第02讲 空间向量的数量积运算-【暑假预科讲义】2024年新高二数学暑假精品课（高一升高二）（人教A版2019选择性必修第一册）

第02讲 空间向量的数量积运算 【人教A版2019】 ·模块一 空间向量的夹角与数量积 ·模块二 向量的投影 ·模块三 课后作业 模块一 空间向量的夹角与数量积 1．空间向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． (2)范围：0≤〈a，b〉≤π. 特别地，当〈a，b〉＝时，a⊥b. 2．空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 性质 ①a⊥b⇔a·b＝0 ②a·a＝a2＝|a|2 运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交换律)． ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律). 3．空间向量夹角的计算 求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定． 4．空间向量数量积的计算 求空间向量数量积的步骤： (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入求解． 【考点1 空间向量数量积的计算】 【例1.1】（23-24高二上·天津静海·阶段练习）已知向量和的夹角为，且，，则（    ） A．12 B． C．4 D．13 【例1.2】（23-24高二上·山东威海·阶段练习）在正四面体中，棱长为2，且是棱中点，则的值为（    ） A． B．1 C．3 D．7 【变式1.1】（23-24高二上·广东河源·期末）如图，在正三棱锥中，高，，点分别为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【变式1.2】（2024·江西赣州·二模）已知球O内切于正四棱锥，，EF是球O的一条直径，点Q为正四棱锥表面上的点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【考点2 空间向量的夹角的计算】 【例2.1】（23-24高二上·山东烟台·期中）已知空间向量，，满足，，且，则与的夹角大小为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【例2.2】（23-24高二·全国·课后作业）已知空间向量，则（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（23-24高二下·江苏连云港·期中）已知平行六面体中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（23-24高二上·北京顺义·阶段练习）如图，在平行六面体中，，，则直线与直线所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【考点3 利用空间向量的数量积求模】 【例3.1】（23-24高二上·新疆和田·期中）已知、、均为单位向量，，，则（    ） A． B． C． D． 【例3.2】（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知是平行六面体，， ，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（23-24高二上·天津滨海新·期中）在平行六面体中，其中，则（    ） A．12 B． C．6 D． 【变式3.2】（23-24高二上·安徽·阶段练习）在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【考点4 向量垂直的应用】 【例4.1】（23-24高二上·山西朔州·期末）如图，面为矩形，连接，下面各组向量中，数量积不一定为零的是（    ）    A．与 B．与 C．与 D．与 【例4.2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知，是异面直线，，，分别为取自直线，上的单位向量，且，，，则实数的值为（    ） A． B．6 C．3 D． 【变式4.1】（23-24高二·全国·课后作业）已知空间向量，，，，且与垂直，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（23-24高二上·山东·阶段练习）如图，在平行六面体中，，，若，则为（    ）    A．1 B． C． D． 模块二 向量的投影 1．向量的投影 (1)如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))． (2)如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 【考点1 投影向量的求解】 【例1.1】（23-24高二上·河北唐山·期中）在空间四边形中，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【例1.2