第2章 强化课1 函数性质的综合应用-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮教师用书word（人教A版）

热点强化课1　函数性质的综合应用 ★[考试要求] 函数性质的综合应用是历年高考的一个热点内容，经常以客观题出现，通过分析函数的性质特点，结合图象研究函数的性质，往往多种性质结合在一起进行考查． 　　　函数的单调性与奇偶性 [例1]　(2024·北京市西城区第五十六中学一模)已知函数f(x)＝log2＋，则不等式f(lg x)＞3的解集为(　　) A.　　　　　 B.∪(10，＋∞) C．(1,10) D.∪(1,10) [解析]　D　[由得x≠0，即函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． 因为f(－x)＝log2＋ ＝log2＋ ＝f(x)， 所以f(x)为(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数， 当x＞0时，f(x)＝log2＋， 因为函数y＝＋1在(0，＋∞)上单调递减，所以y＝log2在(0，＋∞)上单调递减， 又y＝ 都是在(0，＋∞)上单调递减， 根据单调性的性质，可知函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减， 又f(1)＝3，所以f(lg x)＞3＝f(1)，f(|lg x|)＞f(1)，可得|lg x|＜|1|＝1， 所以－1＜lg x＜1，且lg x≠0，解得＜x＜1或1＜x＜10， 所以不等式f(lg x)＞3的解集为∪(1,10)．] (1)解抽象函数不等式，先把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))，利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式(组)． (2)比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，进而利用其单调性比较大小． 1．(2024·扬州、盐城、南通联考一)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，f(2)＝0，则不等式f(x－1)f(x)<0的解集是(　　) A．(－2,2)　　　　　　 B．(－∞，－2)∪(1,2) C．(－∞，－1)∪(0,3) D．(－2，－1)∪(2,3) 解析：D　[因为函数是偶函数，在(－∞，0]上是减函数，所以函数在(0，＋∞)上是增函数，f(－2)＝f(2)＝0，－2<x<2时，f(x)<0，由f(x－1)f(x)<0，得或 当时，得2<x<3； 当时，得－2<x<－1.所以不等式解集为(2,3)∪(－2，－1)．] 　　　函数性质奇偶性与周期性 [例2]　(多选)(2024·山东烟台统考二模)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f(4＋x)＝0，f(2＋2x)是偶函数，f(1)＝1，则(　　) A．f(x)是奇函数 B．f(2 023)＝－1 C．f(x)的图象关于直线x＝1对称 D.f(2k－1)＝－100 [解析]　ABD　[对于选项A，∵f(2＋2x)是偶函数，∴f(2－2x)＝f(2＋2x)，∴函数f(x)关于直线x＝2对称，∴f(－x)＝f(4＋x)，∵f(x)＋f(4＋x)＝0，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，则A正确； 对于选项B，∵f(4＋x)＝－f(x)，∴f(8＋x) ＝－f(4＋x)，∴f(8＋x)＝f(x)，∴f(x)的周期为8，∴f(2023)＝f(253×8－1)＝f(－1)＝ －f(1)＝－1，则B正确； 对于选项C，若f(x)的图象关于直线x＝1对称，则f(3)＝f(－1)，但是f(－1)＝－f(1)＝－1， f(3)＝f(1)＝1，即f(3)≠f(－1)，这与假设条件矛盾，则选项C错误； 对于选项D，将x＝代入f(2－2x)＝f(2＋2x)，得f(3)＝f(1)＝1，将x＝1，代入f(x)＋f(4＋x)＝0，得f(5)＝－f(1)＝－1，同理可知f(7)＝－f(3)＝－1， 又∵f(x)的周期为8，∴f(x)正奇数项的周期为4，∴f(2k－1)＝f(1)＋2f(3)＋3f(5)＋…＋100f(199)＝[f(1)＋2f(3)＋3f(5)＋4f(7)]＋[5f(9)＋6f(11)＋7f(13)＋8f(15)]＋…＋[97f(193)＋98f(195)＋99f(197)＋100f(199)]＝25×(－4)＝－100，则D正确．] 周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解． 2．(多选)(2024·南京模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于点对称．以下关于f(x)的结论正确的有(　　) A．f(x)是周期函数 B．f(x)满足f(x)＝f C．f(x)在上单调递减 D．f(x)＝cos是满足条件的一个函数 解析：ABD　[对于A，∵f(－x)＝f(x)，其图象关于点对称，即f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)是周期函数且其周期为4，故A正确；对于B，由A知，对于任意的x