处理量为多少吨时，才能使每吨垃圾的平均处理成本最低？最低平均处理成本是多少？ 49．半径为1的球内切于圆锥（直圆锥），已知圆锥母线与底面夹角为2θ． （1）求证：圆锥的母线与底面半径的和是； （2）求证：圆锥全面积是； （3）当θ是什么值时，圆锥的全面积最小？ 50．已知a，b∈（0，+∞），a（1﹣b）＝b（a﹣1），f（x）＝|2x+1|+|x﹣2|． （Ⅰ）求a2+b2的最小值； （Ⅱ）若对任意a，b∈（0，+∞），都有f（x）≤4（a2+b2），求实数x的取值范围． 精选易错题练习—【第二章】不等式 参考答案与试题解析 一．选择题（共25小题） 1．【答案】D 【分析】构造基本不等式的性质即可求解． 【解答】解：由＝ ∵a＞0，b＞0， ∴＝4，当且仅当a+2b＝2时取等号． 则的最小值为4． 故选：D． 2．【答案】D 【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出． 【解答】解：∵，， ∴a+b＝1，a＞0，b＞0， 则＝（）（a+b）， ＝2+≥4， 当且仅当a＝b＝时取等号，即最小值4． 故选：D． 3．【答案】D 【分析】根据题意，利用基本不等式求得xy的最小值，即得z的最小值； 再根据不等式成立的条件求得使z取最小值的实数对x、y的值． 【解答】解：∵x＞0，y＞0，且+＝4， ∴4＝+≥2＝2， ∴≤2， ∴xy≥，当且仅当x＝2y时取等号； ∴z＝2log4x+log2y＝log2x+log2y＝log2xy≥log2＝﹣3， 则z的最小值是﹣3，此时x＝，y＝； ∴使z取最小值的实数对为（，）． 故选：D． 4．【答案】D 【分析】利用基本不等式，求出左边的最小值，再解一元二次不等式即可得到答案． 【解答】解：由于0＜m＜，则得到≤＝ （当且仅当2m＝1﹣2m，即m＝时，取等号） ∴+＝≥8 ∵+≥k2﹣2k恒成立， ∴k2﹣2k﹣8≤0， ∴﹣2≤k≤4． 故选：D． 5．【答案】A 【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出． 【解答】解：∵正数m，n满足4m×8n＝22m+3n＝2， ∴2m+3n＝1， 则＝（）（2m+3n）＝12+＝24， 当且仅当3n＝2m时取等号． 故选：A． 6．【答案】B 【分析】变形利用基本不等式即可判断出结论． 【解答】解：因为x+2y＝1， 所以＝+＝++≥2+＝+， 当且仅当＝，即时取“＝”， ∴有最小值+，无最大值． 故选：B． 7．【答案】B 【分析】由已知可得，5（x+y）＝（2x﹣y）+3（x+2y），然后代入5x+5y＝（）[（2x﹣y）+3（x+2y）]，利用基本不等式可求． 【解答】解：∵2x＞y＞0，且＝1， ∵5（x+y）＝（2x﹣y）+3（x+2y）， ∴5x+5y＝（）[（2x﹣y）+3（x+2y）] ＝4， 则x+y的最小值为． 故选：B． 8．【答案】A 【分析】由题意可得到，从而可由得出m+2n＝8，这样即可得出，这样由基本不等式即可求出的最小值． 【解答】解：根据题意，； ∴由得：q（m+2n）＝q8； ∴m+2n＝8； ∴； 又m，n∈N*； ∴＝，当，即m＝2n＝4时取“＝”； ∴的最小值为1． 故选：A． 9．【答案】C 【分析】利用二次函数的性质求出最值，即可判断选项A，根据基本不等式以及取最值的条件，即可判断选项B，利用基本不等式求出最值，即可判断选项C，利用特殊值验证，即可判断选项D． 