第3章 第1节 导数的概念及其意义、导数的运算-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮课件PPT（人教A版）

第一节 导数的概念及其意义、导数的运算 第三章 一元函数的导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 第三章 一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版（新教材） 复习策略 教师专享 夯实 必备知识 01 02 跃升 关键能力 03 课时冲关 04 第三章 一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第三章 一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版（新教材） 复习策略 教师专享 下一页 上一页 返回导航 第三章 一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第三章 一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第三章 一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第三章 一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第三章 一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版（新教材） 夯实 必备知识 下一页 上一页 返回导航 第三章 一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第三章 一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第三章 一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第三章 一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第三章 一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第三章 一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第三章 一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第三章 一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第三章 一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第三章 一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第三章 一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第三章 一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第三章 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1．了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f(ax＋b))的导数． 1．导数的概念 2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的　斜率　，相应的切线方程为　y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)　. 3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝　0　 f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝　αxα－1　 f(x)＝sin x f′(x)＝　cos x　 f(x)＝cos x f′(x)＝　－sin x　 f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝　axln a　 f(x)＝ex f′(x)＝　ex　 f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝　eq \f(1,xln a)　 f(x)＝ln x f′(x)＝　eq \f(1,x)　 4.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 [f(x)±g(x)]′＝　f′(x)±g′(x)　； [f(x)g(x)]′＝　f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)　； eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))′＝eq \f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)； [cf(x)]′＝　cf′(x)　. 5．复合函数的定义及其导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝　y′u·u′x　，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2．[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)． 3．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(　　) (2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　　) (3)f′(x0)＝[f(x0)]′.(　　) (4)若f(x)＝sin (－x)，则f′(x)＝cos (－x)．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．(多选)(选择性必修二P81T1，T2改编)下列求导运算正确的有(　　) A．