第7章 第3节 空间直线、平面的平行-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮教师用书word（人教A版）

第三节　空间直线、平面的平行 ★[考试要求] 1．能以立体几何中的定义、基本事实和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理． 2．能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些空间图形中平行关系的简单命题． 1．直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果平面外一条直线与　此平面内　的一条直线平行，那么该直线与此平面平行(“线线平行⇒线面平行”) ∵　l∥a　，　a⊂α　，　l⊄α　，∴　l∥α　 性质定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面　相交　，那么该直线与交线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”) ∵　l∥α　，　l⊂β　，　α∩β＝b　，∴l∥b 2.平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一个平面内的两条　相交直线　与另一个平面平行，那么这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”) ∵　a∥β　，　b∥β　，　a∩b＝P　，　a⊂α，b⊂α　，∴α∥β 性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面　相交　，那么两条　交线　平行 ∵　α∥β　，　α∩γ＝a　，　β∩γ＝b　，∴a∥b (1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面． (2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等． (3)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． (4)同一条直线与两个平行平面所成角相等． (5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行． (6)三种平行关系的转化 线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决与平行有关的证明题的指导思想，解题中既要注意一般的转化规律，又要看清题目的具体条件，选择正确的转化方向． 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．(　　) (2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线．(　　) (3)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.(　　) (4)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．下列说法中，与“直线a∥平面α”等价的是(　　) A．直线a上有无数个点不在平面α内 B．直线a与平面α内的所有直线平行 C．直线a与平面α内无数条直线不相交 D．直线a与平面α内的任意一条直线都不相交 解析：D　[因为a∥平面α，所以直线a与平面α无交点，因此a和平面α内的任意一条直线都不相交．] 3．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是(　　) A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行 C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面 解析：B　[对于A，α内有无数条直线与β平行，当这无数条直线互相平行时，α与β可能相交，所以A不正确；对于B，根据两平面平行的判定定理知，B正确；对于C，平行于同一条直线的两个平面可能相交，也可能平行，所以C不正确；对于D，垂直于同一平面的两个平面可能相交，也可能平行，如长方体的相邻两个侧面都垂直于底面，但它们是相交的，所以D不正确．] 4．(必修第二册P143T5改编)在正方体ABCD ­ A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为　________　. 解析：如图所示，连接BD交AC于F，则F是BD的中点，连接EF，则EF是△BDD1的中位线，∴EF∥BD1，又EF⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，∴BD1∥平面ACE. 答案：平行 　　直线与平面平行的判定与性质 ►[角度1]　直线与平面平行的判定　 [例1]　 (2023·全国乙卷)如图，在三棱锥P ­ ABC中，AB⊥BC，AB＝2，BC＝2，PB＝PC＝，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，点F在AC上，BF⊥AO. (1)求证：EF∥平面ADO； (2)若∠POF＝120°，求三棱锥P­ABC的体积． [解]　(1)证明：连接DE，OF，设AF＝tAC，则＝＋＝(1－t)＋t，＝－＋，BF⊥AO，则·＝[(1－t)＋t]· ＝(t－1)2＋t2＝4(t－1)＋4t＝0， 解得t＝，则F为AC的中点，由D，E，O，F分别为PB，PA，BC，AC的中点， 于是DE∥AB，DE＝AB，OF∥AB， OF＝AB，即DE∥OF，DE＝OF， 则四边形ODEF为平行四边形， EF∥DO，又EF⊄平面ADO，DO⊂平面ADO，所以EF∥平面ADO . (2)过P作PM垂直FO的延长线交于点M， 因为PB＝PC，O是BC中点，所以PO⊥BC， 在Rt△PBO中，PB＝，BO＝BC＝， 所以PO＝＝＝2， 因为AB⊥BC，OF∥AB，所以OF⊥BC， 又PO∩OF＝O，PO，OF⊂平面POF， 所以BC⊥平面POF ，又PM⊂平面POF， 所以BC⊥PM，又BC∩FM＝O，BC，FM⊂平面ABC，所以PM⊥平面ABC，即三棱锥P­ABC的高为PM，因为∠POF＝120°，所以∠POM＝60°， 所以PM＝POsin 60°＝2×＝， 又S△ABC＝AB·BC＝×2×2＝2， 所以VP ­ ABC＝S△ABC·PM＝×2×＝ . ►[角度2]　直线与平面平行的性质　 [例2]　如图，在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1∩平面BB1D＝FG. 证明：FG∥平面AA1B1B. [证明]　在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1⊂平面BB1D，CC1⊄平面BB1D，所以CC1∥平面BB1D.又CC1⊂平面CEC1，平面CEC1∩平面BB1D＝FG，所以CC1∥FG.因为BB1∥CC1，所以BB1∥FG.而BB1⊂平面AA1B1B，FG⊄平面AA1B1B，所以FG∥平面AA1B1B. 