2024年九年级中考数学考点集训16二次函数与几何图形的综合

考点16二次函数与几何图形的综合　　　 　　　　　　　 1(2023广东)如图,抛物线y=ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A,B,C,点B在y轴上,则ac的值为 (　　) A.-1 B.-2 C.-3 D.-4 2(2022烟台)如图(1),△ABC中,∠ABC=60°,D是BC边上的一个动点(不与点B,C重合),DE∥AB,交AC于点E,EF∥BC,交AB于点F.设BD的长为x,四边形BDEF的面积为y,y与x的函数图象是如图(2)所示的一段抛物线,其顶点P的坐标为(2,3),则AB的长为　　　　.  图(1)　　　　　图(2) 3(2023宜宾)如图,抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-3,0),顶点为M(-1,m),且抛物线与y轴的交点B在(0,-2)与(0,-3)之间(不含端点),则下列结论: ①当-3≤x≤1时,y≤0; ②当△ABM的面积为时,a=; ③当△ABM为直角三角形时,在△AOB内存在唯一一点P,使得PA+PO+PB的值最小,最小值的平方为18+9. 其中正确的结论是　　　　.(填写所有正确结论的序号)  4(2023福建)已知抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A(1,0),B(3,0)两点,M为抛物线的顶点,C,D为抛物线上不与A,B重合的相异两点,记AB的中点为E,直线AD,BC的交点为P. (1)求抛物线的函数表达式. (2)若C(4,3),D(m,-),且m<2,求证:C,D,E三点共线. (3)小明研究发现:无论C,D在抛物线上如何运动,只要C,D,E三点共线,△AMP,△MEP,△ABP中必存在面积为定值的三角形.请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积,不必说明理由. 5(2023安徽)在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过点A(3,3),对称轴为直线x=2. (1)求a,b的值. (2)已知点B,C在抛物线上,点B的横坐标为t,点C的横坐标为t+1.过点B作x轴的垂线交直线OA于点D,过点C作x轴的垂线交直线OA于点E. (i)当0<t<2时,求△OBD与△ACE的面积之和. (ii)在抛物线对称轴右侧,是否存在点B,使得以B,C,D,E为顶点的四边形的面积为?若存在,请求出点B的横坐标t的值;若不存在,请说明理由. 6(2023常德)如图,二次函数的图象与x轴交于A(-1,0),B(5,0)两点,与y轴交于点C,顶点为D,O为坐标原点,tan∠ACO=. (1)求二次函数的表达式; (2)求四边形ACDB的面积; (3)P是抛物线上的一点,且在第一象限内,若∠ACO=∠PBC,求P点的坐标. 备用图 7(2023成都)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2+c经过点P(4,-3),与y轴交于点A(0,1),直线y=kx(k≠0)与抛物线交于B,C两点. (1)求抛物线的函数表达式. (2)若△ABP是以AB为腰的等腰三角形,求点B的坐标. (3)过点M(0,m)作y轴的垂线,交直线AB于点D,交直线AC于点E. 试探究:是否存在常数m,使得OD⊥OE始终成立?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由. 备用图 8(2023武汉)抛物线C1:y=x2-2x-8交x轴于A,B两点(A在B的左边),交y轴于点C. (1)直接写出A,B,C三点的坐标. (2)如图(1),作直线x=t(0<t<4),分别交x轴、线段BC、抛物线C1于D,E,F三点,连接CF.若△BDE与△CEF相似,求t的值. (3)如图(2),将抛物线C1平移得到抛物线C2,其顶点为原点.直线y=2x与抛物线C2交于O,G两点,过OG的中点H作直线MN(异于直线OG)交抛物线C2于M,N两点,直线MO与直线GN交于点P,问点P是否在一条定直线上?若是,求该直线的解析式;若不是,请说明理由. 　图(1)　　　　　　　　图(2) 答案 1 B　易知点B的坐标为(0,c),∴OB=c.根据正方形的对角线互相垂直平分,可知点A的坐标为(,).把(,)代入y=ax2+c,得a×()2+c=,整理,得ac=-2. 2 2 【解析】易得四边形BDEF是平行四边形.∵抛物线的顶点坐标为(2,3),且过点(0,0),∴当x=4时,y=0,∴BC=4.当BD=2时,过点F作FH⊥BC于点H,则3=2FH,∴FH=.∵∠ABC=60°,∴BF==,∴DE=.∵DE∥AB,BD=CD=2,∴AB=2DE=2. 3 ①② 【解析】∵拋物线y=ax2+bx+c经过点A(-3,0),顶点为M(-1,m),∴对称轴为直线x=-1,抛物线与x轴的另一交点坐标为(1,0).由图象可得,当-3≤x≤1时,y≤0,故结论①正确.由抛物线经过点