专题16 导数与函数的单调性-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）

专题16 导数与函数的单调性（新高考专用） 目录 【知识梳理】 2 【真题自测】 2 【考点突破】 3 【考点1】不含参函数的单调性 3 【考点2】含参函数的单调性 4 【考点3】根据函数的单调性求参数 6 【考点4】函数单调性的应用 7 【分层检测】 8 【基础篇】 8 【能力篇】 10 【培优篇】 10 考试要求： 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系. 2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次). 知识梳理 1.函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f′(x)＞0 f(x)在(a，b)上单调递增 f′(x)＜0 f(x)在(a，b)上单调递减 f′(x)＝0 f(x)在(a，b)上是常数函数 2.利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导函数f′(x)的零点； 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性. 1.若函数f(x)在区间(a，b)上递增，则f′(x)≥0，所以“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件. 2.对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件.真题自测 一、单选题 1．（2023·全国·高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 2．（2022·全国·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（2022·全国·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 4．（2021·浙江·高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（2022·全国·高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 6．（2023·全国·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 考点突破 【考点1】不含参函数的单调性 一、单选题 1．（2024·四川成都·三模）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（2024·河南南阳·模拟预测）已知函数，则（    ） A．若曲线在处的切线方程为，则 B．若，则函数的单调递增区间为 C．若，则函数在区间上的最小值为 D．若，则的取值范围为 三、填空题 3．（2024·四川成都·三模）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，的单调递增区间为 ． 四、解答题 4．（2024·安徽马鞍山·三模）已知函数，直线在轴上的截距为，且与曲线相切于点． (1)求实数的值； (2)求函数的单调区间与极值． 5．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数 (1)求在处的切线； (2)比较与的大小并说明理由. 6．（2024·北京西城·一模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处切线的斜率； (2)当时，讨论的单调性； (3)若集合有且只有一个元素，求的值． 反思提升： 确定函数单调区间的步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f′(x)； (3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间. 【考点2】含参函数的单调性 一、单选题 1．（2022·全国·模拟预测）已知函数是定义域为的奇函数，且当时，．若函数在上的最小值为3，则实数a的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 2．（2023·全国·模拟预测）已知函数，其导函数为，下列结论正确的是（    ） A．在上单调递增 B．当时，有两个零点 C．一定存在零点 D．若存在，有，则 三、填空题 3．（2023·广东广州·模拟预测）已知函数恰有两个零点，则 . 四、解答题 4．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程; (2)若，讨论的单调性. 5．（23-24高三下·湖北武汉·阶段练习）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性. 6．（2024·河南·二模）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若对任意恒成立，求的取值范围； (3)证明：. 反思提升： 1.(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论. (2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分解