【解答】解：对于A，y＝x2+2x+4＝（x+1）2+3≥3， 所以函数的最小值为3，故选项A错误； 对于B，因为0＜|sinx|≤1，所以y＝|sinx|+， 当且仅当，即|sinx|＝2时取等号， 因为|sinx|≤1，所以等号取不到， 所以y＝|sinx|+＞4，故选项B错误； 对于C，因为2x＞0，所以y＝2x+22﹣x＝， 当且仅当2x＝2，即x＝1时取等号， 所以函数的最小值为4，故选项C正确； 对于D，因为当x＝时，， 所以函数的最小值不是4，故选项D错误． 故选：C． 10．【答案】B 【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出． 【解答】解：因为a＞0，b＞0，2a+b＝2， 则＝[]＝（4+）（4+2）＝4， 当且仅当且2a+b＝2，即a＝，b＝1时取等号，此时取得最小值4． 故选：B． 11．【答案】C 【分析】由2（x2+y2）≥（x+y）2判断A，由x2+y2≥2|xy|判断BC，由举实例判断D． 【解答】解：A：∵x2+y2≥2xy，∴2（x2+y2）≥（x+y）2，∴（x+y）2≤2，∴|x+y|≤，当且仅当|x|＝|y|＝时等号成立，∴A错误， B：∵1＝x2+y2≥2|xy|，∴|xy|≤，当且仅当|x|＝|y|＝时等号成立，∴B错误， C：∵log2|x|+log2|y|＝log2|xy|≤log2＝﹣1，当且仅当|x|＝|y|＝时等号成立，∴C正确， D：当x＝y＝时，+＝2＞2，∴D错误， 故选：C． 12．【答案】C 【分析】将已知等式两式相加，即可判断A；由题意可得，解不等式组即可判断B；由4x+y＝2（x+y）+（2x﹣y），结合已知即可判断C；由x﹣y＝﹣（x+y）+（2x﹣y），结合已知即可判断D． 【解答】解：因为﹣1≤x+y≤3，4≤2x﹣y≤9， 所以两式相加，可得3≤3x≤12， 可得1≤x≤4，故A错误； 因为，所以﹣2≤﹣3y≤11，解得﹣≤y≤，故B错误； 因为4x+y＝2（x+y）+（2x﹣y），又﹣2≤2（x+y）≤6，所以2≤4x+y≤15，故C正确； 因为x﹣y＝﹣（x+y）+（2x﹣y），又﹣1，可得≤（2x﹣y）≤6，所以≤x﹣y≤，故D错误． 故选：C． 13．【答案】C 【分析】先确定函数奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性化简方程得a+3b＝1，最后根据基本不等式求最值． 【解答】解：f（x）＝log2（﹣x）， 因为﹣x＞﹣x≥x﹣x＝0，所以定义域为：R， 因为：f（x）＝log2（﹣x），f（x）＝log2（），所以：f（x）为减函数 因为f（x）＝log2（），：f（﹣x）＝log2（+x），所以：f（x）＝﹣f（﹣x），f（x）为奇函数， 因为：f（a）＝f（3b﹣1）＝0，所以：f（a）＝f（1﹣3b），a＝1﹣3b，即a+3b＝1， 所以+＝（+）（a+3b）＝++6， 因为：+≥2＝6， 所以+＝（+）（a+3b）＝++6≥12，（当且仅当a＝，b＝时，等号成立）， 故选：C． 14．【答案】C 【分析】方法一：由a+b+c＝4，3a+2b﹣c＝0，可消去c得到4a+3b＝4，根据基本不等式“和定，积有最大值”，，当且仅当4a＝3b时，等号成立即可得出答案； 方法二：由a+b+c＝4，3a+2b﹣c＝0，可消去c得到4a+3b＝4，则，令y＝ab，代入即可得到二次函数，即可得出答案． 【解答】解：方法一：由a+b+c＝4，3a+2b﹣c＝0，消去c得到4a+3b＝4， 令a＞0，b＞0．则4a+3b≥，即，∴ab≤，当且仅当4a＝3b时，等号成立，故ab的最大值为． 故选：C． 方法二：由a+b+c＝4，3a+2b﹣c＝0，可消去c得到4a+3b＝4，则，令y＝ab， ∴y＝，∴当b＝时，，故ab的最大值为． 故选：C． 15．