8.6.2直线与平面垂直（2）课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.6 空间直线、平面的垂直 第八章 立体几何初步 8.6.2 直线与平面的垂直 一 二 三 学习目标 掌握直线与平面垂直的性质定理 理解两平行平面的距离概念 能够利用相关的知识解决问题 学习目标 复习回顾 1. 直线和平面垂直的定义如何？ 如果一条直线和一个平面相交,并且和这个平面内的任意一条直线都垂直,则称这条直线和这个平面垂直.其中直线叫做平面的垂线,平面叫做直线的垂面.交点叫做垂足. α A 2.直线与平面垂直的判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 图形表示 符号表示 关键：线不在多，相交则行. 新课导入 下面我们研究直线与平面α垂直的性质，即探究在直线a与平面α垂直的条件下能推出哪些结论. 两桥柱与水面垂直，两桥柱所在的直线有何位置关系？ ① 新知探究 问题1（1）如图①，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，棱AA'，BB'，CC'，DD'所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间具有什么位置关系? b α a ② 互相平行 问题1（2）如右上图②，已知直线a,b和平面α，如果 a⊥α,b⊥α,那么，直线a,b一定平行吗？ 　　分析：直接证明a∥b比较困难，我们考虑采用反证法证明. O 证明：假设直线b不平行于直线a ，且b∩α =O， 过点O作直线∥a，则直线b∩ =O ， 所以直线b与可确定平面，设α∩=c ， 又因为∥a，所以c. 这样在平面内，经过直线c上同一点O 就有两条直线b， 与c垂直. 显然不可能， 因此b∥a. 已知：a⊥α， b⊥α . 求证：a∥b． 新知探究 概念生成 直线与平面垂直的性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行. a⊥α b⊥α a//b b α a 图形语言： 符号语言： 线面垂直线线平行 作用：证线线平行 新知探究 问题2 目前为止，我们都学习了哪些证明直线与直线平行的方法？ 证明线线平行常用的方法 （1）线线平行定义：证共面且无公共点． （2）利用平面几何的知识(三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等)来证明． （3）基本事实4（平行的传递性）：证两线同时平行于第三条直线. （4）线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行． （5）面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行． （6）线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直. 例 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M 是AB上一点，N是A1C的中点，MN平面A1DC，求证：MN//AD1 典例解析 ∴ . 证明 ∵四边形 为正方形 ∴ . 易知 平面 ， 平面 ∴ ∵ ， ， 平面 ∴ 平面 又∵ 平面 问题3 直线与平面垂直的性质定理揭示了“垂直”与“平行”之间的联系与转化．你能将该性质定理中的平面换成直线，或者将垂直关系变为平行关系，得出一些新的结论吗？ 新知探究 （1）观察左下图，在的条件下，如果平面外的直线与直线垂直，你能得到什么结论? b a 若a⊥α，b α，且b⊥a，则b//α. （2）观察右上图，在的条件下，如果平面与平面平行，你又能得到什么结论? a 若α//β，a⊥α，则a⊥β. 若a⊥α，a⊥β，则 α//β 归纳小结 直线与平面垂直的性质 性质1：若a⊥α，m⊂α，则a⊥m. 性质2：(直线与平面垂直的性质定理) 性质3：若a⊥α，c α，且c⊥a，则c//α. 垂直于同一平面的两条直线平行. 性质4：若α//β，l⊥α，则l⊥β. α β a⊥α b⊥α a//b 性质5：若l⊥α，l⊥β，则. α//β 证明:过直线l上任意两点,分别作平面α的垂线,,垂足分别为,。 设直线,确定的平面为β,且 由,是直线l上任意的两点，可知直线l上各点到平面α的距离相等。 α β 例 如图，直线l平行于平面α，求证：直线l上各点到平面α的距离相等。 ， 。 ， 典例解析 四边形是矩形 通过此例题可知，若一条直线与一个平面平行，那这条直线上任意一点到平面的距离相等，我们把这个距离叫做直线到这个平面的距离. 如果两个平面平行，那么其中一个平面内任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平面间的距离. 典例解析 棱台体积公式推导(棱台的高就是两底面间的距离) A D B C A′ B′ C′ D′ O O′ P (S′, S, h分别是棱台的上下底面积和高) 例4 推导棱台的体积公式 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=,AB=BC=1,BB1=2,求直线B1C1到平面A1BC的距离. 新知应用 由题意得，平面，平面 平面 ， 直线 到平面 的距离等于点