精品解析：湖南省长沙市第一中学2024届高三下学期模拟考试数学试卷（一）

大联考长沙市一中2024届模拟试卷（一） 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择随时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后；再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一井交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知某位自行车赛车手在相同条件下进行了8次测速，测得其最大速度（单位：）的数据分别为42，38，45，43，41，47，44，46，则这组数据中的分位数是（ ） A. 44.5 B. 45 C. 45.5 D. 46 2. 函数在上的大致图象为（ ） A. B. C. D. 3. 已知复数z满足，则取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知点A为双曲线的左顶点，点B和点C在双曲线的左支上，若是等腰直角三角形，则的面积是（ ） A. 4 B. C. D. 5. 在的展开式中，的系数是（ ） A. 168 B. C. 1512 D. 6. 如图，一个棱长1分米的正方体形封闭容器中盛有V升的水，若将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，则V的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若在上有且仅有四个不相等实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列中，，（其中表示的整数部分，表示的小数部分），则（ ） A 2024 B. 2025 C. 4046 D. 4047 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 已知一圆锥的底面半径为，该圆锥的母线长为2，A，B为底面圆的一条直径上的两个端点，则下列说法正确的是（ ） A. 其侧面展开图是圆心角为的扇形 B. 该圆锥的体积为π C. 从A点经过圆锥的侧面到达B点的最短距离为 D. 过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面面积的最大值为2 10. 梯形中，，，，与交于点，点在线段上，则（ ） A. B C. 为定值8 D. 若，则的最小值为 11. 瑞士数学家Jakob Bernoulli于17世纪提出如下不等式：，有，请运用以上知识解决如下问题：若，，，则以下不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12. 已知集合，，若，则______． 13. 已知数列为正项等比数列，且，则的最小值为______. 14. 已知椭圆，P为椭圆上任意一点，过点P分别作与直线和平行的直线，分别交，交于M，N两点，则的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，已知四棱锥的底面是菱形，对角线交于点，，，底面，分别为侧棱的中点，点在上且． （1）求证：四点共面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 16. 已知某科技公司的某型号芯片的各项指标经过全面检测后，分为Ⅰ级和Ⅱ级，两种品级芯片的某项指标的频率分布直方图如图所示： 若只利用该指标制定一个标准，需要确定临界值K，按规定须将该指标大于K的产品应用于A型手机，小于或等于K的产品应用于B型手机．若将Ⅰ级品中该指标小于或等于临界值K的芯片错误应用于A型手机会导致芯片生产商每部手机损失800元；若将Ⅱ级品中该指标大于临界值K的芯片错误应用于B型手机会导致芯片生产商每部手机损失400元；假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． （1）设临界值时，将1个Ⅰ级品芯片和1个Ⅱ级品芯片分别应用于A型手机和B型手机．求两部手机有损失的概率（计算结果用小数表示）； （2）设且，现有足够多的芯片Ⅰ级品、Ⅱ级品，分别应用于A型手机、B型手机各1万部的生产，试估计芯片生产商损失费用的最小值． 17. 在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知， （1）求角A. （2）若，所在平面内有一点D满足，且BC平分，求面积的取值范围. 18. 已知抛物线上的动点到其焦点的距离的最小值为． （1）求抛物线的方程； （2）过抛物线上一点作抛物线切线，分别交轴于点，交轴于点．点在抛物线上，点在线段上，满足能；点在线段上，满足，且，线段与交于点，当点在抛物线上移动时，求点的轨迹方程． （3）将向左平移个单位，得到，已知，，过点作直线交于．设，求的值 19. 已知函数． （1）判断并证明的零点个数 （2）