2.1.1 倾斜角与斜率-2024-2025学年高二数学新教材【教材解读】（人教A版2019选择性必修第一册）

2.1.1 倾斜角与斜率 [核心素养·学习目标] 课程标准 课标解读 1． 理解直线的倾斜角与斜率的概念.掌握直线的倾斜角的范围与斜率存在的意义. 2． 了解直线的方向向量与直线、直线的斜率的关系. 3． 会用两点坐标求直线的斜率. 4． 在平面直角坐标系中探索确定直线位置的几何要素. 通过本节课的学习，理解直线的倾斜角与斜率的概念，了解直线的方向向量与直线的斜率的关系，会求直线的斜率与倾斜角，掌握确定直线的条件及直线倾斜角与斜率的取值范围. 课前预习 预习01直线的倾斜角 1．倾斜角的定义 (1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴 与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． (2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. 2．直线的倾斜角α的取值范围为 . 思考：任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？ 提示 由倾斜角的定义可以知道，任何一条直线都有倾斜角；不同的直线其倾斜角有可能相同，如平行的直线其倾斜角是相同的． 预习02直线的斜率 1．直线的斜率：把一条直线的倾斜角α的 叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝ 2．斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 3.过两点的直线的斜率公式:过两点的 直线的斜率公式为. 思考：你能说出直线的倾斜角与斜率的区别与联系吗? 提示(1)直线的斜率与倾斜角既有区别,又有联系.它们都反映了直线相对于轴的倾斜程度,本质上是一致的.但倾斜角是角度,是直线倾斜度的直接体现;斜率是实数,是直线倾斜度的间接反映,用斜率比用倾斜角更方便. (2)倾斜角可正、可零,但不可为负,而斜率不仅可正、可零,还可以为负. (3)当时,直线斜率不存在,当时,可以建立倾斜角和斜率之间的函数关系,即. 知识讲解 知识点01 直线的倾斜角 直线倾斜角的概念 当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． 倾斜角的取值范围 当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°．因此，直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α<180°． 如下图：的倾斜角为0°，的倾斜角为锐角，的倾斜角为直角，的倾斜角为钝角． 【特别注意】直线的确定： 在平面直角坐标系中，确定一条直线位置的几何要素是：已知直线上的一点和这条直线的方向，二者缺一不可． 倾斜角与倾斜程度： 平面直角坐标系内每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等．因此，我们可用倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度． 知识点02直线的斜率 斜率的定义 我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，通常用小写字母k表示，即． 注：倾斜角是90°的直线没有斜率． 过两点的直线的斜率公式 1．公式 经过两点的直线的斜率公式为． 2．公式的推导 如图（1），（2），设直线的倾斜角为α（α≠90°），当直线的方向（即从指向的方向）向上时，过点作x轴的平行线，过点作y轴的平行线，两条直线相交于点Q，于是点Q的坐标为． 如图（1），当α为锐角时，． 在中，． 如图（2），当α为钝角时，α=180°−θ（设），．． 在中，， 于是可得，即． 同样，当直线的方向向上时，如图（3），（4），也有，即． 综上所述，经过两点的直线的斜率公式为． 【特别注意】已知两点求直线的斜率时，首先应检验两点的横坐标是否相等．若相等，则斜率不存在；若不相等，则可用斜率公式直接计算． 知识点03倾斜角与斜率的关系 【特别注意】斜率与倾斜角之间的关系 当直线的倾斜角α=0°时，斜率k=0，直线与x轴平行中重合； 当0°<α<90°时，斜率k>0，且k值增大，倾斜角随着增大； 当α=90°时，斜率k不存在（此时直线是存在的，直线与x轴垂直）； 当90°<α<180°时，斜率k<0，且k值增大，倾斜角也随着增大． 直线的倾斜程度 （1）倾斜角α不是90°的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同．因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度． （2）直线的斜率和倾斜角都是刻画直线倾斜程度的量，斜率侧重于代数角度，倾斜角侧重于几何角度． 知识点04线的斜率与直线的方向向量 【特别注意】若直线 的斜率为 它的一个方向向量的坐标为 ，则 . 若直线 的斜率为 且直线过两点 ，它的一个方向向量的坐标为，则. 【大招总结】 大招1求直线的倾斜角 求直线的倾斜角的方法及两点注意 (1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角． (2)两点注意：①