精品解析：湖南省永州市2024届高三第三次模拟考试数学试题

永州市2024年高考第三次模拟考试 数学 命题人：眭小军（永州一中） 杜艳秋（永州四中） 谢军（江华二中） 田九三（祁阳二中） 审题人：席俊雄（永州市教科院） 注意事项： 1.本试卷共150分，考试时量120分钟. 2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效. 3.考试结束后，只交答题卡. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小圆给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A B. C. D. 2. 样本数据16，24，14，10，20，15，12，14的上四分位数为（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 18 3. 已知非零数列满足，则（ ） A. 8 B. 16 C. 32 D. 64 4. 的展开式中第四项的系数为540，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 为迎接2024年在永州举行的中国龙舟公开赛，一位热情好客的永州市民准备将9份一样的永州特产分给甲、乙、丙三名幸运观众，若每人至少分得一份，且甲、乙两人分得的份数不相同，则不同的分法总数为（ ） A. 26 B. 25 C. 24 D. 23 6. 在中，，，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，其中是自然对数底数.若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，点为坐标原点，过的直线分别交双曲线左、右两支于，两点，点在轴上，，平分，其中一条渐近线与线段交于点，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知随机变量，若，则 B. 设，，则“”成立的充要条件是“” C. 已知，，则 D. 若，，，则事件与相互独立 10. 已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为锐角的直线与抛物线相交于，两点（点在第一象限），过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，直线与抛物线的准线相交于点，则（ ） A. 的最小值为2 B. 当直线的斜率为时， C. 设直线，的斜率分别为，，则 D. 过点作直线的垂线，垂足为，交直线于点，则 11. 在平面四边形中，，，为等边三角形，将沿折起，得到三棱锥，设二面角的大小为.则下列说法正确的是（ ） A. 当时，，分别为线段，上的动点，则的最小值为 B. 当时，三棱锥外接球的直径为 C. 当时，以为直径的球面与底面的交线长为 D. 当时，绕点旋转至所形成的曲面面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数，，若（为的共轭复数），则实数的取值范围为________. 13. 已知在中，角，，所对的边分别为，，，且，，则________. 14. 已知函数的定义域为，，，且对于，恒有，则________________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 绿化祖国要扩绿、兴绿、护绿并举.某校植树节分别在甲，乙两块不同的土地上栽种某品种树苗各500株.甲地土质含有元素，乙地土质不含有元素，其它土质情况均相同，一段时间后，为了弄清楚该品种树苗的成活情况与元素含量是否有关联，分别在甲，乙两块土地上随机抽取树苗各50株作为样本进行统计分析.经统计，甲地成活45株，乙地成活40株. （1）根据所给数据，完成下面的列联表（单位：株），并判断依据小概率值的独立性检验，能否认为该品种树苗成活与元素含量有关联？ 列联表 类别 树苗成活情况 合计 成活 不成活 含元素 不含元素 合计 （2）若将频率视为概率，从样本中不成活的树苗中随机抽取3株，其中取自甲地的株数为，求的分布列及方差 参考公式：， 参考数据： 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 16. 如图，在多面体中，底面为直角梯形，，，平面，. （1）证明：； （2）若，，且多面体的体积为，求直线与平面所成角的正弦值. 17 已知函数. （1）当时，求在的单调区间及极值. （2）若恒成立，求的取值范围. 18. 已知数列等比数列，为等差数列，且，，. （1）求，通项公式； （2）数列的前项和为，集合共有5个元素，求实数的取值范围； （3）若数列中，，，求证：. 19. 已知为坐标原点，动点在椭圆上，动点满足，记点的轨迹为 （1）求轨迹的方程； （2）在轨迹上是否存