【答案】A 【分析】根据0＜a＜b＜1即可得出ab＜aa＜ba＜1，logba＞1，从而得出x，y，z的大小关系． 【解答】解：∵0＜a＜b＜1； ∴ab＜aa＜ba＜b0＝1，logba＞logbb＝1； ∴x＜y＜z． 故选：A． 16．【答案】C 【分析】根据x2+ax+b≤0的解集得出Δ＝a2﹣4b＝0，把不等式x2+ax+b＜d化为＜d，求出不等式的解集，再利用|x1﹣x2|＝求得d的值． 【解答】解：x2+ax+b≤0的解集是{x|x＝c}，所以Δ＝a2﹣4b＝0，所以b＝a2， 所以不等式x2+ax+b＜d可化为＜d， 解得﹣﹣＜x＜+， 又因为不等式的解集为（x1，x2）， 所以|x1﹣x2|＝2＝，解得d＝6． 故选：C． 17．【答案】A 【分析】根据集合B是闭区间，由题意求得集合B，再根据二次不等式与二次方程的关系求出a、b的值． 【解答】解：因为集合B＝{x|x2+ax+b≤0}，可设B＝{x|α≤x≤β}， 由集合A＝{x|﹣2＜x＜﹣1或x＞1}，且A∪B＝{x|x＞﹣2}，A∩B＝{1＜x≤3}， 设想集合B所表示的范围在数轴上移动， 当且仅当B包含集合{x|﹣1≤x≤3}，才能使A∩B＝{1＜x≤3}， 所以α≤﹣1且β≥1，并且α≥﹣1及β＝3， 所以α＝﹣1，β＝3， 所以B＝{x|﹣1≤x≤3}， 根据二次不等式与二次方程的关系，可知﹣1与3是方程x2+ax+b＝0的两根， 所以a＝﹣（﹣1+3）＝﹣2，b＝（﹣1）×3＝﹣3， 所以a+b＝﹣5． 故选：A． 18．【答案】C 【分析】先假设a≥b，再推理导出矛盾结果或成立的结果即可得解． 【解答】解：假设a≥b，则1010a≥1010b，1014a≥1014b， 由1001a+1010b＝2023a可得，1001a+1010a≥2023a，所以≥1， 因函数在R上单调递减，且， 则f（a）≥1＞f（1），即a＜1； 由1014a+1016b＝2024b得， 又函数在R上单调递减，且， 则g（b）≤1＜g（1），即b＞1； 即有a＜1＜b与假设a≥b矛盾，所以a＜b． 故选：C． 19．【答案】A 【分析】由ab＝a+b可得，再由4a+9b转化（+）（4a+9b）可解决此题． 【解答】解：由ab＝a+b可得，又a＞0，b＞0， ∴， 当且仅当，且，即，时，等号成立，所以4a+9b的最小值为25， 故选：A． 20．【答案】A 【分析】令x﹣1＝0，求出曲线y＝ax﹣1+1（a＞0且a≠1）过定点为（1，2），所以m+n＝2，再利用乘1法即可得到的最小值． 【解答】解析：∵定点为（1，2）∴m+n＝2 ∴＝ 当且仅当，即m＝，n＝时取得最小值， 故选：A． 21．【答案】A 【分析】由题意不等式化为ax+＜2，讨论a＝0、a＞0和a＜0时，分别求出不等式成立时a的取值范围即可． 【解答】解：x∈（0，2]时，不等式可化为ax+＜2； 当a＝0时，不等式为0＜2，满足题意； 当a＞0时，不等式化为x+＜， 则＞2＝2，当且仅当x＝时取等号， 所以a＜，即0＜a＜； 当a＜0时，x+＞恒成立； 综上知，实数a的取值范围是（﹣∞，）． 故选：A． 22．【答案】C 【分析】化＝，再利用基本不等式求出+的最小值，即可得出的最大值． 【解答】解：由题意知＝， 又x＞0，y＞0，x+2y＝1， ∴+＝（+）（x+2y）＝++5≥2•+5＝4+5＝9， 当且仅当＝，即x＝y＝时取“＝”； 所以的最大值为． 故选：C． 23．【答案】A 【分析】利用题设条件对式子变形后利用基本不等式求得结果即可． 【解答】解：∵正实数a，b满足a+b＝1， ∴（3+）（1+）＝•＝•＝＝14++≥14+2＝14+4，当且仅当时取“＝“， 故选：A． 