2024年中考数学复习专题---圆和相似、三角函数综合（拓展）

圆与相似三角形、三角函数综合 1、 圆与相似 拓展：相交弦定理，割线定理，切割线定理，中考不做要求，可以给学有余力的同学拓展知识点 题型1：求线段 【典型例题】 1．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，AE＝2cm，则OF的长度是( ) A．3cm B．cm C．2.5cm D．cm 2．如图，已知AB为⊙O的直径，AB＝2，AD和BE是圆O的两条切线，A、B为切点，过圆上一点C作⊙O的切线CF，分别交AD、BE于点M、N，连接AC、CB，若∠ABC＝30°，则AM＝ ． 【随堂练习】 1．如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为4，BC＝6，则PA的长为( ) A．4 B． C．3 D．2.5 2．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝10，连接AC、BD，以BD为直径的圆交AC于点E，若DE＝3，则AD的长为( ) A．5 B．4 C．3 D．2 3．如图,M、N是以AB为直径的⊙O上的点,且＝，弦MN交AB于点C，BM平分∠ABD，MF⊥BD于点F． （1）求证：MF是⊙O的切线； （2）若CN＝3，BN＝4，求CM的长． 题型2：求线段的乘积关系 【典型例题】 1．如图，AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作EC⊥OB，交⊙O于点C，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，作AF⊥PC于点F，连接CB． （1）求证：AC平分∠FAB； （2）求证：BC2＝CE•CP； （3）当AB＝4且＝时，求劣弧的长度． 【随堂练习】 1．如图，AB是⊙O的直径，点D是弧AE上一点，且∠BDE＝∠CBE，BD与AE交于点F. （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若BD平分∠ABE，求证：DE2＝DF·DB； （3）在（2）的条件下，延长ED，BA交于点P，若PA＝AO，DE＝2，求PD的长. 2．如图，点D在以AB为直径的⊙O上，AD平分，，过点B作⊙O的切线交AD的延长线于点E． (1)求证：直线CD是⊙O的切线． (2)求证：． 2、 圆与三角函数 三角函数作为解直角三角形的几何工具，本质上和勾股定理的用法相同，不同的是勾股定理是边与边的关系，三角函数是边与角的关系 题型一：求三角函数值 【典型例题】 1. 如图，直径为10的⊙A经过点C（0，5）和点O（0，0），B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为（　　） A. B. C. D. 2. 如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B，延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E． （1）求证：PB为⊙O的切线； （2）若tan∠ABE＝，求sin∠E． 【随堂练习】 1. 如图，点E(0，4)，O(0，0)，C(5，0)在⊙A上，BE是⊙A上的一条弦．则tan∠OBE为 . 2. 如图，AB为⊙O的直径，CE⊥AD于E，连BE，＝． （1）求证：CE为⊙O的切线； （2）若AE＝6，⊙O的半径为5，求tan∠BEC的值． 3. 已知，如图2，点M、N、P为⊙O上的三点，且∠P＝β，sinβ＝，求sin2β的值． 4．小芸在小组学习时问小娟这样一个问题：已知α为锐角，且sinα＝，求sin2α的值． 小娟是这样给小芸讲解的：如图1，在⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，所以∠ACB＝90°．设∠BAC＝α，则sinα＝＝．易得∠BOC＝2α．设BC＝x，则AB＝3x，则AC＝2x．作CD⊥AB于D，求出CD＝　 　(用含x的式子表示)，可求得sin2α＝＝　 　． 题型二、求角度/线段长度 【典型例题】 1．如图，在矩形ABCD中，AD＝3，以顶点D为圆心，1为半径作⊙D，过边BC上一点P作射线PQ与⊙D相切于点Q，且交边AD于点M，连接AP，若AP＋QP＝2，∠APB＝∠QPC，则∠QPC的大小约为 度 分. (参考数据：sin11°32′≈，tan36°52′≈). 2.如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠ADB＝∠ABC，点P为对角线BD上的一点，已知BD＝6，CD＝4. （1）当