2023-2024年人教版八年级数学下学期期末培优专题复习专题十矩形

2023-2024年人教版八年级下期末培优专题复习 （解析版） 专题十 矩形 （知识点精讲+易错点点拨+单元检测卷） 一、知识点精讲 知识点1、矩形的定义及性质 1. 矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 2. 矩形的性质 （1） 角：矩形的四个角都是直角。 （2） 对角线：矩形的对角线相等。 （3） 对称性：矩形是轴对称图形，有两条对称轴。 名师点拨 1. 矩形具有平行四边形的所有性质。 2. 推理矩形的性质定理是由矩形的性质出发的，探究四边形的性质一般是从边、角、对角线三个方面入手，对于矩形，推理要结合平行四边形的性质加以证明。 知识点2、矩形的判定 （1） 有一个角是直角的平行四边形是矩形； （2） 对角线相等的平行四边形是矩形； （3） 有三个直角的四边形是矩形。 名师点拨 1. 矩形的定义也是矩形的判定方法之一，题中有一个直角，又是平行四边形时注意应用定义判断。 2. 判定定理1有两个条件；（1）对角线相等（2）平行四边形。 3.（3）定理是从角的方面判定矩形的，其中要求①内角个数3个②三个内角都是90°③四边形。 知识点3、直角三角形的性质 性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 名师点拨 此推论需要满足的两个条件：（1）直角三角形（2）出现斜边上的中线。 判定（性质的逆命题）如果三角形一边上的中线等于这一边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 二、易错点点拨 易错点1 矩形的性质 例1-1 .如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且∠CDF=∠BDC、∠DCF=∠ACD． （1）求证：DF=CF； （2）若∠CDF=60°，DF=6，求矩形ABCD的面积． 易错点拨 1 .推理矩形的性质定理是由矩形的性质出发的，探究四边形的性质一般是从边、角、对角线三个方面入手，对于矩形，推理要结合平行四边形的性质加以证明。 2 .矩形的两条对角线把矩形分成两对全等的等腰三角形，并且四个三角形的面积相等。所以矩形中的许多问题往往可以运用直角三角形和等腰三角形的知识来解决。 变式训练1 1．如图，在矩形中，点的坐标是，则两点间的距离是（ ） A. B. C. D. 5 2．如图，矩形的顶点E、F分别在菱形的边和对角线上，连接，若，，当的长最小时，则的长为（ ） A. B. C. D. 3．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°），若∠1=110°，则∠α=_____． 4．如图，在矩形ABCD中，点P在BC边上，连接PA，将PA绕点P顺时针旋转90°得到PA′，连接CA′，若AD=9，AB=5，CA′=2，则BP=_____． 5．如图，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转，得到矩形FGCE，使得点E落在边AB上，AB的延长线交EG于H，连接DE，DH． （1）求证：ED平分∠AEC； （2）求证：EC与DH互相平分； （3）设EC与DH相交于点O，AD=3，求点O到DC的距离． 易错点2 矩形的判定 例2-1 .如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F． （1）求证：AC=BE； （2）若∠AFC=2∠D，连接AC，BE．求证：四边形ABEC是矩形． 易错点拨 判定一个四边形是矩形的方法①定义：一个角是直角的平行四边形，②对角线：对角线相等的平行四边形③角：三个直角的四边形 变式训练2 1．如图，延长▱ABCD的边AD到E，使DE=AD，连接BE，DB，EC．再添加一个条件，不能使四边形BCED成为矩形的是（　　） A. AB=BE B. BE⊥DC C. ∠ADB=90° D. CE⊥DE 2．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，C是线段BE的中点． （1）求证：四边形ACED是平行四边形； （2）若AB=AE，求证：四边形ACED是矩形． 3．如图，平行四边形的对角线交于点O，E为中点，过点C作交的延长线于F，连接． （1）求证： （2）当满足什么条件时，四边形为矩形？请说明理由． 易错点3 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 例3-1 .如图，等腰ABC中，，交BC于D点，E点是AB的中点，分别过D，E两点作线段AC的垂线，垂足分别为G，F两点． （1）求证：四边形DEFG为矩形； （2）若，，求CG的长． 易错点拨 直角三角形斜边上的中线性质和三角形的中位线性质结论类似，但条件不同，注意区分。见中点时联想这两个定理，先确定是否直角三角形，若是直角三角形运用直角三角形斜边上的中线性质，若不是，考虑三角形中位线定理。 变式训练3 1．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分别是AC、BD的中点，AC＝12，BD＝8，则MN的长是（