第6章 第3节 等比数列-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮教师用书word（人教A版）

第三节　等比数列 ★[考试要求] 1．理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系． 1．等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第　2　项起，每一项与它的前一项的比等于　同一常数　(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的　公比　，通常用字母q表示，定义的数学表达式为＝q(n∈N*，q为非零常数)． (2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么　G　叫做a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项⇒a，G，b成等比数列⇒　G2＝ab　. 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝　a1qn－1　＝amqn－m. (2)前n项和公式：Sn＝ 等比数列的常用性质 (1)在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋t＝2k(m，n，p，t，k∈N*)，则am·an＝ap·at＝a. (2)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍然是等比数列． (3)等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn，q＝－1且n为偶数时除外． 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)等比数列的公比q是一个常数，它可以是任意实数．(　　) (2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.(　　) (3)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.(　　) (4)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．(选择性必修第二册P36例8改编)已知等比数列的首项为－1，前n项和为Sn，若＝，则q的值为(　　) A．－　　　B.　　　C．2　　　D．－2 解析：B　[当q＝1时，＝1≠，∴q≠1. 当q≠1时，＝＝q5＝，∴q＝.] 3．已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a1＝4，则{an}的前10项和等于(　　) A．－6(1－3－10) B.(1－3－10) C．3(1－3－10) D．3(1＋3－10) 解析：C　[∵3an＋1＋an＝0，∴＝－，∴数列{an}是以－为公比的等比数列，∵a1＝4，由等比数列的求和公式可得，S10＝＝3(1－3－10)．] 4．(2023·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若8S6＝7S3，则{an}的公比为　________　. 解析：若q＝1，则由8S6＝7S3，得8×6a1＝7×3a1，则a1＝0，不合题意． 所以q≠1.当q≠1时，因为8S6＝7S3， 所以8×＝7×，即8×(1－q6)＝7×(1－q3)，即8×(1＋q3)(1－q3)＝7×(1－q3)，即8×(1＋q3)＝7，解得q＝－. 答案：－ 　　　等比数列基本量的运算 [例1]　(1)(2023·全国甲卷)已知等比数列{an}中，a1＝1，Sn为{an}前n项和，S5＝5S3－4，则S4可以是(　　) A．7　　 B．9　　　 C．15　　　 D．30 解析：C　[等比数列{an}中，设公比为q，a1＝1，Sn为{an}前n项和，S5＝5S3－4，显然q≠±1，(如果q＝1，可得5＝15－4矛盾，如果q＝－1，可得－1＝－5－4矛盾)，可得＝5·－4，解得q2＝4，即q＝2或q＝－2，所以当q＝2时，S4＝＝＝15.当q＝－2时，S4＝＝＝－5.没有选项．] (2)(多选)(2023·海口模拟)已知正项等比数列{an}满足a1＝2，a4＝2a2＋a3.若设其公比为q，前n项和为Sn，则(　　) A．q＝2 B．an＝2n C．S10＝2 047 D．an＋an＋1<an＋2 [解析]　ABD　[因为a1＝2，a4＝2a2＋a3，公比为q，所以2q3＝4q＋2q2，得q2－q－2＝0，解得q＝2(负值舍去)，故A正确；an＝2×2n－1＝2n，故B正确；Sn＝＝2n＋1－2，所以S10＝2 046，故C错误；an＋an＋1＝2n＋2×2n＝3an，而an＋2＝4an>3an，故D正确．] 等比数列基本量运算的解题策略 (1)等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1，an，q，n，Sn，已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”)． (2)运用等比数列的前n项和公式时，注意分q＝1和q≠1两类分别讨论． 1．(2024·河北沧州校考模拟)等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知S3＝7，S6＝63，则a7＝(　　) A．4 B．16 C．32 D．64 解析：D　[当公比q＝1时S3＝3a1可得a1＝，代入S6＝6a1＝14，与S6＝63矛盾，所以q≠1. 由等比数列的前n项和公式Sn＝，可得两式相除，得q6－9q3＋8＝0，可解得q＝2或q＝1(舍)，当q＝2时，代入原式可求得a1＝1，则由等比数列的通项公式a7＝a1q6＝26＝64.] 2．记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则＝(　　) A．