第1章 第3节 等式性质与不等式性质-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮教师用书word（人教A版）

第三节　等式性质与不等式性质 ★[考试要求] 1．掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用． 1．两个实数比较大小的方法 作差法 (a，b∈R)． 2．等式的性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么　b＝a　； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么　a＝c　； 性质3　可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝. 3．不等式的性质 性质1　对称性：a>b⇔　b<a　； 性质2　传递性：a>b，b>c⇒　a>c　； 性质3　可加性：a>b⇔a＋c>b＋c； 性质4　可乘性：a>b，c>0⇒　ac>bc　， a>b，c<0⇒　ac<bc　； 性质5　同向可加性：a>b，c>d⇒　a＋c>b＋d　； 性质6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒　ac>bd　； 性质7　同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)． 不等式的两类常用性质 1．倒数性质 ①a＞b，ab＞0⇒＜； ②a＞b＞0,0＜c＜d⇒＞； ③0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0⇒<<. 2．有关分数的性质 若a＞b＞0，m＞0，则 ①真分数的性质 ＜，＞(b－m＞0)； ②假分数的性质 ＞，＜(b－m＞0)． 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种．(　　) (2)若>1，则a>b.(　　) (3)同向不等式具有可加性和可乘性．(　　) (4)两个数的比值大于1，则分子不一定大于分母．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．已知P＝a2＋3a＋3，Q＝a＋1，则(　　) A．P＜Q　　　　　 B．P≤Q C．P>Q D．P≥Q 解析：C　[∵P－Q＝a2＋3a＋3－(a＋1)＝a2＋2a＋2＝(a＋1)2＋1>0，∴P>Q.] 3．(多选)设a，b，c，d∈R且a＞b，c＞d，则下列命题不正确的是(　　) A．ac＞bd B．a－c＞b－d C．a＋c＞b＋d D.＞ 解析：ABD　[根据a＞b，c＞d，不妨设a＝1，b＝0，c＝－1，d＝－2，则ac＝－1＜bd＝0，A不正确；同理＝－＜＝0，D不正确；因为c＞d，由不等式的性质得－c＜－d，根据不等式的同向可加性得B不正确，C正确．] 4．(必修第一册P42习题2.1T5改编)若实数a，b满足0<a<2,0<b<1，则a－b的取值范围是　________　. 解析：∵0<b<1，∴－1<－b<0，∵0<a<2，∴－1<a－b<2. 答案：(－1,2) 　　　比较两个数(式)的大小 [例1]　(1)(多选)下列不等式中正确的是(　　) A．x2－2x＞－3(x∈R) B．a3＋b3≥a2b＋ab2(a，b∈R) C．a2＋b2＞2(a－b－1) D.＜(b＞a＞0，m＞0) [解析]　AD　[对选项A，∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2＞0，∴x2－2x＞－3，故A正确； 对选项B，a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)．∵(a－b)2≥0，a＋b的符号不定，所以a3＋b3与a2b＋ab2的大小不定，故B错误； 对选项C，a2＋b2－2a＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1)，故C错误； 对选项D，用作差比较：－＝， ∵b＞a＞0，m＞0，∴＞0，∴＜，故D正确．] (2)(2024·广东清远统考期末)若a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是(　　) A.＞　　　　　 B．a＋＞b＋ C．a＋＞b＋ D.＞ [解析]　C　[对于A，－＝，因为a＞b＞0，所以b－a＜0，a＋1＞0，所以＜0，即－＜0，于是有＜，故A错误； 对于B，因为a＋－＝－ ＝＝，因为a＞b＞0，所以a－b＞0，ab＞0，但ab与1的大小不确定，故不一定成立，故B错误； 对于C，因为a＋－＝－＝＝，因为a＞b＞0，所以a－b＞0，ab＞0，ab＋a＋b＞0，所以＞0，即a＋－＞0，于是有a＋＞b＋，故C正确； 对于D，因为－＝＝，因为a＞b＞0，所以b－a＜0，b＋a＞0，a＋2b＞0，所以＜0，即－＜0，于是有＜，故D错误．] 　　 比较大小的常用方法 (1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论． (2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论． (3)构造函数，利用函数的单调性比较大小． 1．(多选)(2024·辽宁丹东统考期末)若a＞b＞0，m＞0，则下列不等式成立的是(　　) A．a2＞b2 B．a3＋b3＜ab2＋a2b C．a－＜b－ D.＜