第1章 第4节 基本不等式-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮教师用书word（人教A版）

第四节　基本不等式 ★[考试要求] 1．了解基本不等式的推导过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题.3.理解基本不等式在实际问题中的应用． 1．基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件：　a>0，b>0　. (2)等号成立的条件：当且仅当　a＝b　时，等号成立． (3)其中叫做正数a，b的　算术平均数　，叫做正数a，b的　几何平均数　. 2．利用基本不等式求最值 (1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值　2　. (2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值　S2　. 注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”． 几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． (2)＋≥2(a，b同号)． (3)ab≤2(a，b∈R)． (4)≥2(a，b∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y＝x＋的最小值是2.(　　) (2)ab≤2成立的条件是ab>0.(　　) (3)“x>0且y>0”是“＋≥2”的充要条件．(　　) (4)若a>0，则a3＋的最小值是2.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．(必修第一册P48习题T1改编)已知x＞1，则x＋的最小值为(　　) A．2　　　 B．3　　　　 C．4　　　　 D．5 解析：B　[因为x＞1，所以x－1＞0，所以，x＋＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x－1＝时等号成立，即x＝2时等号成立，所以，x＋的最小值为3.] 3．(2024·上饶一模)已知x＞0，y＞0，x＋2y＝1，则＋的最小值为(　　) A．3＋2 B．12 C．8＋4 D．6 解析：A　[因为x＞0，y＞0，x＋2y＝1， 所以(x＋2y)＝3＋＋≥3＋2， 当且仅当＝，即x＝－1，y＝时，等号成立．] 4．已知正实数a，b满足a＋4b＝1，则ab的最大值为　________　. 解析：正实数a，b满足a＋4b＝1，则ab＝×a·4b，×2＝，当且仅当a＝，b＝时等号成立． 答案： 　　　利用基本不等式求最值 ►[角度1]　配凑法　 [例1]　(1)(2024·上海高三模拟)函数y＝log2x＋在区间上的最小值为　_________　. [解析]　y＝log2x＋＝log2x＋，因为x∈，所以log2x∈(－1，＋∞)，故1＋log2x∈(0，＋∞)， 故y＝(1＋log2x)＋－1 ≥2－1＝2－1， 当且仅当1＋log2x＝，即x＝2－1时，等号成立． [答案]　2－1 (2)(2024·许昌模拟)已知a，b为正数，4a2＋b2＝7，则a的最大值为(　　) A.　　　 B.　　　 C．2　　　 D．2 [解析]　D　[因为4a2＋b2＝7，则a＝×(2a) ＝ ≤×＝2，当且仅当4a2＝1＋b2，即a＝1，b＝时，取得最大值．] ►[角度2]　常数代换法　 [例2]　(1)已知正数a，b满足8a＋4b＝ab，则8a＋b的最小值为(　　) A．54 B．56 C．72 D．81 [解析]　C　[∵8a＋4b＝ab，a＞0，b＞0，∴＋＝1， ∴8a＋b＝(8a＋b)＝＋＋40≥2＋40＝72，当且仅当＝，即b＝4a时取“＝”．] (2)(2024·太原模拟)已知非负实数a，b满足a＋b＝1，则＋的最小值(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 [解析]　A　[因为非负实数a，b满足a＋b＝1，所以(a＋1)＋(b＋2)＝4，所以[(a＋1)＋(b＋2)]＝1，所以＋＝[(a＋1)＋(b＋2)]＝ ≥＝1. 当且仅当即时，取等号．综上，＋的最小值为1.] [延伸探究]　若将本题中条件“a＋b＝1”改为“a＋b＝3”，则＋的最小值为多少？ [解]　因为a＋b＝3，所以＋ ＝(a＋1＋b＋2) ＝ ≥＝， 当且仅当＝，即a＝2，b＝1时等号成立．所以，当a＝2，b＝1时，最小值为. ►[角度3]　消元法(换元法)　 [例3]　(1)已知x＞2，则的最小值为(　　) A．6 B．10 C．12 D．14 [解析]　B　[因为x＞2，令t＝x－2(t＞0)，则x ＝t＋2，所以＝＝ ＝t＋＋4≥2＋4＝10， 当且仅当t＝，即t＝3时，等号成立，所以当 x＝t＋2＝5时，≥10，故的最小值为10.] (2)(2024·天津静海一中校考模拟)若a，b∈R，且b2－a2＝1，则的最大值为　___________　. [解析]　由题知，a，b∈R，且b2－a2＝1，即b2＝a2＋1，所以＝， 当|a|＝0时，b2＝1，即b＝±1，此时＝±1，所以的最大值为1， 当|a|≠0时，2＝＝1＋≤1