第5章 第4节 复数-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮教师用书word（人教A版）

第四节　复 数 ★[考试要求] 1．理解复数的概念，理解复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表示法及其几何意义.3.能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、减的几何意义． 1．复数的有关概念 (1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的　实部　和　虚部　.若　b＝0　，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若　a＝0且b≠0　，则a＋bi为纯虚数． (2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔　a＝c且b＝d　(a，b，c，d∈R)． (3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔　a＝c且b＝－d　(a，b，c，d∈R)． (4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．　x轴　叫做实轴，　y轴　叫做虚轴．实轴上的点都表示　实数　；除原点外，虚轴上的点都表示　纯虚数　；各象限内的点都表示　非纯虚数　. (5)复数的模：向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作　|z|　或　|a＋bi|　，即|z|＝|a＋bi|＝　　. 2．复数的几何意义 (1)复数z＝a＋bi复平面内的点　Z(a，b)　(a，b∈R)． (2)复数z＝a＋bi平面向量(a，b∈R)． 3．复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则： ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝　(a＋c)＋(b＋d)i　； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝　(a－c)＋(b－d)i　； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝　(ac－bd)＋(ad＋bc)i　； ④除法：＝＝　　(c＋di≠0)． (2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝　z2＋z1　，(z1＋z2)＋z3＝　z1＋(z2＋z3)　. 1．(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i. 2．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)． 3．z·＝|z|2＝||2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝，|zn|＝|z|n. 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(　　) (2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(　　) (3)原点是实轴与虚轴的交点．(　　) (4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．若复数z＝，其中i为虚数单位，则＝(　　) A．1＋i　　　　　 B．1－i C．－1＋i D．－1－i 解析：B　[因为z＝＝＝1＋i，所以＝1－i.] 3．(必修第二册P73T2改编)已知z∈C，则“Z为纯虚数”是“z＋＝0”的(　　) A．充分非必要条件　 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 解析：A　[由题意，z为纯虚数，则设z＝bi(b∈R，b≠0)，则z＋＝bi－bi＝0；当z＋＝0时，可取z＝＝0，则z为纯虚数不成立．故“z为纯虚数”是“z＋＝0”的充分非必要条件．] 4．(2023·全国甲卷)＝(　　) A．－1　　 B．1　　　 C．1－i　　　 D．1＋i 解析：C　[＝＝1－i.] 　　　复数的概念 [例1]　(1)(2024·广东东莞高三期末)复数z满足iz－＝1＋mi(i为虚数单位)，则实数m＝(　　) A．2　　　 B．1　　　 C．－1　　　　 D．－2 [解析]　C　[设z＝a＋bi，a，b∈R，则i(a＋bi)－(a－bi)＝1＋mi，有－(a＋b)＋(a＋b)i＝1＋mi，由复数相等得到m＝a＋b＝－1.] (2)(多选)(2024·阜新模拟)若复数z＝1－i，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是(　　) A．z的虚部为－1 B．|z|＝ C．z2为纯虚数 D．z的共轭复数为－1－i [解析]　ABC　[对于A，由z＝1－i得复数z的虚部为－1，故A正确；对于B，|z|＝|1－i|＝，故B正确；对于C，由于z2＝(1－i)2＝－2i，所以z2为纯虚数，故C正确；对于D，z＝1－i的共轭复数＝1＋i，故D不正确．] 复数的分类、复数相等、复数的模、共轭复数的概念都与复数的实部和虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意列方程(组)求解. 1．(2023·北京卷)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(－1，)．