第2章 第4节 函数的对称性-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮教师用书word（人教A版）

第四节　函数的对称性 ★[考试要求] 1．能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.2.会利用对称公式解决问题． 奇函数、偶函数的对称性 1．奇函数关于　原点　对称，偶函数关于　y　轴对称． 2．若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． 3．若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称． (1)若函数y＝f(x)关于直线x＝a对称，则f(a－x)＝f(a＋x)； 若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数关于点(a,0)对称． (2)两个函数图象的对称 ①函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于y轴对称； ②函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于x轴对称； ③函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于原点对称． 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y＝f(x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝1对称．(　　) (2)函数y＝f(x－1)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(1,0)对称．(　　) (3)若函数f(x)满足f(x－1)＋f(x＋1) ＝0，则f(x)关于y轴对称．(　　) (4)若函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．函数y＝f(x)与函数y＝f(－x)的图象关于　________　对称(　　) A．x轴　　　　　 B．y轴 C．坐标原点 D．不能确定 解析：B　[函数y＝f(x)上的点(x，y)关于y轴对称点为(－x，y)，∵点(－x，y)在函数y＝f(－x)上，∴y＝f(x)与y＝f(－x)图象关于y轴对称．] 3．(多选)已知定义在R上的函数f(x)满足f(2＋x)＝f(－x)，且当x≥1时，f(x)＝ln x，则(　　) A．f(－1)<f(0) B．f(－1)>f(0) C．f(0)＝f(2) D．f(0)<f(2) 解析：BC　[因为定义在R上的函数f(x)满足f(2＋x)＝f(－x)，所以函数f(x)关于x＝1对称，所以f(0)＝f(2)＝ln 2，故C正确，D错误；f＝f(3)＝ln 3，所以f>f，故A错误，B正确．] 4．函数f(x)＝图象的对称中心的坐标为　________　. 解析：由题意得f(x)＝＝＝－＋1，因为y＝－对称中心为，所以函数f(x)的对称中心为(－1,1)． 答案：(－1,1) 　　　轴对称 [例1]　(1)下列函数与y＝ex关于x＝1对称的是(　　) A．y＝ex－1　　　　 B．y＝e1－x C．y＝e2－x D．y＝ln x [解析]　C　[f(x)＝ex关于x＝1对称的是f＝e2－x，即y＝e2－x.] (2)(2024·河北衡水中学校考)已知定义在R上的函数f(x)满足f(4－x)＋f(x)＝2，若f(x)的图象关于直线x＝4对称，则f(－2)＝　________　. [解析]　因为f(4－x)＋f(x)＝2，令x＝2， 所以f(4－2)＋f(2)＝2f(2)＝2，所以f(2)＝1， 又f(x)的图象关于直线x＝4对称，所以f(6)＝f(2)＝1，令x＝－2， 则f[4－(－2)]＋f(－2)＝2⇒f(6)＋f(－2)＝2， 即1＋f(－2)＝2，所以f(－2)＝2－1＝1. [答案]　1 函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(a－x)＝f(a＋x)； 若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝成轴对称． 1．(多选)(2024·济宁模拟)已知函数f(x)对∀x∈R，都有f(－x)＝－f(x)，f(2－x)＝f(x)，且f(1)＝1，则(　　) A．f(x)的图象关于直线x＝2对称 B．f(x)的图象关于点(－2,0)中心对称 C．f(6)＝0 D．f(5)＝－1 解析：BC　[因为f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，又因为f(2－x)＝f(x)，所以f(x)关于x＝1对称，所以f(2－x)＝－f(－x)，令x等价于－x，所以f(2＋x)＝－f(x)，再令x等价于x＋2，所以f(x)＝f(x＋4)，所以f(x)的周期为4， 由f(x)＝f(x＋4)，f(－x)＝－f(x)可得：－f(－x)＝f(x＋4)，所以f(x)的图象关于(2,0)对称，故A不正确；又因为f(x)的图象关于(2,0)对称，f(x)的周期为4，所以f(x)的图象关于点(－2,0)中心对称，故B正确；令f(2－x)＝f(x)中x＝0，可得f(2)＝0，所以f(6)＝f(2)＝0，故C正确；f(5)＝f(1)＝