第7章 第2节 空间点、直线、平面之间的位置关系-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮教师用书word（人教A版）

第二节　空间点、直线、平面之间的位置关系 ★[考试要求] 1．借助长方体，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的基本事实和定理． 3．能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题． 1．基本事实1～3 文字语言 图形语言 符号语言 基本事实1 过　不在一条直线上　的三点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α 基本事实2 如果一条直线上的　两个点　在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 ⇒l⊂α 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只　有一条　过该点的公共直线 P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l 2.利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”可得以下推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面； 推论2：经过两条　相交　直线，有且只有一个平面； 推论3：经过两条　平行　直线，有且只有一个平面． 3．空间中两条直线的位置关系 (1)位置关系分类： (2)基本事实4和定理： ①基本事实4：平行于同一条直线的两条直线　互相平行　. ②定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角　相等或互补　. 4．异面直线所成的角 (1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线 a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的　角　叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． (2)范围：　　. (3)垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直． 5．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况． (2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． 唯一性定理 (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直． (3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．(　　) (2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．(　　) (3)如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合．(　　) (4)没有公共点的两条直线是异面直线．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b(　　) A．一定是异面直线 B．一定是相交直线 C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线 解析：C　[由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b∥c，则a∥b，与已知a，b为异面直线相矛盾．] 3.(必修第二册P147例1改编)如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为(　　) A．30°　　　　　　 B．45° C．60° D．90° 解析：C　[连接B1D1，D1C(图略)，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求的角，又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60°.] 4．在空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH相交于点P，那么(　　) A．点P必在直线AC上 B．点P必在直线BD上 C．点P必在平面DBC内 D．点P必在平面ABC外 解析：A　[如图，因为EF⊂平面ABC，而GH⊂平面ADC，且EF和GH相交于点P，所以P在两平面的交线上，因为AC是两平面的交线，所以点P必在直线AC上．] 　　　基本事实的应用 [例1]　已知在正方体ABCD ­ A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q. 求证：(1)D，B，F，E四点共面； (2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线； (3)DE，BF，CC1三线交于一点． [证明]　 (1)如图所示，因为EF是△D1B1C1的中位线， 所以EF∥B1D1.在正方体AC1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD.所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面． (2)在正方体AC1中，设A1CC1确定的平面为α，平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β.所以Q是α与β的公共点．同理，P是α与β的公共点．所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β.则R∈PQ，故P，Q，R三点共线． (3)因为EF∥BD且EF≠BD，所以DE与BF相交．设交点为M，则由M∈DE，DE⊂平面D1DCC1，得M∈平面D1DCC1，同理，M∈平面B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1，所以M∈CC1.所以DE，BF，CC1三线交于点M. 1．点共线问题的证明方法 证明空间点共线，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再依据基本事实3证明这些点都在这两个平面的交线上． 2．线共点问题的证明方法 证明空间三线共点，先证两条直线交于一点，再证第三条直线经过这点，将问题转化为证明点在直线上． 3．点线共面问题的证明方法 (1)纳入平面法：先确定一个平面，再证有关点、线在此平面内． (2)辅助平面法：先证有关点、线确定平面α，再证明其余点、线确定平面β，最后证明平面α，β重合. 1．(2024·长春吉大附中实验学校校考)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，直线A1C与平面AB1D1的交点为M，O为线段B1D1的中点，则下列结论错误的是(　　) A．A，M，O三点共线 B．M，O，A1，B四点不共面 C．B，B1，O，M四点共面 D．B，D1，C，M四点共面 解析：C　[因为AA1∥CC1 ，则A，A1，C1，C四点共面. 因为M∈ A1C， 则M∈平面ACC1A1 ，又M∈平面AB1D1 ，则点M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理，O、A也在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上， 所以A，M，O三点共线；从而M，O，A1，A四点共面，都在平面ACC1A1内，而点B不在平面ACC1A1内，所以M，O，A1，B四点不共面，故选项B正确； B，B1，O三点均在平面BB1D1D内，而点A不在平面BB1D1D内，所以直线AO与平面BB1D1D相交且点O是交点，所以点M不在平面BB1D1D内，即B，B1，O，M四点不共面，故选项C错误；BC∥D1A1，且BC＝D1A1，所以BCD1A1为平行四边形，所以CA1，BD1共面，所以B，D1，C，M四点共面，故选项D正确．] 　　　