1.1 菱形的性质和判定（知识解读+达标检测）-2024-2025学年九年级数学上册《知识解读•题型专练》（北师大版）

1.1 菱形的性质和判定 【考点1菱形的概念和性质】 【考点2菱形的面积】 【考点3 菱形的判定】 【考点4 菱形的性质与判定综合】 考点1：菱形的性质 菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 ※菱形的性质：（1）具有平行四边形的性质 （2） 且四条边都相等 （3）两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。 注意：菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。 【题型1菱形的概念和性质】 【典例1】（2023秋•白银期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，边BC在y轴上，若点A的坐标为（4，5），则C点的坐标为（　　） A．（0，﹣2） B．（0，﹣3） C．（0，﹣2.5） D．（﹣2，0） 【变式1-1】（2023秋•甘州区校级期末）菱形的边长为5，它的一条对角线的长为6，则菱形的另一条对角线的长为（　　） A．8 B．6 C．5 D．4 【变式1-2】（2024•深圳模拟）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，连接AC，若AC＝6，则菱形ABCD的周长为（　　） A．24 B．30 C． D． 【变式1-3】（2023秋•东河区期末）如图，在菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，若∠BCD＝40°，则∠OED的度数是 　20°　． 考点2：菱形的面积（等面积求高） 菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半 【题型2菱形的面积】 【典例2】（2023秋•宝鸡期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE．若OB＝6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为（　　） A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 【变式2-1】（2023秋•辽中区期末）菱形的两条对角线分别为6cm，8cm，则它的面积 是　　 cm2． 【变式2-2】（2023秋•淄川区期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，对角线AC＝6．若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为（　　） A．4 B．2.4 C．4.8 D．5 【变式2-3】（2022秋•渝北区校级期末）如图，四边形ABCD是菱形，连接AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC，交BC于点E，若AC＝4，BD＝6，则BE的长度是（　　） A． B． C． D． 考点3：菱形的判定 ※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。 【题型3 菱形的判定】 【典例3】（2023秋•锦州期末）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，EF，FA，若AE＝AF，CE＝CF．求证：四边形ABCD是菱形． 【变式3-1】（2023秋•榆林期末）如图所示，已知△ABC，AB＝AC，将△ABC沿边BC翻转，得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC，则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是（　　） A．一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．四边相等的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 【变式3-2】（2023•雁塔区校级二模）如图，△ABC中，D为BC上一点，DE∥AB，DF∥AC．增加下列条件能判定四边形AFDE为菱形的是（　　） A．点D在∠BAC的平分线上 B．AB＝AC C．∠A＝90° D．点D为BC的中点 【变式3-3】（2023秋•牡丹区期中）下列条件能判定四边形是菱形的是（　　） A．对角线相等的四边形 B．对角线互相垂直的四边形 C．对角线互相垂直平分的四边形 D．对角线相等且互相垂直的四边形 【题型4菱形的性质与判定综合】 【典例4】（2023秋•市南区期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝BC，BO平分∠ABC，过点A作AD∥BC交BO的延长线于D，连接CD，过点D作DE⊥BD交BC的延长线于E． （1）判断四边形ABCD的形状，并说明理由； （2）若AB＝3，∠ABE＝120°，求DE的长． 【变式4-1】（2023秋•城关区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，点F在AD上，且AF＝AB，连接BF交AE于点G，连接EF． （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）若BF＝10，AB＝10，求菱形ABEF的面积． 【变式4-2】（2023秋•文山市期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝2BC，E为AD的中点，连接BD，BE，∠ABD＝90° （1）求证：四边形BCDE为菱形． （2）连接．AC，若AC⊥BE，BC＝2，求BD的长． 【变式4-3】（2022秋•城关区校级期末）在△ABC