24．【答案】C 【分析】先利用一元二次不等式的解集得到ab＝2，且a＞0，b＞0，然后将所求解的式子进行配方转化，得到y＝（a+b+1）2﹣5，利用基本不等式求出a+b的范围，即可得到答案． 【解答】解：因为二次不等式ax2+2x+b＞0（a，b∈R）的解集为， 所以，即ab＝2，且a＞0，b＞0， 所以，当且仅当a＝b时取等号， 所以y＝a2+b2﹣2（a+b）＝（a+b）2﹣2（a+b）﹣4＝（a+b﹣1）2﹣5， 所以当时，y取最小值， 故y的最小值为． 故选：C． 25．【答案】C 【分析】由a2+2b2+c2＝a2+b2+b2+c2，然后利用重要不等式得到≥2，根据，，构造对勾函数，然后结合其性质可求． 【解答】解：＝＝2， 当且仅当a＝b＝c时取等号， 因为，， 所以，， 令f（x）＝x+，， 根据对勾函数单调性知，当x＝1时，函数取得最小值2，当x＝2或时，函数取得最大值， 故2， 所以2≤，即， 同理， 所以， 所以≤． 所以2≤≤． 故选：C． 二．填空题（共15小题） 26．【答案】3． 【分析】f（x）＝+＝（+）[（3﹣2x）+2x]＝[5++]，利用基本不等式性质，即可求得答案． 【解答】解：f（x）＝+＝（+）[（3﹣2x）+2x]＝[5++]≥×9＝3，当且仅当x＝1时，取得最小值3． 27．【答案】见试题解答内容 【分析】由已知及二次函数的 性质可求得m+n＝1，然后根据＝（）（m+n），展开后利用基本不等式即可求解． 【解答】解：∵函数f（x）＝mx2+（n﹣1）x+2（m＞0，n＞0）的单调递增区间为， 则， ∴m+n＝1， ∴＝（）（m+n）＝2＝4， 当且仅当且n+m＝1即m＝n＝时取得最小值4， 故答案为：4． 28．【答案】见试题解答内容 【分析】令s＝a+b，t＝ab，得到s≤t，由（a﹣b）2＝4（ab）3，可以得到s2﹣4t＝4t3，即可得到s2﹣4s+8≤0，解得即可． 【解答】解：令s＝a+b，t＝ab 则由，得s≤t， 由（a﹣b）2＝4（ab）3，得，（a+b）2﹣4ab＝4（ab）3， ∴s2﹣4t＝4t3， 即s2＝4t+4t3≥s+s3， 即s2﹣4s+8＝（s﹣2）2≤0， 解之得s＝2． 则a+b的值等于2． 故答案为：2． 29．【答案】见试题解答内容 【分析】把不等式坐标分解因式，因为小于0得到两个因式异号，讨论为负正或正负得到x的范围即可得到不等式的解集． 【解答】解：由x2﹣3x﹣4＜0得到（x﹣4）（x+1）＜0， 解出﹣1＜x＜4． 所以不等式的解集为（﹣1，4） 故答案为：（﹣1，4）． 30．【答案】见试题解答内容 【分析】求两个数和的最小值，凑出两个数的积为定值，满足基本不等式成立的条件． 【解答】解：＝x﹣1+1≥2+1＝3 当且仅当x﹣1＝即当x＝2时取“＝” 所以的最小值为3 故答案为3 31．【答案】． 【分析】已知等式变形为，利用基本不等式求得的最小值，然后解关于y的不等式可得． 【解答】解：因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以，又y＞0， 所以4y2+5y﹣6≤0，解得， 即y的最大值为． 故答案为：． 32．【答案】＜． 【分析】可比较和的大小关系，然后即可得出和的大小关系． 【解答】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：＜． 33．【答案】见试题解答内容 【分析】根据一元二次不等式与对应方程的关系求得a的值，再解不等式求得b的值， 直接求a+b即可． 【解答】解：不等式x2﹣ax+5＜0与1＜x＜b同解， 则方程x2﹣ax+5＝0的实数解是1和b， 把x＝1代入方程求得a＝6， 解不等式x2﹣6x+5＜0求得b＝5， 所以a+b＝11． 