1.3 空间向量及其运算的坐标表示-2024-2025学年高二数学新教材【教材解读】（人教A版2019选择性必修第一册）

1.3 空间向量及其运算的坐标表示 [核心素养·学习目标] 课程标准 课标解读 理解和掌握空间向量的坐标表示及意义，会用向量的坐标表达空间向量的相关运算.会求空间向量的夹角、长度以及有关平行、垂直的证明. 利用空间向量的坐标表示，将形与数有机结合，并能进行相关的计算与证明是学习空间向量及运算的关键.也是解决空间几何的重要手段与工具. 课前预习 预习01空间直角坐标系 1．概念：在空间选定一点O和一个 基底{i，j，k}．以点O为原点，分别以i，j，k的方向为 、以它们的长为 建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做 .这时就建立了一个空间直角坐标系O-xyz，O叫做 ，i，j，k都叫做 ，通过每两个坐标轴的平面叫做 ，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分． 2．右手直角坐标系的概念：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．本书建立的坐标系都是右手直角坐标系． 预习02空间向量的坐标表示 1．点的坐标表示：在空间直角坐标系O-xyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的 叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作 ，其中 叫做点A的横坐标， 叫做点A的纵坐标， 叫做点A的竖坐标． 2．向量的坐标表示：在空间直角坐标系O-xyz中，给定向量a，作＝a．由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组 叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作 . 空间向量的坐标和点的坐标有什么关系？ 提示 若点A在空间直角坐标系中的坐标为(x，y，z)，那么向量的坐标也为(x，y，z)． 画空间直角坐标系时，一般使（或 ），． 在空间直角坐标系中，让 指向 的正方向，食指指向 的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为 ．本书建立的坐标系都是右手直角坐标系． 在单位 下与向量对应的有序实数组，叫做点在空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点的 ，叫做点的 ，叫做点的 ． 预习03空间向量的坐标运算 设则有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 由表可知空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示是完全一致的．例如，一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标． 预习04空间向量的平行、垂直、模及夹角 设,则有 当时,; ; ; . 预习05空间两点间的距离公式 设是空间中任意两点,则 知识讲解 知识点01 空间直角坐标系 1.求空间点的坐标：在空间直角坐标系中，i，j，k为坐标向量，对空间任一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk，则(x，y，z)叫做点A在空间直角坐标系中的坐标．记作A(x，y，z)，其中x叫点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标. 2.空间向量的坐标表示： （1）若则. （2）在空间直角坐标系中，给定向量a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk，则(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系中的坐标，简记作a＝(x，y，z). 3. 求对称点的坐标 在空间直角坐标系中，任一点P(a，b，c)的几种特殊的对称点的坐标如下： 对称轴或对称中心 对称点坐标 P(a，b，c) x轴 (a，－b，－c) y轴 (－a，b，－c) z轴 (－a，－b，c) xOy平面 (a，b，－c) yOz平面 (－a，b，c) xOz平面 (a，－b，c) 坐标原点 (－a，－b，－c) 知识点02空间向量线性运算的坐标表示 空间向量坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b＝a1b1＋a2b