第4章 第6节 函数y＝Asin(ωx＋φ)-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮教师用书word（人教A版）

第六节　函数y＝Asin(ωx＋φ) ★[考试要求] 1．结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型． 1．简谐运动的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)，x≥0 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ 2.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个特征点 ωx＋φ 0 π 2π x y＝Asin (ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径 1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”． 2．由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度． 3．函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标． 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A.(　　) (2)函数y＝sin的图象是由y＝sin的图象向右平移个单位得到的．(　　) (3)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．(　　) (4)把函数y＝sin x的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，所得图象对应的函数解析式为y＝sin x.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．(必修第一册P244，T1改编)函数y＝2sin的振幅、频率和初相分别为(　　) A．2，，　　　　 B．2，， C．2，， D．2，，－ 解析：A　[由振幅、频率和初相的定义可知，函数y＝2sin的振幅为2，频率为，初相为.] 3．若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝(　　) A．2　　　 B.　　　 C．1　　　 D. 解析：A　[依题意得函数f(x)的最小正周期T＝＝2×＝π，解得ω＝2，选A.] 4.函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是(　　) A．2，－　　　 B．2，－ C．4，－ D．4， 解析：A　[由题图可知，T＝＋＝，所以T＝π，ω＝＝2.因为点在图象上，所以2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，所以φ＝－＋2kπ， k∈Z.又－<φ<，所以φ＝－.] 5．为了得到函数y＝2sin的图象，可以将函数y＝2sin 5x的图象向　________　平移　________　个单位长度． 解析：y＝2sin＝2sin，故将函数y＝2sin 5x的图象向右平移个单位长度即可得到y＝2sin的图象． 答案：右　 　　　　 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换 [例1]　(2024·大连月考)已知函数y＝2sin. (1)求它的振幅、周期、初相； (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象； (3)说明y＝2sin的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到． [解]　(1)y＝2sin的振幅A＝2，周期T＝＝π，初相φ＝. (2)令X＝2x＋，则y＝2sin＝2sin X. 列表如下： x － X 0 π 2π y＝sin X 0 1 0 －1 0 y＝2sin 0 2 0 －2 0 描点画出图象，如图所示． (3)方法一：把y＝sin x的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到y＝sin的图象；再把y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象；最后把y＝sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin的图象． 方法二：将y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin 2x的图象；再将y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin＝sin的图象；再将y＝sin的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)， 即得到y＝2sin的图象． (1)y＝Asin(ωx＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z＝ωx＋φ计算五点坐标． (2)由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)的变换：向左平移(ω>0，φ>0)个单位长度而非φ个单位长度． (3)平移前后两个三角函数的名称如果不一致，应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值． 1．(2023·全国甲卷)已知f(x)为函数y＝cos向左平移个单位所得函数，则y＝ f(x)与y＝x－的交点个数为(　　) A．1　　　 B．2　　　　 C．3　　　　 D．4 解析：C　[因为y＝cos向左平移个单位可得函数为y＝cos＝ cos＝－sin 2x，所以f(x)＝－sin 2x， 而y＝x－显然过与(1,0)两点， 作出f(x)与y＝x－的部分图象大致如下， 考虑2x＝－，2x＝，2x＝，即x＝－，x＝，x＝处f(x)与y＝x－的大小关系，当x＝－时，f＝－sin＝－1， y＝×－＝－＜－1； 当x＝时，f＝－sin＝1，y＝×－＝＜1； 当x＝时，f＝－sin＝1，y＝×－＝＞1； 所以由图可知，f(x)与y＝x－的交点个数为3.] 2．若函数f(x)＝cos，为了得到函数g(x)＝sin x的图象，则只需将f(x)的图象(　　) A．先横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位长度 B．先向右平移个单位长度，再横坐标伸长为原来的2倍 C．先向右平移个单位长度，再横坐标伸长为原来的2倍 D．先横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位长度 解析：C　[函数f(x)＝cos＝sin＝sin，为了得到函数g(x)＝sin x的图象，则只需将f(x)的图象，先横坐标伸长为原来的2倍，得到y＝sin，再向右平移个单位长度即可．