江苏省南通市2024届高三下学期高考适应性考试（三）数学试题

江苏省南通市2024届高三下学期高考适应性考试（三）数学试题 一、単项选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合,则集合的子集个数为（ ） A.32 B.16 C.8 D.4 2.在梯形ABCD中,,且,点是BC的中点,则（ ） A. B. C. D. 3.的展开式的常数项为( ) A.-21 B.-35 C.21 D.35 4.国家二级文化保护遗址玉皇阁的台基可近似看作上、下底面边长分别为,侧棱长为的正四棱台，则该台基的体积约为（ ） A. B. C. D. 5.在平面直角坐标系xOy中,已知点为抛物线上一点,若抛物线在点处的切线恰好与圆相切,则（ ） A. B.-2 C.-3 D.-4 6.已知,则（ ） A. B. C. D. 7.某校春季体育运动会上，甲，乙两人进行羽毛球项目决赛，约定“五局三胜制”，即先胜三局者获得冠军．已知甲、乙两人水平相当，记事件表示“甲获得冠军”，事件表示“比赛进行了五局”,则（ ） A. B. C. D. 8.设定义域为的偶函数的导函数为,若也为偶函数,且,则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每个小题给出的选项中,有多项符合题目要求、全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.已知都是复数,下列正确的是（ ） A.若,则 B.若,则 C、若,则 D.若,则 10.在数列中,若对,都有(为常数),则称数列为“等差比数列”,为公差比,设数列的前项和是,则下列说法一定正确的是( ) A.等差数列是等差比数列 B.若等比数列是等差比数列,则该数列的公比与公差比相同 C.若数列是等差比数列,则数列是等比数列 D.若数列是等比数列,则数列等差比数列 11.在棱长为2的正方体中,点是棱的中点,点在底面ABCD内运动(含边界),则( ) A.若是棱CD的中点,则平面 B.若平面,则是BD的中点 C.若在棱AD上运动(含端点),则点F到直线的距离最小值为 D.若与重合时,四面体的外接球的表面积为 三、填空题（本题共3小题,每小题5分,共15分.) 12.已知函数则_____________. 13.在平面直角坐标系xOy中,分别是双曲线的左,右焦点,设点是的右支上一点,则的最大值为_____________. 14.定义:[x]表示不大于的最大整数,表示不小于的最小整数,如.设函数在定义域上的值域为,记中元素的个数为,则___________，_____________.(第一空2分,第二空3分) 四、解答题（本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 如图,正方形ABCD是圆柱的轴截面,已知,点是的中点,点为弦BE的中点. (1)求证:O1M∥平面ADE; (2)求二面角D—O1M—E的余弦值. 16.(本小题满分15分) 跑步是人们日常生活中常见的一种锻炼方式，其可以提高人体呼吸系统和心血管系统机能,抑制人体癌细胞生长和繁殖.为了解人们是否喜欢跑步,某调查机构在一小区随机抽取了40人进行调查,统计结果如下表. 喜欢 不喜欢 合计 男 12 8 20 女 10 10 20 合计 22 18 40 （1）根据以上数据，判断能否有的把握认为人们对跑步的喜欢情况与性别有关? 附:,其中. 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 （2）该小区居民张先生每天跑步或开车上班,据以往经验,张先生跑步上班准时到公司的概率为,张先生跑步上班迟到的概率为.对于下周（周一~周五）上班方式张先生作出如下安排:周一跑步上班,从周二开始,若前一天准时到公司,当天就继续跑步上班,否则,当天就开车上班,且因公司安排,周五开车去公司(无论周四是否准时到达公司).设从周一开始到张先生第一次开车去上班前跑步上班的天数为,求的概率分布及数学期望. 17.(本小题满分15分) 在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知,其中为的面积. (1)求角的大小; (2)设是边BC的中点,若,求AD的长. 18.(本小题满分17分) 在平面直角坐标系xOy中,点A,B分别是椭圆的右顶点,上顶点,若的离心率为,且到直线AB的距离为. (1)求椭圆的标准方程; (2)过点的直线与椭圆交于M,N两点,其中点在第一象限,点在轴下方且不在轴上,设直线BM,BN的斜率分别为. ①求证:为定值,并求出该定值; ②设直线BM与轴交于点,求的面积的最大