专题17 导数与函数的极值、最值-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）

专题17 导数与函数的极值、最值（新高考专用） 目录 【知识梳理】 2 【真题自测】 2 【考点突破】 4 【考点1】根据函数图象判断极值 4 【考点2】求已知函数的极值 5 【考点3】由函数的极值求参数 6 【考点4】利用导数求函数的最值 7 【分层检测】 9 【基础篇】 9 【能力篇】 11 【培优篇】 11 考试要求： 1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件. 2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.会求闭区间上函数的最大值、最小值. 知识梳理 1.函数的极值 (1)函数的极小值： 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0.则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值. (2)函数的极大值： 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0.则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值. (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 2.函数的最大(小)值 (1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件： 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. (2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤： ①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 1.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值. 2.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系. 真题自测 一、单选题 1．（2022·全国·高考真题）当时，函数取得最大值，则（    ） A． B． C． D．1 2．（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2021·全国·高考真题）设，若为函数的极大值点，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（2023·全国·高考真题）若函数既有极大值也有极小值，则（    ）． A． B． C． D． 5．（2023·全国·高考真题）已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 6．（2022·全国·高考真题）已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 三、填空题 7．（2022·全国·高考真题）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是 ． 8．（2021·全国·高考真题）函数的最小值为 . 考点突破 【考点1】根据函数图象判断极值 一、单选题 1．（21-22高三·北京西城·开学考试）如图所示，已知直线与曲线相切于两点，函数，则对函数描述正确的是（    ） A．有极小值点，没有极大值点 B．有极大值点，没有极小值点 C．至少有两个极小值点和一个极大值点 D．至少有一个极小值点和两个极大值点 2．（21-22高二下·北京西城·期末）设函数的极小值为－8，其导函数的图象过点（－2，0），如图所示，则＝（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2022·山东临沂·模拟预测）设函数，其中R，则（    ） A．当时，有2个极值点 B．当时有1个极值点 C．当时，有0个极值点． D．若，成立，则 4．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知函数和的图像都是上连续不断的曲线，如果，当且仅当时，那么下列情形可能出现的是（    ） A．1是的极大值，也是的极大值 B．1是的极大值，也是的极小值 C．1是的极小值，也是的极小值 D．1是的极小值，也是的极大值 三、填空题 5．（2021·四川成都·模拟预测）已知函数的定义域为，其部分自变量与函数值的对应情况如表： x 0 2 4 5 3 1 2.5 1 3 的导函数的图象如图所示．给出下列四个结论： ①在区间上单调递增； ②有2个极大值点； ③的值域为； ④如果时，的最小值是1，那么t的最大值为4． 其中，所有正确结论的序号是 ． 6．（2023·陕西宝鸡·二模）若函数无极值点，则实数a的取值范围是 . 反思提升： 由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1