2n－1 B．2－21－n C．2－2n－1 D．21－n－1 解析：B　[设等比数列{an}的公比为q，则由解得 所以Sn＝＝2n－1，an＝a1qn－1＝2n－1，所以＝＝2－21－n，] 　　　等比数列的判定与证明 [例2]　已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0,4an＋1＝3an－bn＋4,4bn＋1＝3bn－an－4. (1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列； (2)求{an}和{bn}的通项公式． [解]　(1)证明：由题设，两式相加得4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，即an＋1＋bn＋1＝(an＋bn)．又因为a1＋b1＝1，所以{an＋bn}是首项为1，公比为的等比数列．由题设，两式相减得4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8，即an＋1－bn＋1＝an－bn＋2.又因为a1－b1＝1，所以{an－bn}是首项为1，公差为2的等差数列． (2)由(1)知，an＋bn＝，an－bn＝2n－1，所以an＝[(an＋bn)＋(an－bn)]＝＋n－，bn＝ [(an＋bn)－(an－bn)]＝－n＋. 等比数列的三种常用判定方法 1．定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N*)或 ＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列． 2．等比中项法：若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列． 3．通项公式法：若数列{an}的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列. 3．(2024·陕西西安中学校考模拟)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝ 求证：数列是等比数列． 证明：设bn＝a2n－，则＝＝ ＝＝＝， 且a2＝a1＋1＝，所以数列是以a2－＝－为首项，以为公比的等比数列． 　　　等比数列性质 [例3]　(1)若等比数列{an}中的a5，a2 019是方程x2－4x＋3＝0的两个根，则log3a1＋log3a2＋log3a3＋…＋log3a2 023等于(　　) A. B．1 011 C. D．1 012 [解析]　C　[由题意得a5a2 019＝3，根据等比数列性质知，a1a2 023＝a2a2 022＝…＝a1 011a1 013＝a1 012a1 012＝3，于是a1 012＝，则log3a1＋log3a2＋log3a3＋…＋log3a2 023＝log3(a1a2a3…a2 023) ＝.] (2)(2024·湖北武汉第四十九中学校考)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝(　　) A．120 B．85 C．－85 D．－120 [解析]　C　[方法一：设等比数列{an}的公比为q，首项为a1， 若q＝－1，则S4＝0≠－5，与题意不符，所以q≠－1； 若q＝1，则S6＝6a1＝3×2a1＝3S2≠0，与题意不符，所以q≠1； 由S4＝－5，S6＝21S2可得，＝－5，＝21×①， 由①可得，1＋q2＋q4＝21，解得：q2＝4， 所以S8＝＝×(1＋q4)＝－5×(1＋16)＝－85. 方法二：设等比数列{an}的公比为q， 因为S4＝－5，S6＝21S2，所以q≠－1，否则S4＝0， 从而，S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6成等比数列， 所以有，(－5－S2)2＝S2(21S2＋5)，解得：S2＝－1或S2＝， 当S2＝－1时，S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6， 即为－1，－4，－16，S8＋21， 易知，S8＋21＝－64，即S8＝－85； 当S2＝时，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝(a1＋a2)(1＋q2)＝(1＋q2)S2＞0，与S4＝－5矛盾，舍去．] 1．在公比为q的等比数列{an}中，所有奇数项之和S奇与所有偶数项之和S偶具有以下性质： (1)若共有2n项，则＝q. (2)若共有2n＋1项，＝q. 2．在公比为q的等比数列{an}中，Sk表示它的前k项和．当q≠－1时，有Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…也成等比数列，公比为qk. 4．(2024·重庆校联考模拟)已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，若a2＋a4＋a6＝4π，b2b4b6＝3，则tan＝(　　) A．－ B．－ C. D. 解析：A　[因为{an}是等差数列，所以a2＋a4＋a6＝3a4＝4π，故a4＝，则a1＋a7＝2a4＝，因为{bn}是等比数列，所以b2b4b6＝b＝3，故b4＝，则b2b6＝b＝3， 所以tan＝tan＝－.] 5．(2023·天津卷)已知{an}为等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，an＋1＝2Sn＋2，则a4的值为(　　) A．3 B．18 C．54 D．152 解析：C　[由题意可得：当n＝1时，a2＝2a1＋2，即a1q＝2a1＋2，　① 当n＝2时，a3＝2(a1＋a2)＋2，即a1q2＝2(a1＋a1q)＋2，　② 联立①②可得a1＝2，q＝3，则a4＝a1q3＝2×33＝54.] 308 学科网（北京）股份有限公司 $$