1.2 空间向量基本定理-2024-2025学年高二数学新教材【教材解读】（人教A版2019选择性必修第一册）

1.2 空间向量基本定理 [核心素养·学习目标] 课程标准 课标解读 1. 理解并记住共线向量基本定理、平面向量基本定理、共面向量定理及空间向量基本定理的内容及含义.. 2. 理解基底与基向量的含义，会用恰当的基向量表示空间任意向量. 3. 会用相关的定理解决简单的空间几何问题. 1.通过对空间向量基本定理的意义的掌握与了解，会用空间向量的基底表示空间任一向量，能用正交分解及坐标形式表示空间向量. 2.结合平面向量与空间向量的基本定理，解决平面与立体几何的相关问题. 课前预习 预习01设，，是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点．对于任意一个空间向量，设为在，所确定的平面上的投影向量，则．又向量，共线，因此存在唯一的实数，使得，从而 而在，所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对，使得 ． 预习02如果，，是空间 向量，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得 ． 我们称，，分别为向量在，，上的分向量． 预习03如果三个向量，，不共面，那么所有空间向量组成的集合就是．这个集合可看作由向量，，生成的，我们把叫做空间的一个基底(base)，，，都叫做基向量(base vectors)．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个 预习04如果空间的一个基底中的三个基向量 ，且长度都为1，那么这个基底叫做 ，常用表示．由 定理可知，对空间中的任意向量，均可以分解为三个向量，，，使．像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量 知识讲解 知识点01空间向量基本定理及样关概念的理解 空间向量基本定理： 如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使得p=xa+yb+zc.其中，空间中不共面的三个向量a，b，c组成的集合{a，b，c}，常称为空间向量的一组基底.此时，a，b，c都称为基向量；如果p=xa+yb+zc，则称xa+yb+zc为p在基底{a，b，c}下的分解式. 【特别注意】1.空间中，任一向量都可以用一组基底表示，且只要基底确定，则表示形式是唯一的. 2.用基底表示空间向量时，一般要结合图形，运用向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则，以及数乘向量的运算法则，逐步向基向量过渡，直至全部用基向量表示. 3.在空间几何体中选择基底时，通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为基底，例如，在正方体、长方体、平行六面体、四面体中，一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量作为基底. 知识点02空间向量的正交分解 单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用 表示. 正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解. 【特别注意】正交基底的三个向量共起点. 知识点03用空间向量基本定理解决相关的几何问题 1. 用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量． (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立 【大招总结】 大招1空间向量基本定理的理解 判断基底的方法 (1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底．如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断． (2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断． 大招2空间向量基本定理的应用 用基底表示向量的策略 (1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律进行． (2)若没给定基底时，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求．　　　 大招3用向量法证明平行、共面问题 证明平行、共面问题的思路 (1)利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行．要证两直线平行，可构造与两直线分别平行的向量，只要证明这两个向量满足a＝λb即可． (2)利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行． 　 大招4用向量法解决立体几何的垂直、夹角问题 求夹角、证明线线垂直的方法 1、要证两直线垂直，由数量积的性质a⊥b⇔a·b＝0可知，可构造与两直线分别平行的向量，只要证明这两个向量