或者先将f(x)的图象向右平移得到y＝sin 2x的图象，再横坐标伸长为原来的2倍得到y＝g(x)图象，] 　　　 由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 [例2]　(1) (2023·全国乙卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f(x)的图象的两条相邻对称轴，则f＝(　　) A．－ B．－ C. D. 解析：D　[因为f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间单调递增，所以＝－＝，且ω＞0，则T＝π，ω＝＝2，当x＝时，f(x)取得最小值，则2·＋φ＝2kπ－，k∈Z，则φ＝2kπ－，k∈Z，不妨取k＝0，则f(x)＝sin，则f＝sin＝.] (2)(多选)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　) A．f(x)＝cos B．f(x)＝sin C．f＝f D．f＝－f 解析：AD　[由题意得＝－＝，所以T＝π，故ω＝2，所以f(x)＝sin (2x＋φ)，将代入得sin ＝1，所以＋φ＝＋kπ，k∈Z，结合|φ|<，可知k＝0时，φ＝为所求，故f(x)＝sin＝cos＝cos.又因为f＝sin π＝0，故是f(x)的对称中心．] 　　 确定y＝A sin (ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的解析式的步骤 (1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝. (2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝. (3)求φ，常用方法有 ①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入． ②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口． 3.已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)＋b的大致图象如图所示，将函数f(x)的图象上点的横坐标拉伸为原来的3倍后，再向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的单调递增区间为(　　) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 解析：C　[依题意，解得 故f(x)＝2cos(ωx＋φ)－1，而f ＝1，f ＝－1，∴＝－＝，故T＝π＝，则ω＝2；∴2cos－1＝1，故＋φ＝2kπ(k∈Z)，又|φ|<，故φ＝－，∴f(x)＝ 2cos－1；将函数f(x)的图象上点的横坐标拉伸为原来的3倍后，得到y＝ 2cos－1，再向左平移个单位长度，得到g(x)＝2cos－1＝ 2cos－1，令－π＋2kπ≤x＋≤2kπ(k∈Z)，故－＋3kπ≤x≤－＋3kπ(k∈Z)，故函数g(x)的单调递增区间为(k∈Z)．] 4.(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f(x)的两个交点，若|AB|＝，则f(π)＝　________　. 解析：设A，B，则ωx1＋φ＝＋2kπ，ωx2＋φ＝＋2kπ，∴ω(x2－x1)＝π，又x2－x1＝，所以ω＝4，由曲线y＝f(x)过，所以4×＋φ＝2π，即φ＝－，所以f(x)＝sin，f(π)＝sin＝－sin＝－. 答案：－ 　　　三角函数模型应用 [例3]　(多选)(2024·邯郸模拟)摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如深圳前海的“湾区之光”摩天轮，如图所示，某摩天轮最高点离地面高度128米，转盘直径为120米，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转t分钟，当t＝15时，游客随舱旋转至距离地面最远处．以下关于摩天轮的说法中，正确的为(　　) A．摩天轮离地面最近的距离为4米 B．若旋转t分钟后，游客距离地面的高度为h米，则h＝－60cos t＋68 C．若在t1，t2时刻，游客距离地面的高度相等，则t1＋t2的最小值为30 D．∃t1，t2∈[0,20]，使得游客在该时刻距离地面的高度均为90米 [解析]　BC　[由题意知，摩天轮离地面最近的距离为128－120＝8(米)，故A不正确；t分钟后，转过的角度为t，则h＝60－60cos t＋8＝－60cos t＋68，故B正确；h＝－60cos t＋68，周期为＝30，由余弦型函数的性质可知，若t1＋t2取最小值，则t1，t2∈[0,30]，又高度相等，则t1，t2关于t＝15对称，则＝15，则t1＋t2＝30，故C正确；令0≤t≤π，解得0≤t≤15，令π≤t≤2π，解得15≤t≤30，则h在t∈[0,15]上单调递增，在t∈[15,20]上单调递减，当t＝15时，hmax＝128，当t＝20时，h＝－60cos＋68＝98>90，所以h＝90在t∈[0,20]只有一个解，故D不正确．] (1)解三角函数模型应用题的关键是求出函数解析式，可以根据给出的已知条件确定模型f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b中的待定系数． (2)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题． 5．(2024·上海华东师范大学附属东昌中学校考)降噪耳机主要有主动降噪耳机和被动降噪耳机两种．其中主动降噪耳机的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的反向声波来抵消噪声(如图所示)．已知某噪声的声波曲线是f(x)＝A sin(A＞0,0≤φ＜π)，其中的振幅为2，且经过点(1，－2)． (1)求该噪声声波曲线的解析式f(x)以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式g(x)； (2)先将函数f(x)图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位，得到函数h(x)的图象．若锐角θ满足h(θ)＝－，求sin 2θ的值． 解：(1)由已知可得A＝2，f(1)＝2sin＝－2，可得sin＝－1，所以，＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，得φ＝＋2kπ(k∈Z)， 因为0≤φ＜π，则φ＝， 故f(x)＝2sin， g(x)＝－f(x)＝－2sin. (2)将函数f(x)图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，可得到函数y＝2 sin的图象，再将所得函数图象向右平移个单位，可得函数h(x)的图象，则h(x)＝2 sin＝2cos 2x，因为h(θ)＝2cos 2θ＝－，则cos 2θ＝ －，∵0＜θ＜，则0＜2θ＜π，故sin 2θ＝＝. 308 学科网（北京）股份有限公司 $$