线面平行问题的解题关键 (1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，解题的思路是利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行． (2)应用线面平行性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线． 1．(2024·天津市复兴中学校考)如图甲，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2AB，E、F分别为AD、CD的中点，以AF为折痕把△ADF折起，使点D不落在平面ABCF内(如图乙)，那么在以下3个结论中，正确结论的个数是(　　) ①AF∥平面BCD；②BE∥平面CDF；③CD∥平面BEF. A．0　　　B．1　　　C．2　　　D．3 解析：C　[对于①，由题意得AB∥CF，AB＝CF，∴四边形ABCF是平行四边形， ∴AF∥BC，∵AF⊄平面BCD，BC⊂平面BCD，∴AF∥平面BCD，故①正确；对于②，取DF中点G，连接EG，CG，∵E是AD中点，AF∥BC，AF＝BC，∴EG＝BC，EG∥BC，∴四边形BCGE为梯形，∴直线BE与直线CG相交，∴BE与平面CDF相交，故②错误；对于③，连接AC，交BF于点O，连接OE，∵四边形ABCF是平行四边形，∴O是AC中点，∴OE∥CD，∵OE⊂平面BEF，CD⊄平面BEF，∴CD∥平面BEF，故③正确．] 　　平面与平面平行的判定与性质 [例3]　(2024·广西南宁统考)如图，在正方体ABCD ­ A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点，求证： (1)EG∥平面BDD1B1； (2)平面EFG∥平面BDD1B1. [解]　(1)如图，连接SB，∵E，G分别是BC，SC的中点， ∴EG∥SB.又∵SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1，∴直线EG∥平面BDD1B1. (2)连接SD，∵F，G分别是DC，SC的中点，∴FG∥SD.又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1，由(1)知，EG∥平面BDD1B1，且EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G， ∴平面EFG∥平面BDD1B1. 证明面面平行的方法 (1)面面平行的定义． (2)面面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行． (3)垂直于同一条直线的两个平面平行． (4)如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行． (5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化． 2．如图，四棱锥P ­ ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AC，AB∥CD，AB＝2CD，E，F分别为PB，AB的中点． (1)求证：平面PAD∥平面EFC； (2)若PA＝AB＝AC＝2，求点B到平面PCF的距离． 解：(1)证明：因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA，因为EF⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，所以EF∥平面PAD.因为AB∥CD，AB＝2CD，所以AF∥CD，AF＝CD，所以四边形ADCF为平行四边形，所以CF∥AD.因为CF⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以CF∥平面PAD.因为EF∩CF＝F，EF，CF⊂平面EFC，所以平面PAD∥平面EFC. (2)因为AB⊥AC，AB＝AC＝2，F为AB的中点，所以S△BCF＝BF·AC＝×1×2＝1，因为PA⊥平面ABCD，所以VP ­ BCF＝S△BCF·PA＝×1×2＝，因为PF＝CF＝，PC＝2，所以S△PCF＝PC·＝×2×＝.设点B到平面PCF的距离为h，因为VB ­ PCF＝VP ­ BCF，所以××h＝，所以B到平面PCF的距离h＝. 　　　平行关系的综合应用 [例4]　(2024·江苏省泰兴中学校联考)如图，四棱锥P ­ ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为PB的中点． (1)求证：CE∥平面PAD. (2)在线段AB上是否存在一点F，使得平面PAD∥平面CEF？若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由． [解]　(1)证明：如图所示，取PA的中点H，连接EH，DH. 因为E为PB的中点，所以EH∥AB，EH＝AB.又AB∥CD，CD＝AB，所以EH∥CD，EH＝CD.因此四边形DCEH是平行四边形，所以CE∥DH.又DH⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，因此CE∥平面PAD. (2)如图所示，取AB的中点F，连接CF，EF， 所以AF＝AB，又CD＝AB，所以AF＝CD.又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形，因此CF∥AD.又CF⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以CF∥平面PAD.由(1)可知CE∥平面PAD.因为CE∩CF＝C，CE，CF⊂平面CEF，故平面CEF∥平面PAD. 解决题点发散性问题一般先假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，如果找到了使结论成立的充分条件，则存在；如果找不到使结论成立的充分条件(出现矛盾)，则不存在．而对于探求点的问题，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明． 3．如图，已知四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD为菱形． (1)证明：平面AB1C∥平面DA1C1； (2)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1？若存在，确定点P的位置；若不存在，请说明理由． 解：(1)证明：由棱柱ABCD­A1B1C1D1的性质知，AB1∥DC1(图略)，∵AB1⊄平面DA1C1，DC1⊂平面DA1C1，∴AB1∥平面DA1C1，同理可证B1C∥平面DA1C1，又AB1∩B1C＝B1，AB1，B1C⊂平面AB1C，∴平面AB1C∥平面DA1C1. (2)存在这样的点P，使BP∥平面DA1C1.∵A1B1綊AB綊DC，∴四边形A1B1CD为平行四边形． ∴A1D∥B1C.在C1C的延长线上取点P，使C1C＝CP，连接BP(图略)，∵B1B綊C1C，∴B1B綊CP，∴四边形BB1CP为平行四边形，则BP∥B1C， ∴BP∥A1D，∵BP⊄平面DA1C1， A1D⊂平面DA1C1，∴BP∥平面DA1C1. 308 学科网（北京）股份有限公司 $$