故答案为：11． 34．【答案】见试题解答内容 【分析】由已知得2和3是相应方程x2﹣5x+a2+a＝0的两根，利用根与系数的关系即可得出； 【解答】解：因为x2﹣5x+a2+a＜0的解集是（2，3）， 所以2，3是方程x2﹣5x+a2+a＝0的根， 故满足a2+a＝2×3＝6，可得a＝﹣3或2． 故答案为：a＝﹣3或2． 35．【答案】见试题解答内容 【分析】由直线与圆的位置关系分析可得直线经过圆C的圆心，则有2a+b＝1，进而可得＝（）（2a+b），结合基本不等式可得答案． 【解答】解：圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝2关于直线ax+by＝1（a＞0，b＞0）对称， ∴2a+b＝1， 则＝（）（2a+b）＝5+＝9， 当且仅当即a＝b时取等号，此时取得最小值9． 故答案为：9 36．【答案】8+4． 【分析】由已知可得ab＝a+2b+4，再利用基本不等式以及一元二次不等式的解法即可求解． 【解答】解：因为a，b为正数，满足+＝1， 则可化简为ab＝a+2b+4≥4+2，当且仅当a＝2b时取等号， 此时ab﹣2﹣4≥0，解得，则ab， 故ab的最小值为8+4， 故答案为：8+4． 37．【答案】见试题解答内容 【分析】由条件可得y＝（x2+1）+﹣1，运用基本不等式可得最小值，注意等号成立的条件． 【解答】解：函数y＝x2+， 即y＝（x2+1）+﹣1 ≥2﹣1＝4﹣1＝3， 当且仅当x2+1＝2，即x＝±1， 上式取得等号， 则函数的最小值为3， 故答案为：3． 38．【答案】． 【分析】利用乘1法，结合基本不等式即可求解． 【解答】解：∵a＞0，b＞0，满足+2b＝4，设t＝，t＞0， 3t+2b＝4，3（t+1）+2b＝7， 则+＝+＝+＝×[3（t+1）+2b]×[（+）＝×[9++]≥×[9+2]＝， 当且仅当＝时取等号， 所以+的最小值为． 故答案为：． 39．【答案】见试题解答内容 【分析】根据不等式的性质求出最小值，a取最小值为1，b取最大值为2，即可求出答案． 【解答】解：∵1≤a≤b≤2， ∴a取最小值为1，b取最大值为2． 所以：最大值M＝＝3+2＝5 又∵≥，即最小值m＝2 所以：M﹣m＝． 故答案为：． 40．【答案】见试题解答内容 【分析】先根据基本不等式可知a+b≥2，代入题设等式中得关于不等式方程，进而求得的范围，则ab的最大值可得． 【解答】解：∵a+b≥2，ab＝a+b+3， ∴ab﹣2﹣3≥0 ∴≥3或≤﹣1（空集） ∴ab≥9 故答案为：[9，+∞） 三．解答题（共10小题） 41．【答案】见试题解答内容 【分析】先解关于x，y的方程组，用含a的表达式来表示x，y，最后让x，y都大于零，再解关于a的不等式即得． 【解答】解：消去x，得（8﹣a）y＝12， ∴，于是可得． 欲使其解x，y均为正数， 必须， 即必须． ∴a＜2． 故当a＜2时，方程组的解均为正数． 42．【答案】见试题解答内容 【分析】解：注意到Δ＝4+8a2＞0，则函数有两个零点，由a的正负，确定不等式解集的形式．结合着数轴分类讨论． 【解答】解：由题意可知二次函数a≠0， 令f（x）＝0解得其两根为 由此可知x1＜0，x2＞0 （i）当a＞0时，A＝{x|x＜x1}∪{x|x＞x2}，则A∩B≠ϕ的充要条件是x2＜3， 即解得 （ii）当a＜0时，A＝{x|x1＜x＜x2}A∩B≠ϕ的充要条件是x2＞1， 即 解得a＜﹣2 综上，使A∩B≠ϕ成立的a的取值范围为 43．【答案】见试题解答内容 【分析】由题意知（a﹣b）2（x2﹣x）≤0，解此不等式，可以得到解集． 