(sin x)′＝cos x　　　　 B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝eq \f(1,x2) C．(log3x)′＝eq \f(1,3ln x) D．(ln x)′＝eq \f(1,x) 解析：AD　[因为(sin x)′＝cos x，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝－eq \f(1,x2)，(log3x)′＝eq \f(1,xln 3)，(ln x)′＝eq \f(1,x)，所以AD正确．] 3．(2024·晋中1月调研)函数f(x)＝x＋ln x的图象在点(1,1)处的切线方程为　______　. 解析：f′(x)＝1＋eq \f(1,x)，f′(1)＝2，所以切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0. 答案：2x－y－1＝0 4．已知f(x)＝x2＋3xf′(2)，则f(2)＝　________　. 解析：因为f′(x)＝2x＋3f′(2)，令x＝2，得f′(2)＝－2，所以f(x)＝x2－6x，于是f(2)＝－8. 答案：－8 导数的计算 [例1]　(1)(多选)(2024·安徽宿州校考)下列函数求导运算正确的是(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,x)))′＝1＋eq \f(3,x2) B．(tan x)′＝eq \f(1,cos2 x) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ex－\r(x)))′＝ex－eq \f(1,2\r(x)) D．(x2cos x)′＝－2xsin x [解析]　BC　[A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,x)))′＝1－eq \f(3,x2)，故A错误；B.(tan x)′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sin x,cos x)))′＝eq \f(cos2x＋sin2x,cos2x)＝eq \f(1,cos2x)，故B正确；C.(ex－eq \r(x))′＝ex－eq \f(1,2\r(x))，故C正确；D.(x2cos x)′＝2xcos x－x2sin x，故D错误．] (2)已知函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x，那么f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝(　　) A．－2　　 B．2　　　 C.eq \f(1,2)　　　 D．－eq \f(1,2) [解析]　A　[由题意，f′(x)＝2cos 2x－2sin 2x， 所以f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝2cos π －2sin π＝－2.] (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导． (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解． (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元． 1．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝3x2＋2x·f′(2)，则f′(5)＝(　　) A．2　　 B．4　　　 C．6　　　 D．8 解析：C　[由已知得，f′(x)＝6x＋2f′(2)，令x＝2，得f′(2)＝－12.再令x＝5，得f′(5)＝6×5＋2f′(2)＝30－24＝6.] 2．已知f(x)＝lneq \f(2x－1,2x＋1)，则f′(x)＝　________　. 解析：f′(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln\f(2x－1,2x＋1)))′＝eq \f(1,\f(2x－1,2x＋1)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x－1,2x＋1)))′＝eq \f(2x＋1,2x－1)· eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2x－1′2x＋1－2x－12x＋1′,2x＋12)))＝eq \f(4,4x2－1). 答案：eq \f(4,4x2－1) 导数的几何意义 ►[角度1]　求切线方程　 [例2]　(2023·全国甲卷)曲线y＝eq \f(ex,x＋1)在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(e,2)))处的切线方程为(　　) A．y＝eq \f(e,4)x B．y＝eq \f(e,2)x C．y＝eq \f(e,4)x＋eq \f(e,4) D．y＝eq \f(e,2)x＋eq \f(3e,4) [解析]　C　[设曲线y＝eq \f(ex,x＋1)在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(e,2)))处的切线方程为y－eq \f(e,2)＝k(x－1)，因为y＝eq \f(ex,x＋1)，所以y′＝eq \f(exx＋1－ex,x＋12)＝eq \f(xex,x＋12)， 所以k＝y′|x＝1＝eq \f(e,4)， 所以y－eq \f(e,2)＝eq \f(e,4)(x－1)， 所以曲线y＝eq \f(ex,x＋1)在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(e,2)))处的切线方程为y＝eq \f(e,4)x＋eq \f(e,4).] ►[角度2]　求参数的值(范围)　 [例3]　(1)(2024·深圳光明区一调)已知函数f(x)＝x2ex－2ex，若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线与直线2x－ay＋3＝0垂直，则a＝(　　) A．－2e B．－eq \f(2,e) C.eq \f(e,2) D．