第2章 第5节 二次函数与幂函数-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮教师用书word（人教A版）

第五节　二次函数与幂函数 ★[考试要求] 1．通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)． 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，函数　y＝xα　叫做幂函数，其中x是自变量，α为常数． (2)常见的五种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点　(1,1)　和　(0,0)　，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点　(1,1)　，且在(0，＋∞)上单调递减； ④当α为奇数时，y＝xα为　奇函数　；当α为偶数时，y＝xα为　偶函数　. 2．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝　ax2＋bx＋c(a≠0)　. 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为　(m，n)　. 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的　零点　. (2)二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象(抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x＝－ 顶点坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上单调递　减　； 在上单调递　增 ； 在上单调递　增　　；　 在上单调递　减 1．巧识幂函数的图象和性质 2．一元二次不等式恒成立的条件 (1)“ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a>0且Δ<0”． (2)“ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a<0且Δ<0”． 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y＝x是幂函数．(　　) (2)若幂函数y＝xα是偶函数，则α为偶数．(　　) (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴下方，则a<0且Δ<0.(　　) (4)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的两个零点确定，则二次函数的解析式确定．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α等于(　　) A.　　 B．1　　　 C.　　　 D．2 解析：C　[由幂函数的定义，知 所以k＝1，α＝，所以k＋α＝.] 3．(必修第二册P58T6改编)已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 解析：C　[由题意知即得a>.] 4．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，若y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数，则实数a的取值范围为　________________　. 解析：由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4. 答案：(－∞，－6]∪[4，＋∞) 　　　幂函数的图象与性质 [例1]　(1)已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)· (n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，则n的值为(　　) A．－3　　　　　 B．1 C．2 D．1或2 [解析]　B　[由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1符合题意．] (2)若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd，在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是(　　) A．d>c>b>a B．a>b>c>d C．d>c>a>b D．a>b>d>c [解析]　B　[由幂函数的图象可知在(0,1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x轴，由题图知a>b>c>d.] (3)已知幂函数f(x)＝xα满足2f(2)＝f(16)，若a＝f(log42)，b＝f(ln 2)，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>c>b B．a>b>c C．b>a>c D．b>c>a [解析]　C　[幂函数f(x)＝xα中，2f(2)＝f(16)，所以2×2α＝16α，即2α＋1＝24α，所以α＋1＝4α，解得α＝，所以f(x)＝x，所以f(x)是定义域为R的单调增函数，又a＝f(log42)，b＝f(ln 2)，c＝，且log42＝，ln 2>ln＝， ＝<，所以5－<log42<ln 2，即<f(log42)<f(ln 2)，所以b>a>c.] 　　 幂函数的性质与图象特征的关系 (1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式． (2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴． (3)当α＞0