2023-2024学年人教版八年级数学下册期末培优专题复习专题十一菱形

2023-2024年人教版八年级下期末培优专题复习 （解析版） 专题十一 菱形 （知识点精讲+易错点点拨+单元检测卷） 一、知识点精讲 知识点1、菱形的定义及性质 1. 定义：有一组对边相等的平行四边形叫做菱形。 2. 性质： （1）菱形具有平行四边形的一切性质； （2）菱形的四条边都相等； （3）菱形的对角线互相垂直平分且每一条对角线分别平分一组对角; （4）菱形是轴对称图形，对称轴有2条，即两条对角线所在直线，菱形还是中心对称图形; （5）菱形的面积等于两条对角线乘积的一半；当不易求出对角线长时，就用平行四边形面积的一般计算  方法计算菱形面积S=底×高 名师点拨 菱形中含多个等腰三角形，其性质的推理证明是借助等腰三角形的性质得到的。 知识点2、菱形的判定 1. 定义：在同一平面内，有一组邻边相等的平行四边形是菱形 2. 一组邻边相等的平行四边形是菱形 3. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 4 .四条边都相等的四边形是菱形 名师点拨 1. 用定义法判定菱形，先证明四边形是平行四边形，再证明这个平行四边形有一组邻边相等。 2. 用边判定菱形，先证明四边形是平行四边形，再证明有一组邻边相等，或者直接证明四边形四边相等。 3. 用对角线证明菱形，先证明四边形是平行四边形，再证明平行四边形的对角线垂直，或者直接证明四边形的对角线垂直平分。 知识点3、菱形的性质、判定综合运用 名师点拨 先利用菱形的判断方法证明四边形是菱形，再利用菱形的性质解决有关问题。 2、 易错点点拨 易错点一 菱形的性质 例1-1 .已知，四边形ABCD是菱形，∠B=60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF=60°． （1）如图1，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B，C重合），求证：BE=CF； （2）如图2，当点E在线段CB的延长线上，连接AC，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图2中三对相等的线段（菱形ABCD相等的边除外）． 易错点拨 根据菱形的对角线互相垂直平分，据此菱形问题可以转化成直角三角形问题来解决，所得的直角三角形的两直角边的长是菱形对角线长的一半。斜边长是菱形的边长。 当菱形中有60°、120°角时连接对角线转化为等边三角形 变式训练1 1．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为边BC的中点，连结OE．若AC=6，BD=8，则OE=（　　） A. 2 B. C. 3 D. 4 2．如图，在菱形ABCD中，∠B=50°，点E在CD上，若AE=AC，则∠BAE=_____°． 3．如图，菱形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为（1，0），点D（4，4）在反比例函数y=（x＞0）的图象上，直线y=x+b经过点C，与y轴交于点E，连接AC，AE． （1）求k,b的值； （2）求△ACE的面积． 4．如图，在边长为4的菱形ABCD中，BD=4，E、F分别是AD、CD上的动点，且AE=DF，连接BE、BF． （1）试探究BE与BF的数量关系，并证明你的结论； （2）求四边形BEDF的面积． 易错点二 菱形的判定 例2-1 .如图，在中，，于点，平分，分别交、于点、，于点，连接，求证：四边形是菱形． 易错点拨 判定一个四边形是菱形时，如果已知中有或易证出对角线互相垂直，应选择“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”这一定理判定。 应用“四条边相等的四边形是菱形”判定时，借助三角形全等或三角形的中位线证明四边相等。 变式训练2 1．如图，已知四边形ABCD，AD∥BC．请用尺规作图法，在边AD上求作一点E，在边BC上求作一点F，使四边形BFDE为菱形．（保留作图痕迹，不写作法） 2．如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD⊥BC交BC于点D．点E是线段AD上一点，连接BE，请完成下面的作图和填空． （1）用尺规完成以下基本作图：以点C为顶点，在BC的右边作∠BCF=∠EBD，射线CF交AD的延长线于点F，连接BF，EC．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论） （2）利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，求证：四边形BECF是菱形． 证明：∵AB=AC，AD⊥BC， ∴①_____， ∴BE=CE． 在△BED和△CFD中，， ∴△BED≌△CFD， ∴③_____． ∴四边形BECF是平行四边形． ∵④_____， ∴四边形BECF是菱形． 3．在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE=DF，连接AE、AF、CE、CF，如图所示． （1）求证：△ABE≌△ADF； （2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由． 4．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF． （1）求证：四边形ADCF是平行四边