第1章 第2节 常用逻辑用语-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮教师用书word（人教A版）

第二节　常用逻辑用语 ★[考试要求] 1．理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定． 1．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的　充分　条件，q是p的　必要　条件 p是q的　充分不必要　条件 p⇒q且q⇒/ p p是q的　必要不充分　条件 p⇒/ q且q⇒p p是q的　充要　条件 p⇔q p是q的　既不充分也不必要　条件 p⇒/ q且q⇒/ p 2.全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“　∀　”表示． (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“　∃　”表示． 3．全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，使p(x)成立 简记 　∀x∈M，p(x)　 　∃x∈M，p(x)　 否定 　∃x∈M，綈p(x)　 　∀x∈M，綈p(x)　 1．充分、必要条件与对应集合之间的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}． ①若p是q的充分条件，则A⊆B； ②若p是q的充分不必要条件，则AB； ③若p是q的必要不充分条件，则BA； ④若p是q的充要条件，则A＝B. 2．含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”． 3．(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x证明其成立，要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例． (2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个x使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题． 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)写全称量词命题的否定时，全称量词变为存在量词．(　　) (2)“x>1”是“x>0”的充分不必要条件．(　　) (3)“三角形的内角和为180°”是存在量词命题．(　　) (4)当p是q的充分条件时，q是p的必要条件．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．(2024·九江二模)已知命题p：∀x≥0, cos x≤ex，则綈p为(　　) A．∀x≥0，cos x＞ex B．∃x＜0，cos x＞ex C．∀x＜0，cos x＞ex D．∃x≥0，cos x＞ex 解析：D　[由否定的定义可知，綈p为∃x≥0，cos x＞ex.] 3．已知命题p：∃x，y∈Z,2x＋4y＝3，则(　　) A．p是假命题，p的否定是∀x，y∈Z,2x＋4y≠3 B．p是假命题，p的否定是∃x，y∈Z,2x＋4y≠3 C．p是真命题，p的否定是∀x，y∈Z,2x＋4y≠3 D．p是真命题，p的否定是∃x，y∈Z,2x＋4y≠3 解析：A　[由于x，y是整数，2x＋4y是偶数，所以p是假命题．原命题是存在量词命题，其否定是全称量词，注意到要否定结论，所以p的否定是“∀x，y∈Z,2x＋4y≠3”．] 4．(2024·株洲质检一) “x≥a”是“x≥2”的必要不充分条件，则a的取值范围为(　　) A．(3，＋∞)　　　　　 B．(－∞，2) C．(－∞，2] D．[0，＋∞) 解析：B　[由题意得，{x|x≥2}是{x|x≥a}的真子集，故a＜2.] 　　　充分、必要条件的判定 [例1]　(1)(2023·北京卷)若xy≠0，则“x＋y＝0”是“＋＝－2”的(　　) A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [考题解读]　本题以两个等式为载体设置题目，考查逻辑推理，数学探索能力．充分必要条件是高考命制创新试题的重要载体，它与其他知识结合，题目具有一定的灵活性，能很好地考查学生的理性思维能力． [解析]　C　[解法一：充分性：因为xy≠0，且x＋y＝0，所以x＝－y，所以＋＝＋＝－1－1＝－2，所以充分性成立； 必要性：因为xy≠0，且＋＝－2，所以x2＋y2＝－2xy，即x2＋y2＋2xy＝0，即(x＋y)2＝0，所以x＋y＝0.所以必要性成立． 所以若xy≠0，“x＋y＝0”是“＋＝－2”的充要条件． 解法二：充分性：因为xy≠0，且x＋y＝0， 所以＋＝＝ ＝＝＝－2，所以充分性成立； 必要性：因为xy≠0，且＋＝－2， 所以＋＝＝ ＝＝－2＝－2， 所以＝0，所以(x＋y)2＝0，所以x＋y＝0，所以必要性成立． 所以若xy≠0，“x＋y＝0”是“＋＝－2”的充要条件．] (2)(2024·华大新高考联盟押题卷)设实数x＞0，则“|log2x|＜