1.1.2 空间向量的数量积运算-2024-2025学年高二数学新教材【教材解读】（人教A版2019选择性必修第一册）

1.1.2 空间向量的数量积运算 [核心素养·学习目标] 课程标准 课标解读 1．会进行空间向量的线性运算，空间向量的数量积，空间向量的夹角的相关运算. 1．理解空间向量的相关概念的基础上进行与向量的加、减运算、数量积的运算、夹角的相关运算及空间距离的求解. 课前预习 预习01 研究空间向量数量积运算 类比平面向量的数量积运算完成表格. 平面 空间（学生填空） 夹角 对非零向量,作,则叫做与的夹角,记作,. 特例:当时,则. 数量积 两个非零向量,则叫.做的数量积,记作,即数量积. 特例:. 预习02投影 1.空间向量向向量投影得到的投影向量c的表示：; 2. 类似于向量向向量投影，如何定义并画出空间向量向直线投影； 3. 定义并画出向量向平面投影，并说说与前面两种向量投影的画法有什么不同之处. 预习03空间向量的数量积满的运算律 1. 2. 3. 知识讲解 知识点01空间向量数量积的运算 空间向量的数量积： （1）定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b．即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积为0． （2）常用结论(a，b为非零向量) ①a⊥b⇔a·b＝0． ②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2． ③cos〈a，b〉＝． （3）数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) 交换律 a·b＝b·a 分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c 【特别注意】在几何体中求空间向量的数量积的步骤： （1）首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． （2）利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积． （3）根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模． （4）代入公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解． 知识点02垂直问题、夹角问题、距离问题 当时，．夹角公式： ，向量的模： 【特别注意】用向量法证明垂直关系的步骤 （1）把几何问题转化为向量问题； （2）用已知向量表示所证向量； （3）结合数量积公式和运算律证明数量积为0； （4）将向量问题回归到几何问题． 利用向量数量积求夹角问题的思路 （1）求两个向量的夹角有两种方法：①结合图形，平移向量，利用空间向量夹角的定义来求，但要注意向量夹角的范围；②先求a·b，再利用公式cos〈a，b〉＝求出cos〈a，b〉的值，最后确定〈a，b〉的值． （2）求两条异面直线所成的角，步骤如下： ①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量)； ②将异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题； ③利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小； ④异面直线所成的角为锐角或直角，利用向量数量积求向量夹角的余弦值时应将余弦值加上绝对值，从而求出异面直线所成的角的大小． 求两点间的距离或线段长的方法 （1）将相应线段用向量表示，通过向量运算来求对应向量的模． （2）因为a·a＝|a|2，所以|a|＝，这是利用向量解决距离问题的基本公式．另外，该公式还可以推广为|a±b|＝． （3）可用|a·e|＝|a||cosθ|(e为单位向量，θ为a，e的夹角)来求一个向量在另一个向量所在直线上的投影． 【大招总结】 大招1空间向量数量积的概念辨析 注意空间向量的夹角的定义及熟练掌握数量积的运算律 大招2空间向量数量积的运算 求空间向量数量积的步骤 (1)将待求数量积的两向量的模长及它们的夹角理清； (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角余弦值的乘积； (3)代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解．　　　　 注：在几何体中求空间向量的数量积，首先要充分利用向量所在的图形，将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式;其次利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积;最后利用数量积的定义求解即可.注意挖掘几何体中的垂直关系或特殊角. 大招3利用空间向量的数量积求夹角 1、求两个向量的夹角有两种方法： ①结合图形，平移向量，利用空间向量夹角的定义来求，但要注意向量夹角的范围； ②先求a·b，再利用公式cos〈a，b〉＝求出cos〈a，b〉的值，最后确定〈a，b〉的值． 2、利用数量积求夹角或其余弦值的步骤 注：求两向量夹角，必须特别关注两向量方向，应用