8.6.2 直线与平面垂直（1）课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.6 空间直线、平面的垂直 第八章 立体几何初步 8.6.2 直线与平面的垂直(1) 一 二 三 学习目标 理解直线与平面垂直的意义与直线与平面所成角的概念 探索并理解直线和平面垂直的判定定理 并能运用其解决相关问题 学习目标 复习回顾 空间中直线与平面有几种位置关系? 线面位置关系 垂直 斜交 a b 直线在平面内 直线与平面平行 直线在平面外 a∥ 直线与平面相交 a⊂ a∩ =A a a 观察1 在日常生活中,我们对直线与平面垂直有很多感性认识. 比如,旗杆与底面的位置关系,教室里相邻墙面的交线与地面的位置关系,都给我们以直线与平面垂直的形象. 新课导入 A B 观察2 如图示,在阳光下观察直立于底面的旗杆AB及它在地面的影子BC. 随着时间的变化,影子BC的位置在不断地变化,旗杆所在直线AB与其影子BC所在直线是否保持垂直? C 直线AB与其影子BC所在直线始终保持垂直. 新知探究 旗杆AB所在直线于地面上任意一条过点B的直线垂直. C' B' 追问 旗杆AB与地面上任意一条不过旗杆底部B的直线的位置关系又是什么? 与地面内任意一条不过点B的直线B'D'也垂直. 直线AB垂直于平面内的任意一条直线. 概念生成 直线与平面垂直的定义 一般地,如果直线l与平面 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面 互相垂直,记作l⊥ . 直线l叫做平面 的垂线,平面 叫做直线l的垂面. 直线与平面垂直时,它们唯一的公共点P叫做垂足. l P 平面 的垂线 直线l的垂面 垂足 画直线与平面垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直. 新知讲解 反思:“若 l⊥ ,则直线 l 与平面 内任意一条直线都垂直”,对吗? l P l ^ a 线面垂直 线线垂直 线面垂直的最基本的性质。 新知探究 问题1 在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直,将这一 结论推广到空间,过一点垂直于已知平面的直线有几条?为什么? P l 过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条 O 证明: P 新知探究 过一点作垂直于已知平面的直线,则该点与垂足间的线段,叫做这个点到该平面的垂线段, 点到平面的距离 在锥体的体积公式中,锥体的高度就是锥体的顶点到底面的距离. P l O 下面我们研究直线与平面垂直的判定,就是直线与平面垂直的充分条件. 垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离. 如图,在正三棱柱 中,若 , ,则点 到平面 的距离为_ _. <m></m> 解:∵在正三棱柱 中, , , ∴ , 由正三棱柱的性质可知 , ∴在等腰三角形 中, , , 跟踪练习 ∴ 边上的高为 , ∴ , 设点 到平面 的距离为 ,则 , 解得 . 故点 到平面 的距离为 . 问题2 怎么来判定直线与平面垂直? 新知探究 由定义判定直线与平面垂直,简便吗? 能否只需验证直线与平面内部分直线垂直就能判定直线与平面垂直呢? 探究 准备一块三角形的纸片ABC,过 ABC的顶点A翻折纸片,得到折痕AD,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD, DC与桌面接触). 观察: (1) 折痕AD与桌面垂直吗? (2) 如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直?为什么? 不一定 当AD⊥BC时 折痕AD与桌面垂直. 概念生成 直线与平面垂直的判定定理: 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直. 垂直 内 相交 符号语言: 图形语言: 线线垂直 线面垂直 反思 定理中的两条相交直线能否改成平行直线,如果改成“无数条直线”呢? l m n 不能 典例解析 例3 求证:如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面. 已知:如图,a//b,a⊥ ,求证:b⊥ . 证明: 如图,在平面 内取两条相交直线m,n. ∵a⊥ , ∴a⊥m, a⊥n. 又∵a//b, ∴b⊥m, b⊥n. 又m⊂ ,n⊂ ,且m,n是两条相交直线. ∴b⊥ . 结论:如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面. (证明线面垂直的另一方法) 可作定理使用 直线和平面所成角 1) 斜线: 2) 斜足: 3) 斜线在平面内的射影: 和平面相交,但不垂直的直线叫做平面的斜线 斜线和平面相交的交点 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线称为斜线在平面内的射影. 平面的斜线和它在平面内的射影所成的角,叫做直线和平面所成的角. 规定:①若直线垂直平面,则直线和平面所成的角为90 ②若直线与平面平行或在平面内,则直线和平面所成的角为0 直线和平面所成角的取值范围为 P l A O 新知讲解 直线与平面所成的角是直线与平面内任意一条直线所成角的最小角. 典例解析 例6 如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,求: (1)A1C1