空间位置关系的判断 ►[角度1]　空间位置关系的判断　 [例2]　(1)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是(　　) A．l与l1，l2都不相交 B．l与l1，l2都相交 C．l至多与l1，l2中的一条相交 D．l至少与l1，l2中的一条相交 [解析]　(1)(反证法)　由于l与直线l1，l2分别共面，故直线l与l1，l2要么都不相交，要么至少与l1，l2中的一条相交．若l∥l1，l∥l2，则l1∥l2，这与l1，l2是异面直线矛盾．故l至少与l1，l2中的一条相交． (模型法)如图①，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A，B不正确；如图②，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确． [答案]　D (2)(2023·上海春招)如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点P为边A1C1上的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是(　　) A．DD1　　　　　 B．AC C．AD1 D．B1C [解析]　对于A，当P是A1C1的中点时，BP与DD1是相交直线；对于B，根据异面直线的定义知，BP与AC是异面直线；对于C，当点P与C1重合时，BP与AD1是平行直线；对于D，当点P与C1重合时，BP与B1C是相交直线． [答案]　B ►[角度2]　异面直线所成的角　 [例3]　(2024·湖北高三校联考)在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝AA1，D，E分别为AC，BC的中点，则异面直线C1D与B1E所成角的余弦值为(　　) A.　　 B.　　　 C.　　 D. [解析]　D　[设AB＝2，取A1B1的中点F，连接C1F，DF，DE，则B1F＝A1B1，因为D，E分别为AC，BC的中点，所以DE∥AB，DE＝AB，因为A1B1∥AB，A1B1＝AB，所以DE∥B1F，B1F＝DE，所以四边形DEB1F为平行四边形，所以DF∥B1E，所以∠C1DF为异面直线C1D与B1E所成的角或补角．因为AB⊥BC，AB＝BC＝AA1＝2，D，E分别为AC，BC的中点，所以DF＝B1E＝＝，C1F＝＝，C1D＝＝，所以cos∠C1DF＝＝＝.] 判断空间直线的位置关系一般有两种方法：一是构造几何体(如长方体、空间四边形等)模型来判断；二是排除法，特别地，对于异面直线的判定常用到结论：“平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．” 2.如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则(　　) A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线 B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线 C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线 D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线 解析：B　[如图，取CD的中点F，DF的中点G，连接EF，FN，MG，GB，BD，BE.∵点N为正方形ABCD的中心，∴点N在BD上，且为BD的中点．∵△ECD是正三角形，∴EF⊥CD.∵平面ECD⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD.∴EF⊥FN.不妨设AB＝2，则FN＝1，EF＝，∴EN＝＝2.∵M，G分别是ED，DF的中点，∴MG∥EF，∴MG⊥平面ABCD，∴MG⊥BG.∵MG＝EF＝，BG＝＝＝，∴BM＝＝.∴BM≠EN.∵BM，EN都是△DBE的中线，∴BM，EN必相交．] 3.(多选)(2024·丹东模拟)如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则以下四个结论正确的是(　　) A．直线AM与CC1是异面直线 B．直线MN与BD1是共面直线 C．直线BN与MB1是异面直线 D．直线MN与BN所成角为90° 解析：AC　[∵直线CC1⊂平面C1CDD1，M∈平面C1CDD1，A∉平面C1CDD1，∴直线AM与CC1是异面直线，A正确；同理，直线MN与BD1是异面直线，B错误；直线BN与MB1是异面直线，C正确；设正方体的棱长为2，∵MN＝＝，BN＝＝，BM＝＝＝3，∴BM2≠MN2＋BN2，∴直线MN与BN所成角不是90°，D错误．] 　　空间几何体的切割(截面)问题 [例4]　(1)(多选)正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，已知平面α⊥AC1，则关于α截此正方体所得截面的判断正确的是(　　) A．截面形状可能为正三角形 B．截面形状可能为正方形 C．截面形状可能为正六边形 D．截面面积最大值为3 [解析]　ACD　[易知A，C正确，B不正确，下面说明D正确，如图，截面为正六边形，当六边形的顶点均为棱的中点时，其面积最大，MN＝2，GH＝，OE＝＝＝，所以S＝2××(＋2)×＝3，故D正确．] (2) (2024·陕西咸阳武功县普集高级中学模拟)已知正方体ABCD­A1B1C1D1的外接球的表面积为36π，点E，F分别是AB，CC1的中点，过D1，E，F的截面最长边长为m，最短边长为n，则＝　________　. [解析]　如图，延长DC，D1F交于点G，连接EG交BC于点H，延长GE，DA交于点M，连接D1M交AA1于点N，连接FH，NE，则过D1，E，F的截面为五边形D1NEHF，设正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，由正方体外接球的表面积为36π＝4πr2，可得其外接球的半径r为3，直径为体对角线，则a＝2×3，故a＝2，在Rt△FC1D1中，由勾股定理得D1F＝＝，易得△BEH∽△CGH，∴＝＝，故EH＝＝，FH＝＝，＝，故AN＝，故NE＝＝，D1N＝＝，所以最长边为m＝D1N＝，最短边为n＝NE＝，故＝. [答案]　 (1)作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线． (2)作交线的方法有如下两种：①利用基本事实3作交线；②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线． 4．(2024·日照调研)在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为AA1的中点，则过B，C1，E三点的平面截正方体ABCD­A1B1C1D1所得的截面面积为(　　) A.a2　　　　　 B.a2 C.a2 D.a2 解析：B　[取A1D1中点F，连接BE，EF，C1F，BC1，AD1，因为AB∥C1D1且AB＝C1D1，所以四边形ABC1D1为平行四边形，所以AD1∥BC1，∵E，F分别为AA1，A1D1的中点，所以，EF∥AD1且EF＝AD1＝a，所以，EF∥BC1，故B，C1，E，F四点共面，所以过B，C1，E三点的平面截正方体ABCD­A1B1C1D1所得的截面为等腰梯形EFC1B，其中EF＝a，BC1＝a，BE＝C1F＝＝a，过点E，F在平面BC1FE内分别作BC1的垂线，垂足分别为G，H， 因为BE＝C1F，∠EBG＝∠FC1H，∠EGB＝∠FHC1＝，所以，Rt△EBG≌Rt△FHC1，故BG＝C1H，在平面BC1FE内，因为EG⊥BC1，FH⊥BC1，EF∥BC1，所以，四边形EFHG为矩形，则GH＝EF＝a，BG＝C1H＝＝a，梯形BC1FE的高h＝＝＝a，梯形B1CFE的面积S＝×a×＝.] 308 学科网（北京）股份有限公司 $$