2024年中考复习专题---压轴题里的最值问题　

最值问题 在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。 解决平面几何最值问题的常用的方法有： （1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值； （2）应用垂线段最短的性质求最值； （3）应用轴对称的性质求最值（将军饮马模型及其变形） （4）应用二次函数求最值； （5）辅助圆。 其中辅助圆常常出现在压轴题里，难度非常大，需要同学们把握好辅助圆存在的前提条件 第一部分：几何方法求最值 ①两点之间线段最短： 1．平面直角坐标系中，有A(3，2)，B(5，3)两点，现另取一点C(1，n)，当n为多少时，AC＋BC的值最小？ 2. 在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别是A(－2，0)，O(0，0)，B(0，4)，把△AOB绕O点按顺时针旋转 90度，得到△COD，(1)求C、D的坐标，(2)求经过A、B、D三点的抛物线。(3)在(2)中的抛物线的对称轴上取两点 E、F(E在F点的上方)，且EF＝1，当四边形ACEF的周长最小时，求E、F的坐标。 3．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AD边上的一个动点，将四边形BCDE沿直线BE折叠，得到四边形BC′D′E，连接AC′，AD′. （1）若直线DA交BC′于点F，求证：EF＝BF； （2）当AE＝时，求证：△AC′D′是等腰三角形； ( C B D E D ′ ´ A F C ′ )（3）在点E的运动过程中，求△AC′D′面积的最小值． ②三角形三边关系（两定一变） 1．如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为（ ） A．　　　B．　　　C．　　　D． 2．如图2，直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4，在△ABC内部以AC为斜边任意作Rt△ACD，连接BD，则线段BD长的最小值是　 　． 3．如图3，长方形ABCD中，AB＝6，BC＝4，在长方形的内部以CD边为斜边任意作Rt△CDE，连接AE，则线段AE长的最小值是　 　． 图2 图3 ③费马点问题： 1．问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：PA＋PC＝PE 问题解决：如图2，在△MNG中，MN＝6，∠M＝75°，MG＝．点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是___________ 2．如图，△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝4，BC＝5，P是△ABC内部的任意一点，连接PA，PB，PC， 则PA＋PB＋PC的最小值为________． 3．P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA＋PB＋PC的最小值． 备用图 ④垂线段最短 1．如图Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AB边上的一个动点，过D分别作AC，BC的垂线，垂足分别为E和F，则EF的最小值是 . 2．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB、AC于E、F，连接EF，则线段EF长度的最小值为 . 3．如图，在Rt△AOB中，OA=OB=4．⊙O的半径为2，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ(点Q为切点)，则线段PQ长的最小值为_________． 第1题图 第2题图 第3题图 4．如图，在△ABC中，点P是BC边上的动点，点M是AP的中点，PD⊥AB，垂足为D，PE⊥AC，垂足为E，连接MD，ME. （1）求证：∠DME=2∠BAC； （2）若∠B=45°，∠C=75°，AB=，连接DE，求△MDE周长的最小值. ⑤圆相关（压轴题常见） 方法：三点共圆（直径定理）；四点共圆（对角互补）；定点定长；定角定长 1．在平面直角坐标系中，以原点为圆心，5为半径的⊙O与直线y＝kx＋2k＋3(k≠0)交于A，B两点，则弦AB长的最小值是 ． 2．如