2e [解析]　A　[f′(x)＝(x2＋2x)·ex－2e，f′(1)＝3e－2e＝e，由于曲线y＝f(x)在x＝1处的切线与直线2x－ay＋3＝0垂直，所以eq \f(2,a)·e＝－1⇒a＝－2e.] (2)(2024·湖北黄冈中学校联考模拟)已知函数f(x)＝|ln x|，直线l1，l2是f(x)的两条切线，l1，l2相交于点Q，若l1⊥l2，则Q点横坐标的取值范围是　________________　. [解析]　记g(x)＝－ln x(0＜x＜1)，h(x)＝ln x(x≥1)， 由函数f(x)图象可知，不妨设l1与g(x)相切于点A(x1，－ln x1)，l2与h(x)＝ln x相切于点B(x2，ln x2)，则0＜x1＜1，x2＞1. ∴g′(x)＝－eq \f(1,x)，h′(x)＝eq \f(1,x)，∴kl1＝－eq \f(1,x1)，kl2＝eq \f(1,x2)， ∵l1⊥l2，∴－eq \f(1,x1)·eq \f(1,x2)＝－1，即x1x2＝1，所以ln x1＋ln x2＝0， ∵l1的方程为y＋ln x1＝－eq \f(1,x1)(x－x1)，l2的方程为y－ln x2＝eq \f(1,x2)(x－x2)， 两方程相减得点Q的横坐标xQ＝eq \f(2,x1＋x2)， ∵x1x2＝1，∴x1＋x2＞2eq \r(x1x2)＝2， ∴0＜xQ＜1，即Q点横坐标的取值范围是(0,1)． [答案]　(0,1) 利用导数的几何意义求参数的基本方法 利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围． [注意]　(1)注意曲线上横坐标的取值范围；(2)谨记切点既在切线上又在曲线上． 3．(2024·宜春质检)若曲线y＝3(x2－x)ex－1在点(1,0)处的切线与y＝ax＋2平行，曲线y＝eq \f(ln x,x＋1)在点(1,0)处的切线与直线x－by＋1＝0垂直，则a＋b＝　__________　. 解析：设f(x)＝3(x2－x)ex－1，g(x)＝eq \f(ln x,x＋1). 则f′(x)＝3(2x－1)ex－1＋3(x2－x)ex－1＝3(x2＋x－1)ex－1，f′(1)＝3. 直线y＝ax＋2的斜率为k1＝a，由导数的几何意义可得，k1＝3，所以a＝3. 又g′(x)＝eq \f(\f(x＋1,x)－ln x,x＋12)＝eq \f(x＋1－xln x,xx＋12)，g′(1)＝eq \f(1,2). 直线x－by＋1＝0的斜率为k2＝eq \f(1,b)，由导数的几何意义可得，eq \f(1,2)k2＝－1，所以b＝－eq \f(1,2). 所以a＋b＝eq \f(5,2). 答案：eq \f(5,2) 4．(2024·山东滨州校考)若曲线y＝(2x－a)ex有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围为　______________　. 解析：设切点坐标为：(x0，y0)，y′＝(2x＋2－a)ex， 所以切线斜率为k＝(2x0＋2－a)ex0， 即切线方程为y－(2x0－a)ex0＝(2x0＋2－a)ex0(x－x0)， 又切线过坐标原点，所以0－(2x0－a)ex0＝(2x0＋2－a)ex0(0－x0)，整理得2xeq \o\al(2,0)－ax0＋a＝0， 又曲线有两条过坐标原点的切线，所以该方程有两个解，所以Δ＝a2－8a＞0，解得a∈(－∞，0)∪(8，＋∞)． 答案：(－∞，0)∪(8，＋∞) 两曲线的公切线 [例4]　(1)(2024·江苏校联考)已知点P是曲线y＝xex与曲线y＝ex2的公共点，则两曲线在点P处的公共切线方程是(　　) A．y＝0　　　　　　　 B．2ex－y－e＝0 C．y＝0或2ex－y－e＝0 D．y＝0或ex－y－1＝0 [解析]　B　[设P点的坐标为(x0，y0)， 对曲线y＝xex求导得y′＝ex＋xex， 对曲线y＝ex2求导得y′＝2ex， 解得x0＝1， 得P点坐标为(1，e)，切线为2ex－y－e＝0.] (2)(2024·韶关模拟)若曲线C1：y＝ax2(a>0)与曲线C2：y＝ex存在公共切线，则a的取值范围为　________　. [解析]　由y＝ax2(a>0)，得y′＝2ax， 由y＝ex，得y′＝ex， 曲线C1∶y＝ax2(a>0)与曲线C2∶y＝ex存在公共切线， 设公切线与曲线C1切于点(x1，axeq \o\al(2,1))， 与曲线C2切于点 可得2x2＝x1＋2，∴a＝，记f(x)＝，则 当x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增． ∴当x＝2时，f(x)min＝eq \f(e2,4). ∴a的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e2,4)，＋∞)). [答案]　eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e2,4)，＋∞)) ►[延伸探究]　在本例(2)中，把“存在公共切线”改为“存在两条公共切线”，则a的取值范围为　________　. [解析]　由本例(2)知， ∵两曲线C1与C2存在两条公共切线， ∴a＝有两个不同的解． ∵函数f(x)＝在(0,2)上单调递减， 在(2，＋∞)上单调递增，且f(x)min＝f(2)＝eq \f(e2,4)， 又x→0时，f(x)→＋∞，x→＋∞时，f(x)→＋∞，∴a>eq \f(e2,4). [答案]　eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e2,4)，＋∞)) 公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解． 5．(2024·晋中二模)已知函数f(x)＝ex与函数g(x)＝ln x＋b存在一条过原点的公共切线，则b＝　__________　. 5．(2024·晋中二模)已知函数f(x)＝ex与函数g(x)＝ln x＋b存在一条过原点的公共切线，则b＝　__________　. 解析：设该公切线过函数f(x)＝ex、函数g(x)＝ ln x＋b的切点分别为 因为f′(x)＝ex，所以该公切线的方程为 同理可得，该公切线的方程也可以表示为y＝eq \f(1,x2)(x－x2)＋ln x2＋b＝eq \f(1,x2)x＋ln x2＋b－1， 因为该公切线过原点，所以解得x1＝1，x2＝eq \f(1,e)，b＝2. 答案：2 $$