【解答】解：将原不等式化为 （a2﹣b2）x+b2≥（a﹣b）2x2+2（a﹣b）bx+b2， 移项，整理后得（a﹣b）2（x2﹣x）≤0， ∵a≠b即（a﹣b）2＞0， ∴x2﹣x≤0， 即x（x﹣1）≤0． 解此不等式，得解集{x|0≤x≤1}． 44．【答案】见试题解答内容 【分析】先将实际问题转化成数学中的函数的最值问题，再利用基本不等式求． 【解答】解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数， 则y＝，其中k＞0为比例系数．依题意，即所求的a，b值使y值最小． 根据题设，有4b+2ab+2a＝60（a＞0，b＞0）， 得b＝（0＜a＜30）．① 于是y＝ ＝＝＝ ≥＝， 当a+2＝时取等号，y达到最小值． 这时a＝6，a＝﹣10（舍去）． 将a＝6代入①式得b＝3． 故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小． 解法二：依题意，即所求的a，b的值使ab最大． 由题设知4b+2ab+2a＝60（a＞0，b＞0）， 即a+2b+ab＝30（a＞0，b＞0）． 因为a+2b≥2， 所以+ab≤30， 当且仅当a＝2b时，上式取等号． 由a＞0，b＞0，解得0＜ab≤18． 即当a＝2b时，ab取得最大值，其最大值为18． 所以2b2＝18．解得b＝3，a＝6． 故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小． 45．【答案】见试题解答内容 【分析】把f（x）的解析式代入f（x1）+f（x2）中，进而根据x1x2≤，根据对数函数的性质，当a＞1时判断出[f（x1）+f（x2）]≤f，当0＜a＜1（logax1+logax2）≥loga，综合可得答案． 【解答】解：f（x1）+f（x2）＝logax1+logax2＝loga（x1x2） ∵x1，x2∈R+， ∴x1x2≤（当且仅当x1＝x2时取“＝”号）．当a＞1时，有loga（x1x2）≤loga ∴loga（x1x2）≤loga，（logax1+logax2）≤loga， 即[f（x1）+f（x2）]≤f（当且仅当x1＝x2时取“＝”号）当0＜a＜1时，有loga（x1x2）≥loga， ∴（logax1+logax2）≥loga， 即[f（x1）+f（x2）]≥f （当且仅当x1＝x2时取“＝”号）． 46．【答案】见试题解答内容 【分析】设2001年末汽车保有量为b1万辆，以后各年末汽车保有量依次为b2万辆，b3万辆，每年新增汽车x万辆，依题意可知b1＝30，根据题意可表示出关于bn的递推式，利用等比数列的求和公式求得bn+1，判断出数列的单调性，然后利用数列的极限求得问题的答案． 【解答】解：设2001年末汽车保有量为b1万辆，以后各年末汽车保有量依次为b2万辆，b3万辆，每年新增汽车x万辆，则b1＝30， 对于n＞1，有 bn+1＝bn×0.94+x ＝bn﹣1×0.942+（1+0.94）x 所以bn+1＝b1×0.94n+x（1+0.94+0.942+…+0.94n﹣1） ＝ ＝ 当，即x≤1.8时bn+1≤bn≤≤b1＝30． 当，即x＞1.8时 数列{bn}逐项增加， 可以任意靠近 因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，即bn≤60（n＝1，2，3，...） 则，即x≤3.6万辆 综上，每年新增汽车不应超过3.6万辆． 47．【答案】见试题解答内容 【分析】根据一元二次方程的根的情况取决于△的取值． 