2023-2024学年人教版数学八年级下学期期末培优专题复习专题十二正方形

2023-2024年人教版八年级下期末培优专题复习 （解析版） 专题十二 正方形 （知识点精讲+易错点点拨+单元检测卷） 一、知识点精讲 知识点1、正方形的定义及性质 1.正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形. 2.正方形的性质 正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有. 正方形性质： ①四个角都是直角; ②四条边都相等; ③对角线相等且互相垂直平分. ④正方形是轴对称图形 名师点拨 一条对角线能把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线能把正方形分成四个全等的等腰直角三角形，因此正方形问题往往转化成等腰三角形问题解决。 知识点2、正方形的判定 1. 从平行四边形出发：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形是正方形。 2. （1）从矩形出发：有一组邻边相等的矩形是正方形。 （2） 从菱形出发：有一个角是直角的菱形是正方形。 3. 其他证法： （1） 对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形。 （2） 对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形 （3） 既是菱形又是矩形的四边形是正方形。 名师点拨 判定一个四边形是正方形时，首先判定其是平行四边形、矩形、菱形，再判断其他条件。 知识点3、正方形的判定和性质的综合 名师点拨 先根据所给条件判定四边形是正方形，再利用正方形的性质进行证明或计算。 二、易错点点拨 易错点一、正方形的性质 例1-1．如图，在正方形ABCD中，E，F分别在边DC，BC上，且△AEF为等边三角形，若AE=4，则AC的长为 _____． 易错点拨 正方形中证明三角形全等的思路：找出要证明的两个三角形，结合正方形的边分析对应边、对应角、或添加辅助线加以证明。 变式训练1 1．如图，平面内三点A、B、C，AB＝4，AC＝，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是（  ） A. 5 B. C. 7 D. 7 2．如图，在正方形中，，点，分别在边，上，．若将四边形沿折叠，点恰好落在边上点处，则的长度为（ ） A. 1 B. C. D. 2 3．如图，在边长为2的正方形ABCD中，∠CAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，则CE的长为 _____．​ 易错点二、正方形的判定 例2-1 .如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE． （1）求证：CE=AD； （2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由． 易错点拨 证明四边形是正方形两条思路 （1） 先证明四边形是矩形，再证明一组邻边相等 （2） 先证明四边形是菱形，再证明有一内角是直角。 变式训练2 1．如图，在△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MNBC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F． （1）探究OE与OF的数量关系并加以证明； （2）当点O运动到AC上的什么位置时，四边形AECF是矩形，请说明理由； （3）在（2）的基础上，△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？为什么？ 2．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD=CD，E是对角线BD上的一点，且AE=CE． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）如果AB=BE，且∠ABE=2∠DCE，求证：四边形ABCD是正方形． 3．如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF=45°．求证：矩形ABCD是正方形． 易错点三、正方形的性质和判定的综合 例3-1 .如图，在四边形中，且，对角线和相交于点O，且，过点B作，交于点E，连结． (1)求证：； (2)试探究四边形的形状，并说明理由； (3)若，，，求四边形的面积． 易错点拨 判定四边形是正方形本题先证明四边形是矩形，再证明一组邻边相等，在正方形中的计算，要熟练掌握正方形性质，有意识地将正方形问题转化为三角形特别是直角三角形问题。 变式训练3 1 .四边形 ABCD 为正方形，点 E 为线段 AC 上一点，连接 DE，过点 E 作 EF ⊥DE，交射线 BC 于点 F，以 DE、EF 为邻边作矩形 DEFG，连接 CG． （1）如图，求证：矩形 DEFG 是正方形； （2）若 AB＝，CE＝2，求 CG 的长； （3）当线段 DE 与正方形 ABCD 的某条边的夹角是 40°时，直接写出∠EFC 的度数． 2．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB=3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，