1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题-2024-2025学年高二数学新教材【教材解读】（人教A版2019选择性必修第一册）

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 [核心素养·学习目标] 课程标准 课标解读 1. 会用向量法求线线、线面、面面的夹角及与其有关的角的三角函数值；会用向量法求点点、点线、点面、线线、线面、面面之间的距离及与其有关的面积与体积. 1. 能根据所给的条件利用空间向量这一重要工具进行空间中的距离与夹角（三角函数值）的求解. 2. 通过本节课的学习，提升平面向量、空间向量的知识相结合的综合能力，准确将平面向量、空间向量的概念，定理等内容与平面几何、空间立体几何有机的隔合在一起，提升解决问题的能力，将形与数，数与量有机的结合起来，为提升数学能力奠定基础. 课前预习 预习01点到直线的距离 如图，已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量，则向量在直线上的投影向量，则点P到直线l的距离 预习02点到平面的距离 如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度．因此 预习03空间角的向量求法 空间角 向量求法 空间角的范围 异面直线 所成的角 若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是则 直线与 平面所 成的角 直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为，平面α的法向量为，则 两个平面 的夹角 若平面α，β的法向量分别是，则平面α与平面β的夹角即为向量和的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为θ，则 思考：为什么求空间角的公式中都带有绝对值？ 提示 因为异面直线所成的角的范围是 , 斜线与平面所成的角的范围是 , 平面与平面的夹角的范围是 , 而两个向量的夹角的范围是 , 因此计算时要加绝对值. 知识讲解 知识点 用空间向量研究距离与夹角问题 分类 向量求法 两点距 设A、B为空间中的任意两点，则d＝|AB| 点线距 设直线l的单位方向向量为u，A∈l，P∉l，设，则点P到直线l的距离 . 点面距 已知平面α的法向量为n，A∈α，P∉α，则点P到平面α的距离为 . 角的分类 向量求法 范围 两异面直线l1与l2所成的角为θ 设l1与l2的方向向量分别为u，v，则cosθ＝|cos<u，v>|＝ 直线l与平面α所成的角为θ 设l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos<u，n>|＝ 平面α与平面β的夹角为θ 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos<n1，n2>|＝ 【特别注意】向量法求点N到直线l的距离的步骤: 第一步：建系，依据图形先求出直线l的单位方向向量s. 第二步：在直线l上任取一点M(注：可选择特殊便于计算的点)．计算点M与直线l外的点N的方向向量. 第三步：易知垂线段的长度可利用直角三角形中的勾股定理计算d＝ . 【特别注意】求点到平面的距离的四个步骤: 　用向量法求线面距、面面距时一般要转化为点面距． 【特别注意】求异面直线所成角的方法: (1)几何法 ①作图：选择“特殊点”作异面直线的平行线，作出所求角； ②证明：证明所作角符合定义； ③计算：解三角形求解． (2)坐标法 ①建系：建立空间直角坐标系； ②找坐标：求出两条异面直线的方向向量的坐标； ③求夹角：利用向量夹角的公式计算两直线方向向量的夹角； ④下结论：结合异面直线所成角的范围，得到异面直线 所成的角． 【特别注意】两条异面直线所成的角的取值范围是. 求直线与平面的夹角的方法与步骤： 思路一：找直线在平面内的射影，充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值)． 思路二：用向量法求直线与平面的夹角可利用向量夹角公式或法向量．利用法向量求直线与平面的夹角的基本步骤： 【特别注意】利用向量方法求平面间夹角的大小时，多采用法向量法，具体求解步骤如下： (1)建立空间直角坐标系； (2)分别求出两个平面的法向量n1和n2； (3)设平面间的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|； (4)利用余弦值，确定平面间的夹角的大小． 【大招总结】 大招1用向量法求空间距离 1、用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)求直线的方向向量． (2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度． (3)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化． 2、求点到平面的距离的四步骤 注：线面距、面面距实质上都是求点面距，求直线到平面、平面到平面的距离的前提是线面、面面平行． 大招2 异面直线所成的角 1、基向量法求异面直线的夹角