第2章 第3节 函数的奇偶性、周期性-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮教师用书word（人教A版）

第三节　函数的奇偶性、周期性 ★[考试要求] 1．了解函数奇偶性的含义，结合三角函数，了解周期性与对称性及其几何意义.2.会依据函数的性质进行简单的应用． 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且　f(－x)＝f(x)　，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于　y轴　对称 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且　f(－x)＝－f(x)　，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于　原点　对称 2.周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且　f(x＋T)＝f(x)　，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个　最小　的正数，那么这个　最小正数　就叫做f(x)的最小正周期． 1．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性． 2．函数周期性常用结论 函数式满足关系(x∈R) 周期 f(x＋T)＝f(x) T f(x＋T)＝－f(x) 2T f(x＋T)＝；f(x＋T)＝－ 2T f(x＋T)＝f(x－T) 2T f(x＋T)＝－f(x－T) 4T 2(b－a) 2a 2(b－a) 2a 4(b－a) 4a 4a 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若函数f(x)为奇函数，则f(0)＝0.(　　) (2)若f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，则y＝f(x)g(x)为奇函数．(　　) (3)若T是函数f(x)的一个周期，则kT(k∈N*)也是函数的一个周期．(　　) (4)若函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递减的是(　　) A．y＝－x3 　　　　　 B．y＝ C．y＝|x| D．y＝ 解析：D　[y＝－x3，y＝都是奇函数，排除A，B. y＝ ，y＝都是偶函数，y＝在(0，＋∞)上递增，y＝在(0，＋∞)递减，] 3．已知y＝f(x)是R上的奇函数，则f(0)＝　________　. 解析：y＝f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝f(－0)＝－f(0)，所以f(0)＝0. 答案：0 4．(必修第一册P203练习T4改编)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋4)＝f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2，则f(2 023)＝　________　. 解析：因为f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期T＝4.又f(1)＝1，所以f(2 023)＝f(－1＋4×506)＝f(－1)＝－f(1)＝－1. 答案：－1 　　　函数奇偶性的判断 [例1]　(1)(2024·临汾二模)下列函数为奇函数的是(　　) A．f(x)＝x3＋x2 B．f(x)＝1＋ C．f(x)＝ln(x－1)－ln(x＋1) D．f(x)＝ [解析]　B　[A.因为f(－x)＝－x3＋x2≠－f(x)，所以该函数不是奇函数；B.因为f(x)＋f(－x)＝1＋＋1＋＝2＋＋＝＝0，所以该函数是奇函数；C.由⇒x>1，该函数的定义域不关于原点对称，所以该函数不是奇函数；D.因为f(－x)＝＝f(x)，所以该函数是偶函数，不符合题意．] (2)(2024·惠州调研)设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是(　　) A．f(x－1)－1　　　　 B．f(x－1)＋1 C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1 [解析]　B　[因为f(x)＝＝－1＋，其图象关于点(－1，－1)中心对称，将其图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后关于原点(0,0)中心对称，所以f(x－1)＋1为奇函数．] 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件 (1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数． (2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立． 1．(2023·上海卷)下列函数是偶函数的是(　　) A．y＝sin x　　　　 B．y＝cos x C．y＝x3 D．y＝2x 解析：B　[对于A，由正弦函数的性质可知，y＝sin x为奇函数；对于B，由余弦函数的性质可知，y＝cos x为偶函数；对于C，由幂函数的性质可知，y＝x3为奇函数；对于