第2章 第9节 函数的零点与方程的解-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮教师用书word（人教A版）

第九节　函数的零点与方程的解 ★[考试要求] 1．理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解． 1．函数的零点与方程的解 (1)函数零点的概念 对于函数y＝f(x)，我们把使　f(x)＝0　的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)函数零点与方程实数解的关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有　零点　⇔函数y＝f(x)的图象与　x轴　有公共点． (3)函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有　f(a)·f(b)<0　，那么，函数y＝f(x)在区间　(a，b)　内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得　f(c)＝0　，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 2．二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且　f(a)·f(b)<0　的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间　一分为二　，使所得区间的两个端点逐步逼近　零点　，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 有关函数零点的结论 (1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点． (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数在零点两侧取值时，函数值可能变号，也可能不变号． (4)函数的零点是实数，而不是点，是方程f(x)＝0的实根． (5)由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)f(b)<0，如图所示，所以图象连续且f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件． 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(　　) (2)连续函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)<0.(　　) (3)函数y＝f(x)为R上的单调函数，则f(x)有且仅有一个零点．(　　) (4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若b2－4ac<0，则f(x)无零点．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(必修第一册P143例1改编)函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致区间是(　　) A．(1,2)　　　　　　　　 B．(2,3) C.和(3,4) D．(4，＋∞) 解析：B　[因为f(2)＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3－>0，所以f(2)·f(3)<0，且函数f(x)的图象连续不断，f(x)为增函数，所以f(x)的零点在区间(2,3)内．] 3．设函数f(x)＝2|x|＋x2－3，则函数y＝f(x)的零点个数是(　　) A．4　　　 B．3　　　　 C．2　　　　 D．1 解析：C　[函数f(x)＝2|x|＋x2－3的零点个数，即函数y＝2|x|的图象与函数y＝3－x2的图象的交点个数．作出函数y＝2|x|与函数y＝3－x2的图象如图所示， 由图可知函数y＝f(x)的零点个数是2.] 4．若二次函数f(x)＝x2－2x＋m在区间(0,4)上存在零点，则实数m的取值范围是　________　. 解析：二次函数f(x)图象的对称轴方程为x＝1.若在区间(0,4)上存在零点，只需所以解得－8<m≤1. 答案：(－8,1] 求函数的零点和判断零点所在区间 [例1]　(1)(2024·山西忻州河曲县中学校考)用二分法求方程log4x－＝0的近似解时，所取的第一个区间可以是(　　) A．(0,1)　 B．(1,2)　　 C．(2,3)　　 D．(3,4) [解析]　B　[令f(x)＝log4x－，因为函数y＝log4x，y＝－在(0，＋∞)上都是增函数，所以函数f(x)＝log4x－在(0，＋∞)上是增函数，f(1)＝－＜0，f(2)＝log42－＝－＝＞0，所以函数f(x)＝log4x－在区间(1,2)上有唯一零点，所以用二分法求方程log4x－＝0近似解时，所取的第一个区间可以是(1,2)．] (2)(2024·安徽阜阳统考)已知函数f(x)＝则函数y＝f[f(x)]的所有零点之和为　__________　. [解析]　x≤0时，x＋1＝0，x＝－1，由f(x)＝－1，可得x＋1＝－1或log2x＝－1，∴x＝－2或x＝；x＞0时，log2x＝0，x＝1，由f(x)＝1，可得x＋1 ＝1或log2x＝1，∴x＝0或x＝2；∴函数y ＝f[f(x)]的所有零点为－2，，0,2，所以所有零点的和为－2＋＋0＋2＝. [答案]　 确定函数零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (2)