则z的共轭复数＝(　　) A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i 解析：D　[z在复平面对应的点是(－1，)，根据复数的几何意义，z＝－1＋i，由共轭复数的定义可知，＝－1－i.] 2．(2024·江苏无锡高三期末)复数z满足(z－4)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数的虚部为(　　) A．i B．－1 C．－i D．1 解析：B　[由题设，z＝＋4＝6＋i，则＝6－i，所以的虚部为－1. ] 　　　复数的四则运算 [例2]　(1)(2023·全国乙卷)设z＝，则＝(　　) A．1－2i B．1＋2i C．2－i D．2＋i [解析]　B　[由题意可得z＝＝＝＝＝1－2i，则＝1＋2i.] (2)(多选)(2024·江苏苏州高三期末)下列命题正确的是(　　) A．若z1，z2为复数，则|z1z2|＝|z1|·|z2| B．若a，b为向量，则|a·b|＝|a|·|b| C．若z1，z2为复数，且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则z1z2＝0 D．若a，b为向量，且|a＋b|＝|a－b|，则a·b＝0 [解析]　AD　[令z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c， d∈R)，z1z2＝ac－bd＋(ad＋bc)i， |z1z2|＝ ＝ ＝， |z1|＝，|z2|＝， ∴|z1z2|＝|z1|·|z2|，A正确； a·b＝|a|·|b|·cos θ，∴|a·b|＝|a|·|b|· |cos θ|＝|a|·|b|不一定成立，B错误； z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i，|z1－z2|＝|z1＋z2|，∴ac＋bd＝0，z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac－bd＋(ad＋bc)i≠0，C错误；将|a＋b|＝|a－b|两边平方并化简得a·b＝0，D正确．] 复数代数形式运算问题的解题策略 (1)复数的加、减、乘法：复数的加、减、乘法类似于多项式的运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可． (2)复数的除法：除法的关键是分子、分母同乘以分母的共轭复数，使分母实数化．解题中要注意把i的幂写成最简形式． 3．(2023·新课标Ⅰ卷)已知z＝，则z－＝(　　) A．－i B．i C．0 D．1 解析：A　[因为z＝＝－i，所以＝i，所以z－＝－i.] 4．(多选)(2024·武汉模拟)设复数z＝，则(　　) A．z的虚部为 B.＝－＋i C．|z|＝ D．z3＝1 解析：AC　[因为z＝＝＝＝－＋i，所以z的虚部为，A正确；＝－－i，B错误；|z|＝＝，C正确；z2＝2＝－2－i，z3＝＝1－3i＋i＋＝－i，D错误．] 　　　复数的几何意义 [例3]　(1)(2023·新课标Ⅱ卷)在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于(　　) A．第一象限　　　　 B．第二象限 C．第三象限　　　　　 D．第四象限 [解析]　A　[由题知(1＋3i)(3－i)＝3－i＋9i－3i2＝6＋8i，所以该复数在复平面内对应的点为(6,8)，位于第一象限．] (2)(2024·张家口质检)已知复数z满足z(a＋i)＝2＋3i，若复数z在复平面上对应的点在第二或第四象限，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C.∪ D.∪ [解析]　A　[由原式得z＝＝＝，故或解得a∈，] 因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可． 5．(2024·山东省淄博实验中学高三期末)已知复数z满足(z－2)(1＋i)＝1－3i，则复数z在复平面内所对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：D　[依题意，(z－2)(1＋i)＝1－3i，z＝＋2＝＋2＝＋2＝1－2i，z对应坐标为(1，－2)，在第四象限．] 6．(2024·西安市西安中学校考)已知复数z1＝2－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P1，复数z2满足|z2－i|＝1，则下列结论不正确的是(　　) A．P1点的坐标为(2，－2) B.1＝2＋2i C．|z2－z1|的最大值为＋1 D．|z2－z1|的最小值为2 解析：D　[A选项，因为复数z1＝2－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P1，所以P1点的坐标为(2，－2)，因此本选项结论正确；B选项，因为z1＝2－2i，所以1＝2＋2i，因此本选项结论正确；C，D选项，设z2＝x＋yi(x，y∈R)，在复平面内对应的点为P(x，y)，设A(0,1)，因为|z2－i|＝1，所以点P(x，y)到点A的距离为1，因此点P(x，y)是在以A(0,1)为圆心，1为半径的圆，|z2－z1|表示圆A上的点到P1点的距离，因此|z2－z1|max＝AP1＋1＝＋1＝＋1，|z2－z1|min＝AP1－1＝－1＝－1，所以选项C的结论正确，选项D的结论不正确．] 7．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们在复平面内所对应的点分别为A，B，C，O为坐标原点，若＝x＋y，则x＋y的值是　________　. 解析：由已知得A(－1,2)，B(1，－1)，C(3，－2)，因为＝x＋y，所以(3，－2)＝x(－1,2)＋y(1，－1)＝(－x＋y,2x－y)，所以解得故x＋y＝5. 答案：5 308 学科网（北京）股份有限公司 $$