第2章 第7节 对数与对数函数-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮教师用书word（人教A版）

第七节　对数与对数函数 ★[考试要求] 1．理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数． 1．对数 概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底数N的　对数　， 记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式 性质 对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝logaN(a>0，且a≠1) loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝　N　(a>0，且a≠1) 运算法则 loga (MN)＝　logaM　＋　logaN　 a>0，且a≠1，M >0，N>0 loga＝　logaM　－　logaN　 logaMn＝nlogaM(n∈R) 换底公式 logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0) [注意]　在运算性质logaMn＝nlogaM中，要特别注意条件，在无M>0的条件下应为logaMn＝nloga|M|(n∈N*，且n为偶数)． 2．对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 性质　 定义域：　(0，＋∞)　 值域：R 过定点　(1,0)　 当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是　增函数　 在(0，＋∞)上是　减函数 [注意]　y＝logax(a>0且a≠1)的图象只在第一、四象限．在直线x＝0的右侧． 3．反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数　y＝logax　(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线 　y＝x　对称． 1．logab·logba＝1，logbn＝logab. 2．如图给出4个对数函数的图象 则b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大． 3．对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象恒过点(1,0)，(a,1)，. 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.(　　) (2)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(　　) (3)函数y＝loga与函数y＝ln(1＋x)－ln(1－x)是同一个函数．(　　) (4)函数y＝log2x与y＝的图象重合．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．已知a>0，a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象可能是(　　) 解析：B　[若a＞1，则y＝ax是增函数，y＝loga(－x)是减函数；若0＜a＜1，则y＝ax是减函数，y＝loga(－x)是增函数，排除A，D，由于y＝ax只能在x轴上方，y＝loga(－x)的定义域x＜0，排除C.] 3．(必修第一册P126练习T3改编)计算： (log29)·(log34)＝　________　. 解析：(log29)·(log34)＝×＝×＝4. 答案：4 4．函数f(x)＝loga(x＋2)－2(a>0，且a≠1)的图象必过定点　________　. 解析：由loga1＝0(a>0且a≠1)知，f(－1) ＝loga(－1＋2)－2＝0－2＝－2.所以函数f(x)的图象必过定点(－1，－2)． 答案：(－1，－2) 　　　对数式的运算 [例1]　(1)(2024·河北衡水校考)下列运算中正确的是(　　) [解析]　D　[对于选项A，由换底公式可得＝log58，故A不正确；对于选项B，log46＝log26＝log2，故B不正确；对于选项C，lg(2＋5)＝lg7≠lg 2 lg 5，故C不正确；对于选项D，＋ln(ln e)＝＋ln 1＝7＋0＝7，故D正确．] (2) 已知1.8x＝3，y＝log0.23，则－＝　________　. [解析]　由题意：x＝log1.83，＝＝log31.8，＝log30.2，∴－＝log31.8－log30.2＝log3＝log39＝2. [答案]　2 对数运算的一般思路 (1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并． (2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算． 1．(多选)(2024·山东青岛高一统考)已知a＝lg 2，b＝lg 3，则(　　) A．a＋b＝lg 6　　　　 B.＝log34 C．2＋＝log212 D．b－a＝lg 解析：AD