第二节 一元线性回归模型及其应用讲义-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

第二节 一元线性回归模型及其应用 知识清单 1．一元线性回归模型 在成对样本数据中，用表示其中一个变量，用表示另一个变量，表示随机误差． 假定随机误差的均值为0，方差为与变量无关的定值，则它们之间的关系可以表示为 我们称上式为关于的一元线性回归模型．其中称为因变量或响应变量，称为自变量或解释变量；为模型的未知参数，称为截距参数，称为斜率参数；是与的随机误差． 2．一元线性回归模型参数的最小二乘估计 设满足一元线性回归模型的两个变量的对样本数据为． （1）最小二乘法 表示点到一条直线的竖直距离，则可以用这个竖直距离之和来刻画样本观测数据与直线的“整体接近程度”． 在实际运用中，因为绝对值使得计算不方便，所以通常用各散点到直线的竖直距离的平方之和来刻画“整体接近程度”． 通过求的最小值来得到经验回归回归方程，这种方法叫做最小二乘法． （2）经验回归方程 ，． 我们将称为关于的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．求得的叫做的最小二乘估计． 3．残差 （1）残差分析 对于响应变量，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差． 残差是随机误差的估计结果，通过残差分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据，这方便工作称为残差分析． （2）残差的平方和 ，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好；残差平方和越大，说明模型的拟合效果越差． （3）决定系数 ，越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好；越小，表示残差平方和越大，即模型的拟合效果越差． 4．使用经验回归方程进行预测时的注意事项 （1）经验回归方程只适用于所研究样本的总体； （2）经验回归方程一般都有时效性； （3）解释变量的取值不能离样本数据的范围太远； （4）不能期望经验回归方程得到的预测值就是响应变量的精确值． 题型训练 题型一 经验回归方程 1．某工厂为节能降耗，经过技术改造后，生产某种产品的产量（单位：吨）与相应的生产能耗（单位：吨）的对应数据如表： （吨） 3 4 5 6 （吨） 2.5 3 4 4.5 根据上表提供的数据，求得关于的线性回归方程为，则的值为（　　） A．0.3 B．0.7 C．3 D．7 2．已知某种商品的广告费支出（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间有如下对应数据： 2 4 5 6 8 30 40 50 60 根据表中的全部数据，求得关于的线性回归方程为，则表中的值为（　　） A．55 B．55.5 C．56.5 D．70 3．在某次电脑芯片的生产试验中，得到6组数据．根据数据可知，由最小二乘法求得回归直线方程为，则（　　） A．50.5 B．45.5 C．100.2 D．109.2 4．（多选）习近平总书记指出：扶贫必扶智，扶智就是扶知识、扶技术、扶方法．某地响应总书记号召，建立农业科技图书馆，供农民免费借阅，收集了近5年的借阅数据如表： 年份 2017 2018 2019 2020 2021 年份代码 1 2 3 4 5 年借阅量（万册） 4.9 5.1 5.5 5.7 5.8 根据上表，可得关于的经验回归方程为，则（　　） A． B．近5年借阅量估计以0.24万册/年的速度增长 C．与的线性相关系数 D．2022年的借阅量一定不少于6.12万册 5．某产品的广告费用x万元与销售额y万元的4组数据如下：． 根据以上数据可得回归直线方程，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额为65.5万元，则的值分别为（　　） A． B． C． D． 6．（多选）已知变量与的取值如表所示，且，则由该数据知其线性回归方程可能是（　　） 2 3 4 5 6.5 m n 2.5 A． B． C． D． 题型二 残差与决定系数 7．某产品的广告费支出与销售额（单位：万元）之间的关系如表，由此得到与的线性回归方程为，由此可得：当广告支出5万元时，随机误差的效应（残差）为（　　） 2 4 5 6 8 30 40 60 50 70 A． B． C．10 D．20 8．已知一系列样本点的回归直线方程为，若样本点（，2）与（2，）的残差相等，则（　　） A． B． C． D． 9．判断两个变量与是否相关时，选择了4个不同的模型，它们的决定系数分别为：模型1的决定系数为0.86，模型2的决定系数为0.68，模型3的决定系数为0.66，模型4的决定系数为0.88．其中拟合效果最好的模型是（　　） A．模型1 B．模型2 C．模型3 D．模型4 10．（多选）下列关于相关系数与决定系数的说法正确的是（ ） A．越大