第1章 第5节 一元二次方程、不等式-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮教师用书word（人教A版）

第五节　一元二次方程、不等式 ★[考试要求] 1．会从实际情景中抽象出一元二次不等式.2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式.3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法． 1．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 　{x|x<x1，或x>x2}　 R　　 ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 　{x|x1<x<x2}　 　∅　 　∅　　 2.分式不等式与整式不等式 (1)>0(<0)⇔　f(x)g(x)>0(<0)　； (2)≥0(≤0)⇔　f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0　. 3．简单的绝对值不等式 |x|>a(a>0)的解集为　(－∞，－a)∪(a，＋∞)　， |x|<a(a>0)的解集为　(－a，a)　. (1)一元二次不等式恒成立问题 ①不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a>0且Δ<0； ②不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a<0且Δ<0； ③若a可以为0，需要分类讨论，一般优先考虑a＝0的情形． (2)对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记a＝0时的情形． (3)当Δ<0时，不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别． 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若不等式ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解集为(x1，x2)，则必有a>0.(　　) (2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(　　) (3)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0.(　　) (4)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c＜0的解集一定不是空集．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．不等式≤0的解集是(　　) A．(－∞，1)∪[3，＋∞) B．(－∞，1]∪(3，＋∞) C．[1,3) D．[1,3] 解析：C　[≤0⇔⇔1≤x<3，所以不等式≤0的解集为[1,3)．] 3．不等式x2－ax－b＜0的解集为(2,3)，则a＋b＝　______　. 解析：由不等式x2－ax－b＜0的解集为(2,3)，知方程x2－ax－b＝0的解为2或3， 由韦达定理，得解得a＝5，b＝－6，所以a＋b＝－1. 答案：－1 4．(2024·芜湖模拟)不等式mx2＋mx＋1>0对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围是　________　. 解析：当m＝0时，显然成立；当m≠0时，由已知得解得0<m<4.综上知，实数m的取值范围是[0,4)． 答案：[0,4) 　　　一元二次不等式的求解 ►[角度1]　不含参的不等式　 [例1]　(2024·南昌模拟)已知集合A＝，B＝{x|x2＋x－2＞0}，则A∩B＝(　　) A．(－∞，2)　　　　　 B．(－2,2) C．(1,2) D．(－∞，1) [解析]　C　[由＜0，解得0＜x＜2，所以A ＝(0,2)，由x2＋x－2＞0，解得x＞1或x＜－2，所以B＝(－∞，－2)∪(1，＋∞)，故A∩B＝(1,2)．] ►[角度2]　含参不等式　 [例2]　(2024·淮北五校联考)解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)． [解]　原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0，即(ax－2)(x＋1)≥0. ①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1. ②当a>0时，原不等式化为(x＋1)≥0， 解得x≥或x≤－1. ③当a<0时，原不等式化为(x＋1)≤0. 当>－1，即a<－2时，解得－1≤x≤； 当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1满足题意； 当<－1，即－2<a<0时，解得≤x≤－1. 综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}； 当a>0时，不等式的解集为； 当－2<a<0时，不等式的解集为； 当a＝－2时，不等式的解集为{－1}； 当a<－2时，不等式的解集为. 　　 解含参数的一元二次不等式时分类讨论的方法 (1)当二次项系数中含有参数时，应讨论二次项系数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式． (2)当不等式对应的一元二次方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系． (3)确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．