【解答】（1）解：根据一元二次方程有实数根的条件，判别式 Δ＝b2﹣4ac≥0， 所以[﹣（2k+3）]2﹣4（3k2+1）≥0， 即8k2﹣12k﹣5≤0，∴≤k≤． 故当≤k≤时，原方程有实数根． （2）解：根据一元二次方程有等根的条件，判别式 Δ＝b2﹣4ac＝0， 所以（﹣8sinα）2﹣4•8•（2+cos2α）＝0， 64sin2α﹣64﹣32cos2α＝0， 2sin2α﹣cos2α﹣2＝0， ． 48．【答案】见试题解答内容 【分析】求出的解析式，根据不等式的基本性质求出最低成本即可． 【解答】解：由题意可知，每吨垃圾的平均处理成本为： ． 当且仅当，即x＝400时等号成立， 故该站垃圾处理量为400吨时，才能使每吨垃圾的平均处理成本最低，最低成本为200元． 49．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）过球心O与直圆锥底面的中心O1作一平面与圆锥和球的截面进而可知△SAB为等腰三角形联OB，则∠OBO1＝θ设圆锥母线长为l，底面半径为R，进而可表示l和R，代入l+R中化简整理即可证明原式． （2）把（1）中求得l和R代入圆锥的全面积＝πR（l+R）中化简整理即可证明． （3）在圆锥全面积的表达式中，因其分子为常数，所以欲使全面积最小，必须使其分母最大．进而根据正切函数的性质可知时，全面积最小，进而求得此时的θ． 【解答】证明：（1）过球心O与直圆锥底面的中心O1作一平面与圆锥和球的截面如图． 因此，△SAB为等腰三角形联OB，则∠OBO1＝θ 设圆锥母线长为l，底面半径为R， 则l•cos2θ＝R， 又， ∴， ∴ ＝ ＝ ＝ ＝． （2）圆锥的全面积＝πR（l+R） ＝ ＝． （3）在圆锥全面积的表达式中， 因其分子为常数， 所以欲使全面积最小， 必须使其分母最大． ． 因此，欲使tg2θ（1﹣tg2θ）最大，必须 ，（因必为锐，所以仅取正号） ． 故当θ取值时，圆锥的全面积最小． 50．【答案】见试题解答内容 【分析】（Ⅰ）化简a（1﹣b）＝b（a﹣1），转换为：a2+b2＝（a2+b2）（+）2利用基本不等式求最小值即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）转化f（x）≤4（a2+b2），即：|2x+1|+|x﹣2|≤8；讨论去绝对值可求得实数x的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）∵a，b∈（0，+∞），a（1﹣b）＝b（a﹣1） ∴a+b＝2ab．∴+＝1； a2+b2＝（a2+b2）（+）2＝[2+++2（+）]≥（2+2+2×2）＝2； 当且仅当：＝且＝时，即：a＝b＝1时取等号； 所以a2+b2的最小值为：2； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，（a2+b2）min＝2； 对任意a，b∈（0，+∞），都有f（x）≤4（a2+b2）． ∴f（x）≤8，即：|2x+1|+|x﹣2|≤8；讨论去绝对值： 既有：2x+1＜0，﹣2x﹣1﹣x+2≤8；① 或者：2x+1≥0，x﹣2≤0，2x+1﹣x+2≤8；② 或者：x﹣2＞0，2x+1+x﹣2≤8，③ 解①②③可得：﹣≤x≤3， 实数x的取值范围是[﹣，3]． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/5/15 12:07:38；用户：Damon；邮箱：13120434074；学号：24730468 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$